高中数学专题名师精解“立体几何”题

考场精彩（9）

(9) 专题精解“立体几何”题

1.（2007年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：

①m＇⊥n＇?m⊥n; ②m⊥n? m＇⊥n＇

③m＇与n＇相交?m与n相交或重合； ④m＇与n＇平行?m与n平行或重合. 其中不正确的命题个数是 ．．．A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】D 以教室空间为长方体模型，m＇,n＇作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知

m＇⊥n＇是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m＇,n＇相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题.

【说明】 抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.

2.（2007年北京卷第3题）平面α∥平面β的一个充分条件是

A. 存在一条直线a,a∥α,a∥β B. 存在一条直线a,a??，a∥β

C. 存在两条平行直线a,b,a??，b??,a∥β,b∥α D. 存在两条异面直线a,b,a??，b??,a∥β,b∥α

【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为α，β，可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项，从而排除前三项.

【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.

3.（2007年湖南卷第8题）棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

2222A． B．1 C．1? D．2

【解析】D 平面AA1D1D截球所得圆面的半径,R?被球O截得的线段为圆面的直径d,d?2r?【说明】 相关知识点：球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

AD12?22,?EF?面AA1D1D，?EF

2.故选D.

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正

方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为

4.(2007年全国Ⅰ第7题) 如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，则异面直线A1BAA1?2AB，与AD1所成角的余弦值为（ ） A．

15D1 612a,外接球的半径为64a.

C1 B1

B．

25 C．

35 D．

45

A1

【解析】D 连接CD1，则∠AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角， 设AB=1，cos?AD1C?5?5?225?5?45.

D A B

C

【说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键.

5.（2007年浙江卷第6题）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

Ｂ．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 Ｃ．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 Ｄ．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

【解析】B 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m,这与l,m异面矛盾；对于B，过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线可能没有；对于D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条. 【说明】 空间线线关系，找空间模型.

6.（2007年山东卷第3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

【解析】D 正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同.

【说明】 空间想象力的发挥.

7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线m，n，两个平面?，?．给出下面四个命题：

①m∥n，m⊥??n⊥?；

②?∥?，m??，n???m∥n； ③m∥n，m∥??n∥?；

④?∥?，m∥n，m⊥??n⊥?． 其中正确命题的序号是（ ）

Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③

【解析】C 对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.

8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 (A)

64 (B)104 (C)

22 (D)

32

【解析】A 欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是A1C1的中点D.

64A1DC1B1所以?B1AD就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为，

CAB故选A.

【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对 直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。

9.(2007年天津卷第6题) 设a，b为两条直线，?，?为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）

Ａ．若a，b与?所成的角相等，则a∥b Ｂ．若a∥?，b∥?，?∥?，则a∥b Ｃ．若a??，b??，a∥b，则?∥? Ｄ．若a??，b??，???，则a?b 【解析】D A中，a、b可能平行、相交、异面； B中，a、b可能平行、相交、异面； C中a、b可以同时与α、β的交线平行； D中a、b可以看作是α、β的法向量.

【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.

10. (2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） Ａ．5部分 Ｂ．6部分 Ｃ．7部分 Ｄ．8部分 【解析】C 以点代线，以线代面，可画示意图如下：

[来源学科网ZXXK]

【说明】 图直观，无须说理.

11. (2007年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真命题是（ ） ．．．

A．若m??，???，则m?? B．若?∩?=m，?∩?=n，m∥n，则?∥? C．若m??，m∥?，则??? D．若???，???，则??? 【解析】C A中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；B中，平面α与β也可能相交；C中，∵m∥?，过m作平面γ交平面α于m′，则m∥m′. 又∵m??，∴m′??. 由面面垂直的判定定理可知，???；D中，平面β与γ也可能相交成或平行. 【说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.

12. (2007年福建卷第8题) 已知m，n为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

[来源学&科&网]

A．m??，n??，m∥?，n∥???∥? B．?∥?，m??，n???m∥nC．m⊥?，m⊥n?n∥?

D．n∥m，n⊥??m⊥?

【解析】D 对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误. 对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面α内. 【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系.

13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD?A?B?C?D?中，AB?1，AA????[来源学科网ZXXK]

2，则A，C两点间的球面距离为（ ）

??A． B． C．24? D．22?

【解析】B 如下图所示，

设球的半径为R，则有R?外接球的心，

(2)?1?12222?1，连结AC，连结AC′、A′C交于点O，则O为

在△AOC中，AO=OC=1，AC=2，所以∠AOC=所以A、C两点间的球面距离为

?2?2.

.

[来源:Zxxk.Com]

【说明】 本题考查组合体的知识.

13（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱

柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．

略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为α.

若B、C在α同侧（图1），易证∠ABC为锐角，不合题意；

若B、C在α异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ=23. 这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x，CP = 2x，利用勾股定理得2?x2?22???2x??22求解也简单.

[来源学科网Z.X.X.K]2C1A1C

B

C G B1MND

H A Q

图1 图2

P

A B

A22P22BC

只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B、C都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.

在下关于这题的解法是：

【解析】延长MN、CB交于P，连AP.

第1，可证M为PN的中点.：作MD∥BC，交CC1于D.显然：△AMB≌△MND.故DN=BM=CD，即BM=

12 CN是△PNC的中位线，∴M为PN的中点.

第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出△APN是等腰直角三角形. 以下由△ABP中BA=BP=2，ABP=120°，得AP?23，从而边AN?23.

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