5刚体力学基础习题

习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

2T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

Ta?r? ，J?mr2/2┄⑤

111联立，解得：a?g，T?mg 。

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5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??m，在杆上取l一小质元dm??dx，有微元摩擦力：

df??dmg???gdx，

微元摩擦力矩：dM???gxdx，

考虑对称性，有摩擦力矩：

1M?2???gxdx??mgl；

4t0d?，有：??Mdt??Jd?， 0?0dt?l11??mglt??ml2?0，∴t?0。

3?g4121ml2， 或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?12?l有：t?0。

3?gl20（2）根据转动定律M?J??J

5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为

R ,其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，

下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：

mg?T?ma┄①

TR?J?┄②

1mR2┄③ 22mgMmg联立，解得：a?，T?，

M?2mM?2mvtdv2mg2mgt考虑到a?，∴?dv??。 dt，有：v?00dtM?2mM?2ma?R? ，J?

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？

解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重

2du?0，系统对轴的角动量为： dt1M3L?MvR?M(u?v)R?(R2)??MvR?MuR 442(B物体)(人)(A物体)13而力矩为：M??MgR?MgR?MgR，

44dL3d3g(MvR?MuR)，∴a?。 根据角动量定理M?有：MgR?dt4dt22物上升的速度，注意到u为匀速，

5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 3m解：设球的半径为R，总重量为m，体密度??， 34?R考虑均质球体内一个微元：dm??rsin?drd?d?， 由定义：考虑微元到轴的距离为rsin?

2rsin??r?J??(rsin?)2dm，有：

J??2?0??0?R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?

R01?2???r55?[??(1?cos2?)dcos?]?0?2mR2。 5

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从??0~??90时， 考虑机械能守恒，那么： ??0时的机械能为：

0l11mg?(重力势能)?（ml2）?2(转动动能)，

2231??900时的机械能为：kx2

2l112122有：mg??（ml）??kx

2232222?1根据几何关系：(x?0.5)?1.5?1，得：??3.28rad?s

5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，

下降过程机械能守恒，

113J?2 ，而J?mR2?mR2?mR2 2224g4Rg16Rg∴?? vc?R?? vA?2R?? 33R372 （2）Fy?mg（重力）?mR?（向心力）?mg，方向向上。 3有：mgR?

5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕

2l．轻杆原来3静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对

1心碰撞，碰后以v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

2水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和解：根据角动量守恒，有：

132122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?

32333422221有：(l?l)??v0l?v0l

99333v∴??0

2l

5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2122解：（1）利用角动量守恒：mvR?MR??mR?

22mv得：??；

(2m?M)RM（2）选微分dm??rdrd?，其中：面密度??， 2?RRM2Mf???grdm???gr2πrdr??MgR

0?R232122∴由Mf??t?J???有：?MgR??t?(MR?mR)??0，

322?M?2m?R?

4?Mg2mv3mv将??代入，即得：?t? 。

2?Mg?M?2m?R知：?t?

5-10．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

1m1l2) 3解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v1和v2方向相反，以逆时针为正向，有：

(已知棒绕O点的转动惯量J?3m2(v1?v2)1 m2v1l?m1l2??m2v2l，得：??3m1l又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：

m11d?，有： gxdx??m1gl，利用?Mf?J0l2dt12mld?1t02l?2m2(v1?v2)3t??，得：。 dt???0??13?g?m1g?m1gl2Mf???l

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：

212kxmax?mgxmax，有： 2

xmax?2mg?0.49m； k1211kx?mv2?J?2?mgx， 222v1211222考虑到??，有：kx?mR??J??mgx，

R222d??0，有： 欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令dx1d?d?mgkx?(mR2?J)?2??mg，将?0代入，有：x? ?0.245(m)，

2dxdxk∴当x?0.245m时物体速度达最大值，有：

1mgx?kx222，代入数值可算出：vmax?1.31m/s 。 vmax?1J(m?2)2r（2）当物体下落时，由机械能守恒：

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）已知Mf??k?，而动力矩M?P通电时根据转动定律有：M?Mf?J代入两边积分有：

?，

d? dt?tP(1?eJ)； kP?；

k2k?dt??0t?0J?d?，可求得：??2P?k?（2）见上式，当t??时，电扇稳定转动时的转速：?稳定（3）断开电源时，电扇的转速为?0?P，只有Mf作用，那么： k?0d?d?d?k?k??J??，考虑到，有：??d???d?，

0?0dtdtd?J得：??JJ?0?kkP 。 k5-13．如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？ 解：（1）A在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒：

1111222，其中vA?R?，J?mR， J?0?J?2?mvA22223可算出：vA?R?0；

3（2）物体A运动后，由牛顿定律：T??mg?ma，

考虑到?TR?J?，a?R?

1可求出：T??mg。

3

5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？

解：此过程角动量守恒：mRv?J??0，有： ???mRv。 J

5-15．以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A边所受的支反力。

3vl22?ml? ，??0

4l233gl22根据转动定律 mg?ml?，??；

4l23（2）如图，支反力Nx??maCx，而：

解：（1）角动量守恒：mv0CNxaCtaCx?aCncos450?aCtcos450

∴Nx??maCncos45?maCtcos45。

00AaCn

【注：如图，对于立方体绕z轴的转动惯量，有：

zJ??l00?l(x2?y2)?m22dxdy?ml】 l23

x 思考题

5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 (m1

m1g?T1?m1a （1）

yT2?m2g?m2a （2） (T1?T2)r?J? （3） a?r? （4） 联立方程可得 T1、T2， T2?T1 。

5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度?怎样变化？ 答：增大

5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）

5-4．在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。

答：以Ⅰ为轴转动惯量 J?9ma；

以Ⅱ为轴转动惯量 J?3ma；

22以Ⅲ为轴转动惯量 J?7.5ma。

5-5．如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为?0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？

答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由J1?0?J2?，有小圆柱的最终角速度为：

2??J1?0J 。

2

5-6．均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。

例4 一质量为 m 的子弹，穿过如图所示的摆锤后，速率由 v 减少到v/2。若摆锤的质量为 M，摆杆的质量也为 M（均匀细杆），长度为 l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，子弹的速度的最小值应为多少？ 解：（1）取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：L子弹前＝L子弹后+L摆锤+L摆杆

Ml2mvl??m?M?lv2??3即： 3mv??8Ml 得摆锤开始转动的角速度为

（2）摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置低

点为势能零点，则到达最高点时有：

21?v?1122l3lM???Ml??Mg?Mg2l?Mg2?2?2322

9g??2l 解得：

8Ml4Mv???2gl3mm即：

例5 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过

盘的边缘挂有质量为 m，长为 l 的匀质柔软绳索。设绳与圆盘的边缘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为 s 时，绳的加速度的大小。

解：建立坐标系如图，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1， x2，选取取x1、x2的绳子及圆盘为研究对象，设绳子单位长度质量为λ，则

对x1， T1?x1?g?x1?a （1） 对x2， x2?g?T2?x2?a （2）

122??T2?T1?r???Mr??r?r??对圆盘，

?2? （3）

由角量和线量关系： a?r? （4）

并注意到：l??r?x1?x2x2?x1?s （5） 联立（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得：

a?

smg1???m?M?l2? ?

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