数学建模之小谈《代数与中国古代经典》的第五章第一节

数学建模之小谈《代数与中国古代经典》的第五章第一节,熊辉老师的选修课作业

选择的作业题目是：认真阅读《代数与中国古代经典》的第五章第一节，阐述其中之数学结构以及模型。

小谈《自然哲学的代数结构》

其实我几乎没有看过《易经》这一本书，但是因为爸爸也比较喜欢研究风水和卜卦算命，而且我也看到老爸经常看的书中貌似也有这么一本，加上历史书上有提到，所以我一直都认为《易经》就是一本卜卦算命的书。但是在我认真地阅读了《代数与中国古代经典》的第五章第一节后，我才知道它是一本伟大的哲学著作，而且涵括了很多个方面，如：哲学、数学、物理、天文、医学、生物学、文学、伦理学、逻辑学等。其中有关数学的内容更是涉及到几何、坐标、对偶、组合、同余等。

《易经》中最形象的代数代表就当数河图、洛书和太极图。而洛书其实就是我们大多数人所认知的九宫。而且河图、洛书是按照组合的方式来排列的。洛书奇偶相间，可按伏羲先天八卦排列，中间的五点独立于周边的八个点群组成的圆周之外。而河图则是按纯奇和纯偶各自组成一个旋转弧。河图和洛书分别对应着九宫和八卦，在书中老师认为，从数域的角度上可能都和八元数有关。

在数学中，实数是复数的实部，是复数的一个维度。而人有阴阳两性，阳性通常表露在外，阴性通却是隐藏难察的。那么完整的太极图就相当于实数，而“太极生两仪”就相当于数域从实数扩展到复数。太极图包含了阴阳两鱼（仪），意味着复数是由实数而生。而“两仪

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生四象”和“四象生八卦”则意味着数域从复数被扩展到四元数和从四元数被扩展到八元数。

低维空间中抽象的代数是可以用坐标系简洁表达出来的，一维数轴相当于实数，二维（直角）坐标系相当于复数，三维（直角）坐标系相当于四元数的虚部，如果加入实数的话，就可以构成完整的四元数，对应的坐标系则为四维时空。而四元数中的一元三虚的形象也许也可以说明，在“时空”中，只有时间是实的，而空间是虚的。老师在书中说，一个观点是比较抽象的，而且也是难以接受的。因为我们的现实世界里三维空间是可观测的，这就导致了空间是“实”的一般看法，而时间是难以把握，因此很容易被认为是“虚”的。

但是如果把四维空间投影到三维空间，那么总共就刚好只有八种投影形式，这刚好和八卦的卦数吻合。而这种吻合也许可以说明，三维空间实际上正是《老子》“三生万物”和《易经》“四象生八卦”的数学基础。

而《易传·系辞上》中的“是故易有大极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业”的无极相当于0，太极相当于实数，基底为1.“太极生两仪”即为阴阳，这就相当于复数，阳的基底为1，阴的基底为i。由此类推就可以得到以数域基底的对应图。

书中设αm为任意数，m为自然数，α1可以表示太极，特别地，α1=0,时，为无极。复数α1+α2i就表示两仪，四元数（α1+α2i）+（α3+α4i）j就表示四象（其中i，j，ij=k为虚数单位）；八元

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数（α1+α2+α3j+α4k）+（α5+α6i+α7j+α8k）e表示八卦（其中i，j，k，e，ie，je，ke为虚数单位）。

在四象中虚数单位满足：ii=jj=kk=-1；ij=k，ji=-k；jk=i，kj=-i；ki=j，ik=-j；jik=ikj=1，ijk=jki=-1等。而ii=jj=kk=-1都可以表示阴爻乘以阴爻可得阳爻，但是方向和阳爻乘以阳爻的方向相反。而在四象中，ij=k则表示少阴和少阳相乘可得太阴，满足“负负得正”，ji=-k则也意味着负负得正并逆向，其他的也同理可得。这就可说明四象中的“太阳”，对于普通的乘法而言，是四象中的一个恒等变换。也不难证明，四元数的虚数单位i，j，k是线性无关的，因为四元数的虚数都可以纳入并构成三维空间。而当实部为0的四元数时，即为纯虚数，假设有两个四元纯虚数，w1=α1i+b1j+с1k，w2=α2i+b2j+с2k，则w1w2=-w1·w2+ w1*w2。因此四元数的积代数还是一个三维的“李代数”。而八元数的基底间的普通乘法法则和四元数是一样道理的。而且在不同的虚数的单位相乘时，八元数的基底满足负交换律；但是三个或者三个以上就不一定满足，如：ke=ije≠i（je）=-ke，而其他的可以类推。

老实说，我把《代数与中国古代经典》这一本书看了一遍，感觉有很多很难理解的，当然也包括那些古文，但是我还是感觉到了中国古代经典中所包含着的数学的美，而且数学的美无处不在，令人窒息！而我由于比较喜欢九宫图的内容，所以选择了阐述第五章第一节的数学结构以及模型，但是我看了三四遍，还是理解不透彻，可能是我对于多维空间不是很了解吧。但是我还是想感叹一下，古人的智慧真的

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令人很佩服啊，古代的文化真的是博大精深啊！而利用数学的结构以及模型来解释古人的那些思想和文化更是让人受益匪浅啊！

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