相似三角形基础讲义

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相似三角形基础讲义

下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF∶FG=1∶2.

如下图，△ABC中，AD∥BC，连结CD交AB于E，且AE∶EB=1∶3，过E作EF∥BC，交AC于F，S△ADE=2cm2，求S△BCE，S△AEF.

已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长比，如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.

如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE.

如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是 A．?a

1212 B．?(a?1)

D．?(a?3)

1212 C．?(a?1)

已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F求证：

ABDF． ?ACAF 1

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A已知，E 为ΔABC 的 AC 边的中点，过 E 作 FD 交 AB 于 DED，交 BC 的延长线于 F , 求证：AD·BF = BD·CF BC

如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为2，则△ABC的面积为____________。 0cm、45cm、80cm

图，在△ABC中，A，在BC上有100个不同 B?AC?5，BC?2 的点P，过这100个点分别作△ABC的内接矩形 、P、P…P123100 …P，设每个内接矩形的周长分 PEFG，PEFGEFG11112222100100100100 A 222F E2 F2 E1 F1 B P1 P2 G2 G1 C 别为L，则LL 、L…L??…?L?1210012100____________。

ADS1EFBAAEBF如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并将△ABC分成三块S1、S2、S3，

若S1︰S2︰S3＝1︰4︰10，BC＝15，求DE、FG的长

如图AB∥EF∥CD,AB=2,CD=8,AE∶EC=1∶5,则EF= .

S2S3GC

如图,若G是△ABC的重心,GD∥BC,则

BGDCCDS?ADG∶S?ABC= .

如果梯形的中位线的长为12cm，一对角线分中位线所成的两线段的比为2:1，则梯形两底的长分别是--------------------------------（ ）

（A） 8cm,16cm （B） 10cm,14cm （C） 6cm,8cm （D） 4cm,20cm

△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成一个正方形形状，请你说明用下图中的哪种剪裁方法的利用率高。

2

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A已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

A

DP

已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分∠ABC。求证：

DOBECBQC问题二图 CBO?BD?BC。

2变式1图 M

如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、S3，分别为4、9、49，求△ABC的面积。

如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，求菱形AMNP的周长。

AS1RPS2TNS3B例3图 AMPBNC变式1图

如图，点C，D在线段AB上，且△PCD为等边三角形．

（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB； （2）当△ACP∽△PDB时，试求∠APB的度数．

如图，G为△ABC的重心，GF∥AC，求DF：FC，BC：BF的值．

3

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D、E是△ABC中点，CD、BE交于G，若△ABC面积为36，则△DGB的面积是_________。

如图，梯形ABCD对角线交于O，中位线EF分别与BD、AC交于G、H，若△ACD与△ACB的面积比为2：3，则△OGH与△OCB的面积比为_________。训练：如果ADO△ACD与△ACB的面积比为3：4呢？

FE GH

BC如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B

点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当

S?BCQS?ABCS?BPQ1?，求的值；

S?ABC3

为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水

平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯

‘

方向走了4米（BB）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B‘‘

C）为1.8米,求路灯离地面的高度.

ShOABCA'B'C'

如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）

A．24m B．22m C．20 m D．18 m

数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为

米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落

米，落在地

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在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为面上的影长为

米，则树高为 米．

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如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

（第21题）

已知：如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交A于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明

成立（不

EF图1

C要求考生证明）.若将图1中的垂线改为斜交，如图2，AB∥CD，AD，BBC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则： ⑴

还成立吗？如果成立，请给出证明；

DAEBF

A

CD如果不成立，请说明理由；

⑵ 请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明.

已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF。

F

E

B

C

D

P2

如图：△PQR是等边三角形，∠APB＝120°（1）求证：QR＝AQ·RB （2）若AP＝

，AQ＝2，PB＝

。求RQ的长和△PRB的面积。

AQRB

如图，△

中，

，

，处，并且

，将△∥

，则

沿

折

C'AD叠，使点 落在AB边上的________

的长是

BEC 5

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A．

如图，矩形

B． C． D．

中，于，恰是的中点，下列式子

D E F 成立的是（ ） A．C．

B．D．

C

A

A D G F

B

如图,已知点D是AB边的中点,AF∥BC,CG∶GA=3∶1,BC=8,则AF＝

E

B 第20题

C

如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC和BD相交于O点，＝1:9，则

＝（ ）。

（A）1:9；（B）1:81；（C）3:1；（D）l:3。 如图，

，G为AF的中点，则＝_______。

如图，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝，（用

式子表示）

，则EF＝________。

如图3，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…

是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是( )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

图3

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如图，在△ABC内有边长分别为8，6，的三个小等边三角形⊿DCE、⊿FEG、⊿HGP，且点D、F、H在边AB上，点E、G、P在边BC上，则x的值为_______.

如图甲，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图乙（其中EF∥BC），已知图乙的面积与原三角形的面

积之比为3∶4，且阴影部分的面积为8A．12C．20

B．16 D．32

，则原三角形面积为（ ）．

B

如图,把菱形沿对角线的方向移动到菱形

的位置,它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是的面积的是( ） .1

.

.

.

,若

,则菱形移动的距离

E A F C （第10题图甲）（第10题图乙）AE如图13，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点

DGHC图

1G，H在DC边上，且GH?DC．若AB?10，BC?12，则

2中阴影部分的面积为 __ ．

BF图13

S如图，点A、B、C在同一直线上，且BC=2AB,点D、E分别是 S2 AB、BC的中点，分别以AB、DE、BC为边，在A、C同侧作三个 1正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1、A D B E S2、S3,若S1+S3=5,则S2=_______________ 第5题图

S3 C

图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，A 则图中阴影部分的面积为 cm2。

趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子

7

B

M D E C N (第6题图)

（第11题图）

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长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）

A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米

如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝

AB，连结

EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为………………（ ）

（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰2

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