辽宁省北票市高级中学人教B版高中数学必修一学案：2.4.1函数的零点

北票市高级中学高一下学期必修1学案 制作人：赵艳香 胡国栋 审核人：太井泉

2．4.1 函数的零点

【课标要求】

1．理解函数零点的概念．

2．会求一次函数、二次函数的零点．

3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系． 【重点难点】

1．求函数的零点． 2．判断零点个数及二次函数根的分布． 一、知识梳理

1、函数零点的概念：

对于函数y?f(x)，我们把使 的实数x叫做y?f(x)的零点.这样，函数

y?f(x)的零点就是 的实数根，也就是 .

想一想：函数的零点与方程的根及函数图象有何关系？

函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？

2、方程、函数、图像之间的关系

方程f(x)?0 ?函数y?f(x)的图像 ?函数

y?f(x) .

3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 二次函数 Y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 Δ<0 无交点 4、已知二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的两个零点为x1,x2(x1?x2)

则f(x)?0的解集为 ，f(x)?0的解集为 二、预习自测

1、函数y?x2?2x?3的零点是 ，x2?2x?3?0的解集

为 .

2、在二次函数y?ax2?bx?c中，ac?0，则其零点的个数为 .

三、合作探究

题型一 求函数的零点

【例1】 求下列函数的零点．

① f(x)＝－x2－2x＋3；②f(x)＝x3－x2－4x＋4.

【训练1】教材72页练习A

题型二 函数零点个数问题

【例2】 若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．

【训练2】 判断下列函数的零点个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12； 1

(2)f(x)＝x2－. x?x?1,x?0（3）f(x)??

?x?1,x?0

规律方法 函数零点的求法：

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点

题型三 函数零点性质的应用

【例3】 关于x的方程x2－2x＋a＝0.求a为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；

(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？

【训练3】 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．

方法技巧 数形结合研究方程的根与函数的零点

方程、函数的图象、函数间的内在联系，在具体使用时，可以通过下面的变形：方程f(x)＝g(x)有实根?函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有公共点?函数y＝f(x)－g(x)有零点．即用数形结合求函数的零点．

【示例】 试讨论函数f(x)＝x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个数．

课堂检测：

1、若函数f(x)?ax?b有一个零点2，那么函数g(x)?bx2?ax的零点是 A、0，2 B、0，

111 C、0，- D、2，- 2222、函数f(x)?x2?3x?2的零点

A.(1,0) B.(2,0) C.(1,0)与(2,0) D.1与2

2??x?2x?3,x?03、函数f(x)??的零点个数为 2???2?x,x?0A.3 B.2 C.1 D.0

4、若关于x的方程mx2?2x?1?0至少有一个负根，则

A.m?1 B.0?m?1 C.m?1 D.0?m?1或m?0 x?15、若函数f(x)?，则函数g(x)?f(4x)?x的零点是 x6、已知一次函数f(x)?2mx?4,若在??2,0?上存在x0使f(x0)?0，则实数m的取值范围是

7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，3是它的一个零点，且f(x)在???,0?上是增函数，则该函数有 个零点

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