数学建模集训讲义(7-7节)

数学建模讲义

§7 煤矸石堆积

（1999年全国大学生数学建模竞赛C题）

煤矿采煤时，会产出无用废料煤矸石．在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石．通常矸石的堆积方法是：

架设一段与地面角度约为 25 的直线形上升轨道（角度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来．

现给出下列数据：

矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角） 55；

矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3； 运矸车所需电费为 0.50元/度（不变）；

运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约下降2%； 土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅约10%； 银行存、贷款利率均为5%；

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煤矿设计原煤产量为300万吨/年；

煤矿设计寿命为20年；

采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%～10%． 另外，为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10%． 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为100万元/年，这笔钱是否够用？试制订合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用．

模型假设

1．矸石山是棱锥和圆锥的嵌入体，棱锥和圆锥的侧面与地面形成的夹角均为 55 （安息角），运矸车道SA与地面的夹角 25；

2．矸石容重c 2 103kg/m3；

3．原煤年产量理解为去掉矸石的净煤产量；

4．年度征地方案理解为最多于每年初征地一次；

5．煤矿用于处理矸石的经费100万元/年理解为每年初一次拨出；

6．银行利息为复利，煤矿使用银行资金存贷自由；

7．征地费于当时付出，电费于当年内付出，不可拖欠；

8．20年只堆积一个矸石山（参看最后的附注）．

模型建立

1．矸石山的底面积和征地费

1.1 矸石山的底面积、体积与高度的关系

在题图中A—SBOD是棱锥部分，A—BCD是圆锥部分，ΔSOB是直

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角三角形( OBS为直角)．记矸石山高h AO， OSB，可得 OBtan tan tan25 sin 19 , OShtan tan tan55

11hhcos ΔSOB面积=OS OBsinSOB cos h2，22tan tan 2tan tan

扇形O—BCD的半径OB h，而扇形角 BOD 2 ，所以， tan

2 h 2 22扇形O—BCD的面积= h． 2 tan tan

矸石山的底面积为ΔSOB、ΔSOD与扇形O—BCD面积之和，得

cos 2 222 S h 2.35hm tan tan tan

征地面积至少为 ． （1）

2.587h2m2S(h) 1.1S

矸石山的体积为

． （2） 0.784h3m3V(h) Sh． （3）

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1.2 征地面积与采煤出矸率的关系

1 设出矸率为p，记q p 1 p ．1kg原煤，折合成含矸煤为kg，1 p

其中矸石量为pkg=qkg．由于原煤产量为300万吨/年，则年均出矸1 p

7量为300q 10

63，按矸石容重c 2 10kgm换成体积为331.5q 10m，于是t年后矸石山的体积为

V(t) 1.5qt 10m 63 （4）

由（3）、（4）式可得矸石山高度与t关系 3（5） h(t) 124.1 qt m

将（5）代入（2），并注意1亩=20002m，得t年后占地面积为 3

3S(t) 59.77 qt （亩） （6）

由（5）、（6）式得20年后矸石山高与占地面积分别为

33． h(20) 337.1q m ，S(20) 440.4q（亩）

例如，当p 0.1时，h(20) 162

1.3 征地面积计划

因为地价年涨幅． m ，S(20) 102（亩）10%高于贷款利率5%，所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费向银行贷款．

例如，当p 0.1时，征地费为Q 8 102 816（万元）．

2．堆积矸石的电费

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2.1 运矸车机械效率

当运矸车坡道行程为l，高度为x时，l xsin ，从而运矸车机械效率为

x x 0.3 1 0.02 l 0.3 0.98 0.3e 0.00478x （7）

2.2 运矸车机械功

现在我们求堆积到高度h时运矸车所作的机械功．设想把区间 0,h 分成若干个小区间，取其中任一小区间并记作 x,x dx ，在此小区间上体积增量为 V(x)，此时需把重量为 V(x)c的物体从地面拉到x处，做功微元为x V(x)c，从而堆积到高度h的机械功为 (x)

xc（8） J h (x) (x)h

以（3）、（7）和g 9.8 ms2 代入得

（9） J h 1.537 0x3e0.00478xdx 105焦耳 h

（9）式右端的积分可以用下式算出：

h3bx3322bh b4 （10） hb 3hb 6hb 6e 6 0xedx

2.3 电费

按照1度（电）=3.6 106焦耳和0.50元/度，可以由（9）、（10）、

（5）算出从开始到t年的电费．当p 0.1时，t 1到t 20年的电费为

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为了与所给经费比较,将它们都按利率5%折合成现值．

20年总电费K和总经费S分别为

20K(t)20100，S 1269（万元） （11）K 404（万元）t 11.05t 11.05

总电费K与征地费Q之和为1220（万元），未超过总经费S． 对于不同的出矸率，费用的计算结果如下：

3．结论

开始时按10%的出矸率为20年堆积矸石征地102亩，不足经费向银行贷款，以后每年用当年经费缴电费并还贷，20年经费刚好够用．

若出矸率高于10%，如11%时，上述结果表明，经费已不足． 注：上面的计算是基于20年只堆积一个矸石山的假设，若堆积多个矸石山，显然征地费将增加，而电费将减少，那么总费用如何呢．

若堆积两个矸石山，每个10年，不难算出，征地费为513×2=1026（万元），电费为185×2=370（万元），总费用1396（万元），大于上面的1220（万元）．

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所以堆积一个矸石山是正确的．

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