从高考-竞赛复习资料3 曲线运动

高一物理竞赛力学 曲线运动 北京市第八十中学2017.9

运动学专题二 曲线运动

北京市第八十中学何德强

§2.1 运动的合成与分解相对运动 2．1．1、运动的合成与分解 (1)矢量的合成与分解

矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。

同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。

(2)运动的合成和分解

运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主要有：①运动的合成与分解总是与力的作用相对应的；②各个分运动有互不相干的性质，即各个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的独立作用原理是对应的；③位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等时性，即各个运动要取相同时间内的位移；④瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。

两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。如：①两匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动；②两初速为零（同一时刻）的匀加速直线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动；③在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，如：竖上抛与竖下抛运动；④不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。

2．1．2、相对运动

任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。

通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。

绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。

???v绝对?v相对?v牵连

这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：

???a绝对?a相对?a牵连

?v如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地（脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。

?有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为v汽火，那么很明

显，汽车相对地面的速度为：

当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。

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???vvv（注意：汽火和火地不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是

???v汽地?v汽火?v火地

????v狗地?v狗汽?v汽火?v火地

从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则： ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。

②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调，改变符号。

以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。

相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。 例 如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以vB=20m/s vA?10m/s、vB?20m/s的初速度抛出A、B两个质点，问1s

60o vA=10m/s 后A、B相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A、B抛出时开始以加速度g向下运动的参考系。在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离

30o 图2-2-1

sAB??vAt?2??vBt?2?105m?22.4m

在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度v?射出很多个小球，球ts之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是v0t，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2v0t。

2．1．3、相关的速度

当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般

v A 要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。 v// vB ?B 如图2-5-1所示的情况，绳AB拉着物体m在水平面上运动，

m v ? A端以速度v做匀速运动，问m做什么运动？有的同学会将绳的

速度v分解成竖直 图2-5-1

分速度vsina和水平分速度vcosa，以为木块的速度

u?vcosa(u

如图2-5-2所示，杆AB沿滑下，A、B二端的速度vA和vB也是二个相关的速度。将vA分解

vA1

vA2 vA

B

vB2 ?

vB vB1

图2-5-2

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成沿杆方向的分速vA1和垂直于杆的分速vB2。由于杆的长度不会发生变化，所以vA1?vB1，即vAcosa?vBsina，即

2．1．4、两杆交点的运动 两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。图2-5-3（a）中的AC、BD两杆均以角速度?绕A、B两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当t=0时，a???60o，试求t时刻两棒交点M点的速度和加速度。t=0时，△ABM为等边三角形，因此AM=BM=l，它的外接圆半径R?OM?vA?tga?vB

D C 3l，图32-5-3（b）。二杆旋转过程中，a角增大的角度一直等于?角减小的角度，所以M角的大小始终不变（等于60o），因此M点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠MOM?和∠MAM?是对着同一段圆弧（MM?）的圆心角和圆周角，所以∠MOM?=2∠MAM?，即M以2?的角速度绕O点做匀速圆周运动，

?w ?A B l

图2-5-3（a）

M w M M? O

A

23v?R(2?)??l3任意时刻t的速度大小恒为

? B l

图2-5-3（b）

? 432a?(2?)2R??l3向心加速度的大小恒为

v1 l1

??v以垂直于自己的速度1和v2在该平面内运动，试求交点相

对于纸平面的速率及交点相对于每根杆

的速率。

再看图2-5-4（a），一平面内有二根细杆l1和l2，各自

? l2

v2

图2-5-4（a）

O? O?? ? A

l1?

O l1

B

? l2l2

图2-5-4（b）

参考图2-5-4（b），经过时间?t之后，l1移动到了l1?的位置，l2移动到了l2?的位置，l1?和l2的原位置交于O?点，l1?和l2?交于O??点。

OO?=v1?t/sin? O?O???v2?t/sin?

2??OO?OO??O?O???2OO??O?O??cos? ????OOO在中：

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因为?角和?角互补，所以

cos???cos?

2OO???v12?v2?2v1v2cos??tsin?

因此两杆交点相对于纸平面的速度

OO??12?v12?v2?2v1v2cos?v0?sin? ?t不难看出，经过?t时间后，原交点在l1上的位置移动到了A位置，因此交点相对l1的

位移就是AO??，交点相对l1的速度就是：

v1??(AO??O?O??)/?t

v2?t??v?t?ctg???1?/?tsin??=?

?(v1cos??v2)/sin?

?(v1?v2cos?)/sin? 2用同样的方法可以求出交点相对l2的速度v?因为?t可以取得无限小，因此上述讨论与v1,v2是否为常量无关。如果v1,v2是变量，

上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

如果v1和v2的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。

2.1.5：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。 求下列各图中v1和v2的关系：

答案依次是：A:v1=v2cos?;B:v1=v2cos?;C:v1cos?=v2cos?;D:v2=vtan?;

运动的合成与分解，一般来说包含两种类型，一类是质点只有绝对运动，如平抛物体的运动；另一类则是质点除了绝对运动外，还有牵连运动，如小船过河的运动。解题中难度较大的是后一类运动。求解这类运动，关键是列出联系各速度矢量的关系式，准确地作出速度矢量图。

§2.2抛体运动

2．2．1、曲线运动的基本知识

轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。图2-3-1表示一质点作曲线运动，它经过P点时，在P点两旁的轨迹上取a1、b1两点，过

a1、P、b1三点可作一圆，当这两点无限趋近于P点时，则圆亦

趋近于一个定圆，我们把这个圆叫P点的曲率圆，曲率圆的半径叫P点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P点的曲率中心，曲率半径的倒数叫P点的曲率。如图2-3-1，亦可做出Q点的曲率圆。曲率半径大，曲率小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，

a1 a2 P b2

b1

R1 O1

O2

Q

图2-3-1

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表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。

质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图2-3-2所示，质点在△t时间内沿曲线由A点运动到B点，速度由VA变化到VB，则其速度增量?V为两者之矢量差，?V=VB―VA，这个速度增量又可分解成两个分量：在VB上取一段AC等于VA，则△V分解成△V1和△V2，其中△V1表示质点由A运动到B的速度方向上的增量，△V2表示速度大小上的增量。

法向加速度an表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A点的曲率圆的向心加速度：

VA VB

A an?lim?V2?t?0?t

△VB △V1 C VB △V2 图2-3-2

其方向指向A点的曲率中心。切向加速度a?表示质点作曲线运动时速度大小改变的快

?V1VA2a??lim??t?0?tRA 慢，方向亦沿切线方向，其大小为

总加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。

2．2．2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例

物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。

根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是:将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。

如图2-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。则抛体运动的规律为：

?ax?0??ay??g ?vx?v0cos???vy?v0sin? ?x?v0cos?t??12y?vsin?t?gt0?2?

其轨迹方程为

y?xtg??g2x22vocos2?

这是开口向下的抛物线方程。

在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T，射程R和射高H分别为

22v0sin2?v0sin2?2v0sin?R?H?T?gg2g

抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一

般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经

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过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。

下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动： 质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动（速度为v0）与竖直方向上的自由落体运动的合成。

①速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得：vx?v0 vy?gt，其合速度的大小为

2v?v0?(gt)2，其合速度的方向为（设水平方向夹角为θ）

，可见，当t??时，

V?gt,???/2，即表示速度趋近于自由落体的速度。 V②位移：仍按上述坐标就有，x?V0t,y?gt/2。仿上面讨论也可得到同样结论，当时间很长时，平抛运动趋近于自由落体运动。

③加速度：采用水平和竖直方向直角坐标系有,ax?0,ay?g，用自然坐标进行分解，如图2-3-4其法向加速度为an?gcos?，切向加速度为a??gsin?，θ为速度与水平向方的夹角，将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知：

2O 0 Vx x an Vy y g a v V

图2-3-4

sin??VyV?gt2v0?g2t2cos??

由此可知，其法向加速度和切向加速度分别为：

VxV0?VV02?g2t2gV0

an?

由上两式可以看出，随着时间的推移，法向加速度逐渐变小趋近于零，切向加速度趋近于定值g，这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到，平抛物体的远处时就接近竖直下落了。

V?gt

2022a??g2tV02?g2t2

y?运动的轨迹方程：

g2x22V0

A θ B 从方程可以看出，此图线是抛物线，过原点，且V0越大，图线张开程度大，即射程大。根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解分法。

v0

s C h 图 2-3-5

?v为0的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。

如图2-3-5所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点。

问小球以怎样的角度抛出，才能使v0最小？

将斜抛运动看成是v0方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图2-3-6所示。

?v抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿0方向的速度

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在位移三角形ADB在用正弦定理

D ①

④轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运

由①式中第一个等式可得

12gtvt12?0?sinasin?sin(a??)

t? ②

将②式代入①式中第二个等式

2v0sinagsin?

vot β B v0 α l h A ? C

图2-3-6

2v20sinal?gsin2?sin(a??)

glsin2?22v0?sin(a??)sina

glsin2?2v0??cos(2a??)?cos?

当?cos(2a??)有极大值1时，即2a????时，v0有极小值。

?2a?????2a????，2因为

?1a???42 所以

1?2x?vcosat?gsin?t0??2??y?vsinat?1gcos?t20?2?

当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由②式可得

t?2v0sinagcos?

③式代入式①：我们还可用另一种处理方法

以AB方向作为x轴（图2-3-7）这样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了，

v0和g都要正交分解到x、y方向上去。

小球运动的方程为

1?2x?vt?gtoxx??2??y?v?1gt2oyy?2?

2vsina12vsina2x?v0cosa0?gsin?(0)gcos?2gcos?

B x y 2vsina?02(cosacos??sinasin?)gcos?

v0 v0y gxA g y g

图2-3-7

? v0x ?C 高一物理竞赛力学 曲线运动 北京市第八十中学2017.9

22v0?sinacos(a??)2gcos? 2v0?sin(2a??)?sin???gcos2?

xgcos2?v?sin(2a??)?sin? ∴

20当sin(2a??)最大，即

2a????2时，

a??1??42，v0有极小值

2v0?xgcos2?/(1?sin?)

?xgcos2?(1?sin?)/(1?sin2?) ?xg(1?sin?)

h?xg(1?)x

?g(h?h2?s2)

§2.3质点的圆周运动

2．3．1、质点的圆周运动

(1)匀速圆周运动 如图2-4-1所示，质点P在半径为R的圆周上运动时，它的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：

?? ????lim?t?0?t

质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为

v2v 1 R l? P θ O y x R??lv?lim?lim0??R?t?0?t?t?0?t

图2-4-1

ω（或v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速

率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。

?n?v2/R??2R??v

向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

(2)变速圆周运动 ω（或v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度

??lim???t?0?t

??????v?vvv度增量?v分解为与2平行的分量//和2垂直的分量1，如

???v?v图2-4-2。1相当于匀速圆周运动个的?v,11的大小为 ?v12?v2?v1??2R??1R=R??

质点P的加速度为

质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速

?v V2 ∨ V1 V1 ∨ ????R P 图2－4－2

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????v//?v???va?lim?lim?lim?t?0?t?0?t?0?t?t?t

???a??an

??a其中r,an就是切向加速度和法向加速度。 a?r??R

an?v2/R??2R

β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有

???0??t

1???0t??t22

v0??0R

y v??R?v0??Rt?v0?art

(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图2-4-3一个质点A在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上

v vy v vx A ?tR x O 图2-4-3

x?Rcos?t

vx??vsin?t???Rsin?t

ax??acos?t???2Rcos?t

在y方向上：

y?Rsin?t?Rcos(?t??)2

vy?vcos?t???Rsin(?t??)2

ay??asin?t???2Rcos(?t??2

)从x和y方向上的位移、速度和加速度时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动

?可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差2

【针对训练题】 1．在高为h处有一木球A由静止开始下落，由于空气阻力的作用,下落的加速度大小为g/10，同时在A正下方的地面上有一铁球B以v0的初速度竖直上抛(空气对铁球的阻力可以忽略不

v0?计，铁球的加速度大小为g)要使A和B在空中相撞，v0应满足什么关系? （答案：

9hg） 5

2．地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的初速度v0的大小相同，但喷射角在0°到90°范围内不等。若喷出后水束的最高位置距地面5m，g取10m/s2，试求水束落地时的圆半径。（答案：10m）

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3．如图所示,一仓库高25m，宽40m。今在仓库前L、高5m的A点处抛出一石块过屋顶，问L为多少时所需的初速v0可最小。（答案：14.6m）

4．如图所示,一小球以速度v0水平投射到光滑的斜面上，斜面与水平面的夹角为?，小球与斜面的碰撞是弹性碰撞，求小球第一次与斜面碰撞点到第二次与斜面碰撞点间的距离s(空气

22v0阻力不计)。（答案：sin?(1?tan2?)

g

5．如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交点P的速度。

P A B 10v 2v 答案：v

2

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