数学中考试卷考点跟踪突破13 二次函数的图象及其性质

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考点跟踪突破13 二次函数的图象及其性质

一、选择题(每小题6分，共30分)

1．(2019·天水)二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D ) A．－3 B．－1 C．2 D．3 2．(2019·临沂)要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是( D ) A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3．(2019·柳州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( B )

A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4

,第3题图) ,第5题图)

4．(2019·南昌)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( D ) A．只能是x＝－1 B．可能是y轴

C．在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D．在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧 5．(2019·烟台)如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( C )

A．b2＞4ab

B．ax2＋bx＋c≥－6

C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n

D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2019·怀化)二次函数y＝x2＋2x的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x＝－1__． 7．(2019·杭州)函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝__－1__；当1＜x＜2时，y随x的增大而__增大__(填写“增大”或“减小”)．

8．(2019·上海)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是__y＝x2＋2x＋3__．

9．(2019·宿迁)当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为__3__．

10．(2019·岳阳)如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是__③④__．(写

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出所有正确结论的序号)

①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a. 三、解答题(共40分) 11．(10分)(2019·珠海)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1. (1)求证：2a＋b＝0；

(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．

b

(1)证明：∵对称轴是直线x＝1＝－，∴2a＋b＝0 (2)解：∵ax2＋bx－8＝0的一个根为4，

2a

∴16a＋4b－8＝0，∵2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴16a－8a－8＝0，解得：a＝1，则b＝－2，∴ax2＋bx－8＝0为：x2－2x－8＝0，则(x－4)(x＋2)＝0，解得：x1＝4，x2＝－2，故方程的另一个根为：－2

12．(10分)(2019·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C

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分别在x轴，y轴的正半轴，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接

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AC，BD，CD.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．

?4b＋c＝12，12

解：(1)由已知得：C(0，4)，B(4，4)，把B与C坐标代入y＝－x＋bx＋c得：?解

2?c＝4，

1

得：b＝2，c＝4，则解析式为y＝－x2＋2x＋4

2

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(2)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－2)2＋6，∴抛物线顶点坐标为(2，6)，则S四边形ABDC＝S△ABC＋S△

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11

BCD＝×4×4＋×4×2＝8＋4＝12 22

13．(10分)(2019·天津)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)． (1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值；

(2)当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

解：(1)当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴当x＝－1时，二次函数取得最小值－4 (2)当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋5，由题意得，x2＋bx＋5＝1有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－16＝0，解得，b1＝4，b2＝－4，∴二次函数的解析式y＝x2＋4x＋5，y＝x2－4x＋5 (3)当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2＋bx＋b2，图象开口向上，对称轴为

bb

直线x＝－，①当－＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大

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而增大，∴当x＝b时，y＝b2＋b·b＋b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1＝－7(舍去)，b2＝7；

bb33

②当b≤－≤b＋3时，即－2≤b≤0，∴x＝－时，y＝b2为最小值，∴b2＝21，解得，b1＝－27

2244

b

(舍去)，b2＝27(舍去)；③当－＞b＋3，即b＜－2，在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y

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随x的增大而减小，故当x＝b＋3时，y＝(b＋3)2＋b(b＋3)＋b2＝3b2＋9b＋9为最小值，∴3b2＋9b＋9＝21.解得，b1＝1(舍去)，b2＝－4；∴b＝7时，解析式为：y＝x2＋7x＋7，b＝－4时，解析式为：y＝x2－4x＋16.综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2＋7x＋7或y＝x2－4x＋16

14．(10分)(2019·岳阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点． (1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

a＝，?a＋b＋c＝0，

?4?315

15所以，抛物线的解析式为y＝x－x＋3 解：(1)由已知得?16＋4b＋c＝0，解得?44b＝－，4

?c＝3，??c＝3

2

3

(2)∵A，B关于对称轴对称，如图①，连接BC，∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA＋PC＝BC，∴四边形PAOC的周长最小值为：OC＋OA＋BC，∵A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3，BC＝OB2＋OC2＝5，∴OC＋OA＋BC＝1＋3＋5＝9；∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9

15．(2014·孝感)已知关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)试说明x1＜0，x2＜0；

(3)若抛物线y＝x2－(2k－3)x＋k2＋1与x轴交于A，B两点，点A，点B到原点的距离分别为x1＋x2k－3＜0，2＝5?25 2OA，OB，且OA＋OB＝2OA·OB－3，求k的值．2＞0，即－12k＋5＞0，∴k＜2解：(1)由题意可知：Δ＝[－(2k－3)]－4(k＋1)(2)∵∴x＜0，x＜0 (3)依题意，不妨设A(x，0)，B(x，0)．∴OA＋OB＝|x?＋3)|x2＝|＝－x2)＝－(2k－OAOB＝|x1||xx1∴x2＝k＋21，∵1OA＋OB＝OB－3，∴－(2k122. 22OA·1| －2(k(x＋1)3，解得k13)＝，1，k2·＝－∵k＜，k＝－1＋2|＝2－1212xx＝k＋1＞0，?12

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