《数学建模》09秋模拟试题2

《数学建模》09秋模拟试题2

一、填空题（每题5分，满分20分）：

1．若银行的年利率是x%，则需要时间 ，存入的钱才可翻番． 2．马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 ． 3．假设S?C1Y,Y?C2x,则S与x的数学关系式为 ，其中C1,C2是常数．

4．设某种物资有两个产地A1,A2，其产量分别为10、20，两个销地B1,B2的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a,则最优运输方案与运价具有 两个特点．

二、分析判断题（每题15分，满分30分）：

1．有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种．

2．假设某个数学模型建成为如下形式： P(x)?试在适当的假设下将这个模型进行简化．

Mx[1?(1?xa221)2]ex2.

三、计算题（每题25分，满分50分）：

1．有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示. 但其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大．试给出最优运输方案.（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数?ij?0时为最优解，检验数求法不变）

表1 单位:万元/吨

销地 利润 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 1 7 3 11 9 4 6 3 10 2 8 10 5 5 6 产量 7 4 9 2．有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站

E1,E2,E3,F1,F2,F3,G1,G2,G3.从

A到E1,E2,E3的运价依次为3、8、7；从E1到F1,F2的运价为4、3；从E2到F1,F2,F3的运价为2、8、4；从E3到F2,F3的运价为7、6；从F1到G1,G2的运价为10、12；从F2到G1,G2,G3的运价为13、5、7；从F3到G2,G3的运价为6、8；从G1到B,C的运价为9、10；从G2到B,C,D的运价为5、10、15；从G3到C,D的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线．《数学建模》09秋模拟试题

2参考解答

一、填空题（每题5分，满分20分）

1．ln2/ln(1?x%) 2．增长率是常数还是人口的递减函数

1

3．S?k1k2C1C2x?kx，其中k?k1k2C1C2 4．最优运输方案不惟一；总运费均相等

二、分析判断题（每题15分，满分30分）：

1．解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素： 盘子的油腻程度，盘子

的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度；刷洗地点的温度等． 2．解：当

xa较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为(1?M2a2x2xa221)2?1?x222a,

从而有 P(x)? P(x)?M2a22xe. 若x也很小，则可以利用ex?1?x将其进一步化简为

x(1?x).

三、计算题（每题25分，满分50分）

1．解 首先利用“最大元素法”求出初始方案如表：

表2 单位:万元/吨

销地 利润 产地 A1 A2 A3 销量 其次，对方案进行最优性检验：

B1 B2 B3 B4 3? 11⑥ 3? 10① 1? 9? 2? 8④ 7③ 4? 10⑤ 5① 3 6 5 6 产量 7 4 9

?11 = 3-10+5-7=-9 < 0， ?13 = 3-10+5-10=-12 < 0， ?21 = 1-8+5-7=-9< 0， ?22 = 9-11+10-8=- 0， ?23 = 2-8+5-10= -11 < 0， ?32 = 4-11+10-5= -2 < 0， 故初始方案已是最优方案，即总利润达到最大的运输方案为： A1???B2,A3???B1,36A1???B4,A3???B3,51A2???B4,A3???B414

5?1?184（万元）

总利润为：11?6?10?1?8?4?7?3?10?5? 2．解 建立图模型如图1．

10 4 E1 F1 12 3 3 2 13 8 8 5 E2 A F2 4 7 7 7 6 6 8 E3 F3

图1 3 4 利用双标号法计算结果如图2． E1 3 3 8 2 8 0 A E2 8 4 7 7 图2 6 E3

7 G1 9 10 10 15 7 B 5 G2 8 G3 7 C D 19 17 16 F1 6 10 12 9 G1 10 G2 10 15 8 G3 13 B 21 13 F2 5 7 6 F3 13 12 11 5 C 8 7 D 20 2 再利用逆向搜索法便可得到运输路线有： A?E1?F2?G2?B， lmin?16；

A?E1?F2?G2?C 或 A?E1?F2?G3?C, lmin?21;

A?E1?F2?G3?D, lmin?20． ???????25分 （注意，到C的路线只给出一条者扣2分）

3

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