线性代数考核作业

综合测试题

线性代数（经管类）综合试题一

（课程代码 4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a13?2a113a11?a12a131.设D=

a21a22a23=M≠0，则D1=

?2a213a21?a22a23= ( )．a31a32a33?2a313a31?a32a33A.－2M B.2M C.－6M D.6M

2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足 A. A≠ O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0

3.设A，B均为n阶方阵，则 ( )．

A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2 C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1

4.二阶矩阵A???ab?，|A|=1，则A-1?cd??= ( )． A.

??db?a?? B.??d?b???ca?? C.??a?b??ab??c??cd?? D.??cd?? 5.设两个向量组????????s与????????t，则下列说法正确的是( )．A.若两向量组等价，则s = t . B.若两向量组等价，则r(????????s)= r(????????t)

C.若s = t，则两向量组等价. D.若r(????????s)= r(????????t)，则两向量组等价. 6.向量组????????s线性相关的充分必要条件是 ( )．

A. ????????s中至少有一个零向量

B. ????????s中至少有两个向量对应分量成比例 C. ????????s中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.

?s可由????????s-1线性表示

1

( )．

7.设向量组?1,?2,...,?m有两个极大无关组?i1,?i2,...,?ir与?j1,?j2,...,?js，则下列成立的是( )．

A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = s D. r + s > m 8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( )．

A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.

?2x1?x2?x3?0?x2?kx3?0有非零解，则k = ( )． 9.设方程组??x?x?0?12A. 2 B. 3 C. -1 D. 1

10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．

A. |A|>0 B.存在n阶方阵C使A=CTC C.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = ．

12.若方阵A满足A2 = A，且A≠E，则|A|= .

13.若A为3阶方阵，且 |A|?1 ，则|2A|= ． 2?10?1?14.设矩阵A?2?1?2??31t?2?6?的秩为2，则t = ． ?4??15.设向量?＝(6，8，0)，?=(4，–3，5)，则(?,?)= ．

16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为 个.

17.设??＝(1，1，0)，??＝(0，1，1)，??=(0，0，1)是R3的基，则?=(1，2，3)在此基下的坐标为 .

18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 .

19.二次型

22f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?x3?4x1x2?2x2x3的矩阵A= . ?123???20.若矩阵A与B=024相似，则A的特征值为 . ???003???三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2

21.求行列式

1?x1111?x11111111?y111?y的值.

?2??11?1?????22.解矩阵方程：?211X?3. ?????111??6?????

23.求向量组??=( 1, 1, 2, 3 )，??=(－1,－1, 1, 1 )，??=(1, 3, 3, 5 )，??=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.

3

24.a

?2x1?x2?x3?x4?1?取何值时，方程组?x1?2x2?x3?4x4?2有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导

?x?7x?4x?11x?a234?1出组的基础解系表示）.

?2?125.已知A???1?0200??1?,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩

?1??阵P，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．

4

26.用配方法将下列二次型化为标准形：

22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3

四、证明题（本大题共6分） 27.设向量?1基.

?(1,?1,1),?2?(1,1,1),?3?(0,0,1)，证明向量组?1,?2,?3是

R3空间中的一个

5

线性代数（经管类）综合试题三

（课程代码 4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.当( )成立时，n(n?2)阶行列式的值为零. A.行列式主对角线上的元素全为零

n(n?1)B.行列式中有

2个元素等于零

C.行列式至少有一个(n?1)阶子式为零 D.行列式所有(n?1)阶子式全为零 2.已知

A,B,C均为

n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是

( ).

A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( ).

-1-1-1-1-1-1

A. (AB)=AB B. (A+B)=A+B C. (AB)T=ATBT D.

1 |(AB)|?|AB|?1 4.下列矩阵不是初等矩阵的是 ( ).

?01??10??10??10? A.? B.? C.? D.? ?????10??01??02??21?5.设?1,?2,...,?6是4维向量组，则?1,?2,...,?6 ( ). A.线性无关

B.至少有两个向量成比例

C.只有一个向量能由其余向量线性表示 D.至少有两个向量可由其余向量线性表示

6.设A为m×n矩阵，且m

T?(1,2,3,4),T?2?(2,3,4,5)T是Ax=b的两

?k(2,3,4,5)T B.(2,3,4,5)T?k(1,2,3,4)T

11

C.(1,1,1,1)T?k(1,2,3,4)T D.(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T

8.如果矩阵A与B满足( )，则矩阵A与B相似. A.有相同的行列式 B.有相同的特征多项式 C.有相同的秩

D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同

9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 ( ). A. |A|>0 B. A的每一个元素都大于零 C.r?A??n D. A的正惯性指数为n

10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( ). A. A与B相似 B. A与B合同 C. A与B等价 D.|A|=|B|

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1230311.行列式?1?1?20?1?2?344 . ?4012.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为A?(A1,的第j列，B?(A3A2,A3)，其中Aj(j?1,2,3)是A

?2A1,3A2,A1),则|B|= .

?10??1?1?13.已知矩阵方程AX=B，其中A=?，B=?，则X= . ???21??10?14.已知向量组?115.向量?16.向量??(k,1,1),?2?(1,k,1),?3?(1,1,k)的秩为2，则k = .

= . ?(1,2,?1,3)的长度??(2,?1,3)在基?1?(1,1,1),?2?(1,1,0),?3?(1,0,0)下的坐标为 . 17.设?1,?2,?3是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= . ?118.设??0是三阶矩阵A??0??1?19.若

0201?0?的特征值，则a = . ?a??是正定二次型，则

22f(x1,x2,x3)?x12?2x2??x3?2x1x2?4x1x3?6x2x3?满

足 .

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20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= . 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

?321.设三阶矩阵A=?1???1?0120?0?，E为三阶单位矩阵. ?3???1求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2)(A?2E).

22.已知向量组?1?(1,2,2),?2?(2,4,4),?3?(1,0,3),?4?(0,4,?2)

求：(1)向量组的秩；

(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

?x1?2x2?2x3?2x4?x2?x3?x423.讨论a为何值时，线性方程组???x1?x2?x3?3x4??x1?x2?x3?5x4解.

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?2?1有解？当方程组有解时，求出方程组的通?a??1

24.已知向量组?1

?(1,1,2),?2?(?2,a,4),?3?(?1,1,a)，讨论该向量组的线性相关性.

??110?25.已知矩阵A=??430?，

???102???(1)求矩阵A的特征值与特征向量；

(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.

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26.设二次型

22 f(x1,x2,x3)?x12?4x1x2?4x1x3?2x2?4x2x3?x3(1)将二次型化为标准形；

(2)求二次型的秩和正惯性指数.

四、证明题（本大题共6分） 27.已知A是n阶方阵，且(A?E)

2?O，证明矩阵A可逆，并求A?1.

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