物理大地测量学教案

武汉大学教案

课程名称：物理大地测量学 专 业：测绘工程 考试方式：考试 授课教师：罗志才

研究所：地球物理大地测量 单 位：测绘学院

2006年3月

教材与参考书

1、教材

郭俊义编著. 物理大地测量学基础. 武汉测绘科技大学出版社，2000 2、参考书

（1）管泽霖，宁津生编. 地球形状及外部重力场（上册）. 测绘出版

社，1981

（2）W.A. Heiskanen and H. Moritz物理大地测量学. 卢福康，胡国理

译. 北京：测绘出版社，1979

（3）操华胜 编著. 地球重力学（讲义）

（4）管泽霖，宁津生编. 地球重力场在工程测量中的应用. 武汉测绘

科技大学出版社，1992

（5）李建成，陈俊勇，宁津生，晁定波. 地球重力场逼近理论与中

国2000似大地水准面的确定. 武汉大学出版社，2003

教学安排

1、教学目的

物理大地测量学是大地测量学的一门重要的专业课程，其主要任务是研究地球形状及外部重力场。通过对本课程的学习，要求学生掌握地球重力场的基本知识、确定大地水准面的理论和方法（包括大地测量学边值问题的基础理论、Stokes理论和Molodensky理论等）、地球重力场的相关应用等，并为学生进一步研究地球重力场及相关地球科学问题打下坚实的基础。

2、教学要求

熟悉“物理大地测量学的基本概念、研究内容及主要应用领域”，掌握“重力测量的基本原理、确定地球重力场的基本理论及相关的基础知识”，重点掌握“地球重力位理论和确定大地水准面形状的Stokes理论”。

3、课程内容与学时分配

课程内容与学时分配表

内 容 概述 重力测量原理 位理论基础 正常重力场 确定大地水准面形状的Stokes理论 基于Moledensky理论确定地球形状的基本原理 地球重力场的应用 学 时 2 5 10 8 10 5 5

第一章 概述

重点讲授物理大地测量学的发展进程、学科任务及内容；简单介绍该课程与本专业其它课程、地球物理学、地球动力学、海洋学等相关学科的关系，以及在国家经济建设、国防与军事建设中的地位和作用。

1、学科任务

物理大地测量是大地测量学科的重要分支之一，是构成现代大地测量学科体系的主要基础，其主要任务是用物理方法研究和确定地球形状及其外部重力场，又称大地重力学。从哲学的观点来看，地球重力场与其它物理场一样，是不以人的意志为转移的客观存在，是物质的一种存在形式；从自然科学的观点来看，重力场是地球最重要的物理特性，制约着在该行星上及其邻近空间发生的一切物理事件，引力是宇宙一切物质存在的最普遍属性，制约着宇宙的演化和发展。地球重力场反映地球物质的空间分布、运动和变化，确定地球重力场的精细结构及其时间相依变化将为现代地球科学解决人类面临的资源、环境和灾害等紧迫课题提供基础地学信息。

2、发展进程

18世纪中叶以前，人们单纯采用几何大地测量方法测定地球形状。1743年法国的克莱洛在其著作《地球形状理论》中，假设地球内部处于静力平衡状态，地球的质量密度分布是从地球质心向外，随距离的增加而减小的。在这种假定下，他认为地球的外表面应是一个水准椭球，即椭球表面上各点的重力位相等，从而论证了重力值（物理量）和地球扁率（几何量）之间的数学关系，这一论证称为克莱洛定理。这一定理奠定了用物理方法研究地球形状的理论基础，形成了物理大地测量学的核心内容。

随着大地测量观测精度的提高，发现一些弧度测量的平差结果之间的矛盾远远超过了观测误差。19世纪初，法国的拉普拉斯和德国的高斯、贝塞尔等都认识到椭球面不足以代表地球表面。1849年，英国的斯托克斯提出了斯托克斯理论，即在地球的外重力位水准面上给定重力和重力位，已知地球离心力位，可以求出这个外重力位水准面的形状和外部重力位，无须对地球内部物质分布作任何假设。但为了求得唯一解，水准面外部不能有质量存在。斯托克斯理论是克莱洛定理的进一步发展。1873年，利斯廷提出用大地水准面代表地球形状，由此可将斯托克斯理论用于研究大地水准面形状。但实际上由于大地水准面外部存在大

陆，所以必须通过重力观测值的归算移去这些物质，这将使大地水准面发生形变，并且必须知道归算范围内岩层密度分布的数据，这是一个十分复杂而难以解决的问题。所以归算问题一直成为经典的斯托克斯理论的障碍。尽管如此，斯托克斯理论还是推动了大地水准面形状的研究工作。

1945年，苏联的莫洛坚斯基提出了用地面重力观测来确定地球形状的理论，从而回避了长期无法解决的归算问题。但是仍然存在资料（重力数据）不足的矛盾。在平原或丘陵地区应用经典方法，虽然归算在理论上不严密，但不足以影响大地水准面的计算精度。困难在于莫洛坚斯基理论虽然严密，但在高山地区所需要的数据众多，当时条件下很难满足。

1964年瑞典的布耶哈默尔(A.Bjerhammer)应用重力延拓方法，1969年丹麦的克拉鲁普(T.Krarup)和1973年奥地利的莫里茨(H.Moritz)应用最小二乘拟合推估的方法进行解算，初步解决了上述困难(见地球形状)。

1957年第一颗人造地球卫星发射成功之后，才使物理大地测量学发展到一个崭新的阶段。其标志是开创了卫星重力探测时代，包括根据卫星轨道摄动理论，观测卫星轨道摄动确定低阶位系数；利用卫星海洋雷达测高确定高精度高分辨率海洋重力场模型和大地水准面模型；GPS技术结合水准测量直接测定大陆大地水准面；以及本世纪初利用卫星跟踪卫星（如CHAMP和GRACE）和卫星重力梯度测量技术（如GOCE）可以确定全球更高精度和分辨率的静态重力场模型和时变重力场模型。卫星重力探测技术的发展，突破了人们过去获取重力场信息的局限性，使得物理大地测量的研究从局部或区域性扩展到全球，从测定静态地球重力场发展到测定时变重力场，从而丰富了物理大地测量学的内容，推动了物理大地测量学的发展。

3、学科内容

物理大地测量学主要研究以下几个方面的问题：

（1）重力位理论：它是利用重力以及同重力有关的卫星观测资料确定地球形状及其外部重力场的理论基础，主要研究重力位函数的数学特性和物理特性。

（2）地球形状及其外部重力场的基本理论：它主要是研究解算位理论边值问题，例如按斯托克斯理论或莫洛坚斯基理论或布耶哈默尔理论等解算，以此推求大地水准面形状或真正地球形状和地球外部重力场。

（3）全球性地球形状：利用全球重力以及同重力有关的卫星观测资料，按确定地球形状及其外部重力场的基本理论，推求以地球质心为中心的平均地球椭球的参数，以此建立全球大地坐标系，并在此基础上推求全球重力场模型、大地水准面差距、重力异常和重线偏差等。

（4）区域性地球形状：按确定地球形状及其外部重力场的基本理论，采用局部地区的天文、大地和重力资料，将含有地球重力场影响的地面各种大地测量数据（如天文经纬度、方位角、水平角、高度角、距离和水准测量结果）归算到局部大地坐标系中，以此建立国家大地网和国家水准网。利用地面重力资料、卫星测高资料、卫星跟踪卫星数据及其他重力场信息，推求高精度高分辨率区域重力场和大地水准面模型。

（5）重力探测技术：研究获取地球重力场信息的技术和方法，包括地面重力测量、海洋重力测量、航空重力测量、卫星雷达测高、卫星跟踪卫星、卫星重力梯度测量等的技术原理和数据处理方法，以及其它新的重力场信息获取技术。

（6）地球重力场的地学解释：利用地球重力场信息研究地球的内部结构，解释某些地球动力学现象等。

4、主要应用领域

（1）测绘科学中的应用：各种大地测量数据（如天文经纬度、方位角、水平角、高度角、距离和水准测量结果）的归算；推求地球椭球或参考椭球的参数；建立全球高程基准；GPS测定正高（或正常高）；精密定位；卫星精密定轨等。

（2）相关地球科学中的应用：地球深部结构及海洋洋流变化、固体地球均衡响应、冰后回弹、地幔和岩石圈密度变化、地球物理勘探、海洋洋流和大气质量分布变化等。

（3）国防和军事中的应用：为建立高技术信息作战平台和现代军事技术提供高分辨率高精度地球重力场信息，应用于侦察低轨航天器轨道的设计和轨道确定、提高陆基远程战略武器的打击精度及生存能力、提高水下流动战略武器（潜艇载战略导弹）打击精度、对地观测卫星的精密定轨等。

思考题

1、物理大地测量学的主要任务是什么？ 2、为什么要研究和确定地球重力场？

第二章 重力测量原理

重点讲授重力的定义、利用自由落体原理测定绝对重力、静力法测定相对重力（弹簧重力仪的原理）、当前国际上及我国使用的重力基准及重力测量仪器。

1、重力的定义

万有引力：质量与质量之间的一种相互吸引力，简称为引力，即 离心力：设坐标系统绕z轴以角速度 转动，则Q点（x，y，z）的离心力为：

，离心力为惯性力，但不是物质力，其方向垂直于自转轴向外，

并且随该点到自转轴距离的增大而增大。

重力：

狭义定义： 地球所有质量对任一质点所产生的引力与该点相对于地球的平均角速度及平均地极的离心力之合力。 广义定义：宇宙间全部物质对任一质点所产生的引力和该点相对于地球的瞬时角速度及瞬时地极的离心力之合力。 重力的单位：

2、重力测量方式

（1）绝对重力测量：用仪器直接测定地面上某点的绝对重力值。地球表面上的绝对重力值约在978～983Gal。

（2）相对重力测量：用仪器测定地面上两点之间的重力差值。地球表面上的最大重力差约为5000mGal。

（3）固定台站重力测量：观测重力随时间的变化。 （4）流动站重力测量：观测重力随空间位置的变化。

3、重力测量原理

动力法：观测物体的运动状态以测定重力，可应用于绝对重力测量和相对重力测量。

静力法：它是观测物体受力平衡，量测物体平衡位置受重力变化而产生的位移来测定两点的重力差，该方法只能用于相对重力测量。

重力测量类型：陆地重力测量、海洋重力测量、航空（或机载）重力测量、卫星重力测量（地面跟踪观测卫星轨道摄动、卫星雷达测高、卫星跟踪卫星测量、卫星重力梯度测量）。

（1）自由落体测定绝对重力

自由落体的运动方程为：

这里是自由落体的下落距离；的下落时间；

是自由落体的起始高度；是从起始高度起算

是在起始高度上自由落体的下落初速度。

自由落体三位置法：

其中，，，

对称自由运动的方法（上抛法）：

重力与观测值和之间的精度关系：

对上式两边取对数微分可得，

应用误差传播定理，得

若要求，则按等影响原则，有

如果物体下落距离时间量测误差不超过

，下落时间

。

，则长度测量误差应不超过1微米，

（2）振摆测定绝对重力

按理论力学中的转动定理有：

其中为物理摆对固定轴的转动惯量；为物理摆的摆动角速度，即

减小；

，

这里负号表示偏角增加，角速度

。

物理摆的运动方程为：

为重力分量对固定轴的力矩，且

这里，称为改化摆长。

求解上述微分方程可得：

重力与观测值和之间的精度关系：

假定对的影响相等，并要求重精度为1mGal，即观测误差为：

，则摆动周期的允许

改化摆长的允许观测误差为：

也就是说，如果要求重力测量达到1mGal的精度，则当摆动周期为1s时，周期的观测误差不得超过微米。

；当改化摆长为1m时，其量测误差不得超过1

（3）振摆测定相对重力

或

这里，。

（4）静力法测定相对重力

垂直型弹簧重力仪：

其中C称为重力仪的格值。 扭丝型重力仪：

这种重力仪是根据石英丝的扭力矩与重力矩平衡的原理制成的。

这里为石英丝的扭力系数；为摆杆受重力作用后扭丝产生的扭角变化；为

为摆杆相对水平方向的偏角，

摆杆的质量。

摆杆的长度（改化摆长），旋转型弹簧重力仪：

其中，，。

扭丝型弹簧重力仪：

重力仪的特点：(a) 精度高；(b) 观测时间短；(c) 成果计算简单；(d) 体积小、重量轻，适宜大范围内作业，主要用于加密重力测量。 重力仪的灵敏度：重力仪的弹性系统对重力变化的敏感程度。

其中是因重力变化而引起的位移变化，称为重力仪的灵敏度；是温度变

化对观测重力的影响，称为重力仪的温度系数；称为重力仪的气压系数；倾斜灵敏度。 垂

直

型

弹

簧

重

是气压对观测重力的影响，

是重力仪的倾斜对观测重力的影响，称为重力仪的

力仪

：，

扭丝型重力仪：

；当

扭丝型弹簧重力仪：

时，

；当

。当时，

。

时，

（5）外界因素对重力仪的影响

温度影响：

（a）温度补偿（温度补偿重力仪）

，称为温度系数。

(b)恒温装置 (c)温度改正

气压影响：

气压变化只对摆杆的质量有影响，称为重力仪的气压系数，要减小重力仪的气压系数，则必须增大弹性系统摆杆的密度。

倾斜影响：

地磁影响：通常将弹性系统消磁或者把重力仪放在防磁设备中，以消除这种影响。

（6）重力仪的零点飘移

重力仪的弹性系统（弹性体）在外力的作用下产生弹性疲乏现象，使得重力仪在同一观测点的读数随时间而连续变化，称为零点飘移，简称零飘或掉格。

假设零飘与时间成线性变化，则

（7）重力测量数据处理

两点重力差的计算及精度估算：

经零飘改正后，两点的重力差为

精度估算：

若测线次数和仪器数较少，则按下式估算

若测线次数和仪器数较多，则按下面的方法估算：

其中为重力差的真值；系统误差。

为偶然误差；为第一半系统误差；为第二半

，

， ，

重力网的平差：重力网的平差方法与水准网的平差方法类似，可以重力网中各段重力差作为观测值按条件平差方法进行平差，以重力仪的读数为观测值按间接平差的方法进行平差。

4、重力基准

（1）国际重力基准

世界重力基点：维也纳系统（1900年）（1894-1904年）

。

和波茨坦系统

国际重力基准网：1956年IAG决定建立世界一等重力网（FOWGN）、1967年IAG决定在波茨坦绝对重力值中加上-14mGal作为新的国际重力基准、1971年IUGG决定采用IGSN71代替波茨坦国际重力基准，新的波茨坦国际重力基点的值为

。

（2）我国的重力基准

中国曾在1957年建成第一个国家57重力基本网，它的平均联测精度为±0.2×10-5ms-2。在1985年中国又新建了国家85重力基本网，其平均联测精度较之“57网”提高一个数量级，达到±20×10-8ms-2的精度，该网改正了波茨坦系统的系统误差，增测了绝对重力基准点，加大了基本点的密度。1999年在中国又开始了国家2000重力基本网的设计和施测工作，这个网覆盖了中国的全部领土（除台湾外，包含南海海域和香港、澳门特别行政区）。全网由133个点组成，其中有17个基准点（绝对重力点）和116个基本点（相对重力联测点）。为便于今后联测和作为基本点的备用点，对106个基本点每点布设了一个引点。重力基准点的观测精度优于±5×10-8ms-2，重力基本点的相对观测精度优于±10×10-8ms-2。平差后重力基本网的中误差不大于±10×10-8ms-2。

5、重力仪简介

（1）石英弹簧重力仪：ZSM石英弹簧助动重力仪（我国自行研制）；沃顿重力仪（美国），其中标准型的精度为30微伽，大地型的精度为300微伽；CG-2重力仪（加拿大），其中勘探型的精度为50-100微伽，大地型的精度为500微伽。 （2）金属弹簧重力仪：GS型（原西德）重力仪，GS-4至GS-15，我国常用的有GS-11，GS-12和GS-15等；LaCoste & Romberg 重力仪（美国），其测量精度为10-20微伽，测程为7000mGal。 （3）超导重力仪

（4）绝对重力仪：FG-5，A-10

思考题

1、重力的定义是什么？

2、测定绝对重力和相对重力的原理是什么？

第三章 位理论基础

重点讲授引力位的定义、质点引力位、质面（单层和双层）引力位、质体引力位；均质球层、球壳及球体、圆平面层等典型物体的引力位及引力；引力位的性质；离心力位和重力位的定义及性质；位理论边值问题的基本概念；格林公式在求解位理论边值问题、证明位理论边值问题解的唯一性、重力法测定地球质量等方面的应用；Stokes理论和Stokes问题的基本概念。

1、质点引力及引力位

万有引力定律：

令，记，则上式等价于

引力在三个坐标轴上的投影为：

引力位：若存在一函数，使得该函数的梯度等于力，则该函数称为位函数。相应于引力的位函数叫做引力位函数，也简称为引力位。质点引力位可用公式表示如下：

2、质点系的引力位

3、质体的引力位

4、质面的引力位

单层位：

双层位：，

5、几种典型物体的引力位与引力

（1） 均质球层的引力位与引力

，

（2） 均质球壳及球体的引力位与引力

，

（3） 平面层的引力位与引力

，

，，，

6、引力位的性质

（1） 正则性：

，

（2） 位的连续性：质体引力位、单层引力位在全空间是连续的，双层

位在穿过层面时不连续。

（3） 位的一阶导数的性质：质体引力位的一阶导数在全空间是连续

的；单层引力位的一阶导数在层面上是不连续的。

（4） 调和性质：质体引力位的二阶导数在质体表面是不连续的；并且

满足如下的关系式：

，

，

点在质体外部 点在质体内部

7、离心力位和重力位

离心力位：重力位：

，

性质：，，

离心力位和重力位不是调和函数！

8、位的边值问题

（1）边值问题的基本概念

第一类边界条件 也称为狄里赫勒条件。即位在边界上是已知的连续函数，即

其中为物体的边界面，为已知函数。

第二类边界条件 也称为牛曼条件。即位的法向导数在边界上为已知函数，即

其中为曲面的外法向。

第三类边界条件 也称为混合条件，在物理大地测量学中也称为司托克斯条件，即

其中

、为常数并且。

附加条件：指有界性质、周期性质、连续性质、衔接条件、正则性质等等，它们在某些情况下对问题的求解将带来帮助；这些条件有时直接给出表达式，有时被默认存在；在物理大地测量学中，一般情况下前面三个性质总认为应该被满足。

假设所讨论的物体的边界面一般是封闭的曲面，调和函数存在的区域大多被限制在一部分空间之中，或者是所包围的内部区域，或者是它的外部。相应的边值问题分别称为内部边值问题或外部边值问题。外部边值问题一般应有解在无穷远处的性质：正则性条件，该条件以保证解具有唯一性。例如：和同时满足和，这里为单位球面，显然后者为正则函数而前者不是，即只有后者为外部边值问题具有正则性质的解。因此，外部边值问题可写成为：

内部边值问题可写成：

其中：常数、满足，这里的为已知函数。

位的边值问题是否有解存在？何种情况下求得的解有实际意义？这些问题就是数学上的所谓适定性；即如果边值问题存在唯一的、稳定的解，则称该边值问题是适定的。如果一个边值问题根本不存在解，花功夫去求解是毫无意义的；如果求得的解不唯一，则必须设法给求得的解结合物理实际加上一些限制，去掉那些不真实的解，使得解更符合实际；所谓稳定，是指当已知函数有微小的扰动时，问题的解只有微小的扰动。如果解不稳定，即已知函数存在微小误差时，方程的解产生较大的误差；因此，这给方程的求解等提出了更高的要求，否则将失之毫厘，谬之千里。

（2）格林公式及其应用

高斯公式：

内部格林公式：

；

第一格林公式：第二格林公式：

；

第三格林公式：外部格林公式：

，

第一格林公式：

第二格林公式：第

三

格

林

公

式

：

，

格林公式的应用：

(a) 重力方法确定地球质量

在内部第三格林公式中令，则

在外部第三格林公式中令，则

在内部第二格林公式中令取

，将

，则。

代入上式，则有：

若取，则有。

(b) 边值问题解的唯一性分析

证明位理论第一边值问题的解是唯一的：假设解不是唯一的，则在外有两个调和并在无穷远处正则的函数

和

同时满足

上的边界条件，记

，则也是在外调和并在无穷远处正则的函数。 将外部第一格林公式应用于，并在该式中令，则有

根据条件在内

及在

面上

，则上式为：

要使上式成立，则必须在外任意点上都满足下列条件：

即为常数。又根据是在无穷远处的正则函数，则这证明解是唯一的。

(c) 用格林公式解外部边值问题

将地球引力位应用于外部第三格林公式，则有：

只能等于零，亦即，

在外部第二格林公式中假设

。

基本公式：

和为中的调和函数，则

格林函数：第一边值问题：第二边值问题：第三边值问题：(d) Poisson积分

，，，

，

格林函数：

证明：①

，②

(e) 应用于地球表面的重力位

在内部第三格林公式中取为地球重力位

，则有：

上式右边第一个积分就是引力位，即

整理得：

在地球表面上，。顾及，这里为曲面上点处的法向，而是过点处的重力等位面（在该点处）的法向。最后得到：

这是一个关于重力位

(f) 应用于水准面

的积分方程，该式在莫洛金斯基理论上甚为重要。

若是水准面，或者说在上有；此时，公式化为

当计算点位于地球面（水准面）外时，，上式变为

不难看出，引力位为：

当计算点位于地球面（水准面）内时，，上式变为

(g) Stokes定理与Stokes问题

Stokes定理：英国物理学家司托克斯1849年提出的，即若已知一个水准面形状、面上的位（或它内部所包含的物质的总质量）及该物体绕某一固定轴的旋转角速度，则该水准面上及其外部空间任意点的重力位都可唯一确定，并且不需要知道物体内的质量分布情况。

Stokes问题：已知水准面上的重力和重力位（或地球的总质量），以及地球的自转角速度，需求定水准面的形状及其外部的重力位。

思考题

1、设为向经，求半经为

引力位及引力。 2、求半经为

、高度为

的均质圆柱体对内部和外部任意一点的引力位及引力。

、密度为

的球体对外部任意一点的

3、证明位理论外部第二边值问题的解是唯一的。 4、地球引力位有何性质？

第四章 正常重力场

重点讲授引进地球正常重力场的目的意义及基本要求；地球重力位的球函数展开式及其零阶项、一阶项和二阶项的物理意义；利用Laplace方法和Stokes方法确定地球正常重力场的基本原理；实用正常重力公式及正常重力场的基本性质。

1、为什么要引进正常重力场？

，地球形状和地球的密度未知！

确定地球正常重力场的主要意义在于：将地球重力场的求解归结为扰动场或异常重力场（微小量）的求解，保证了其解的存在性，并方便求解。

基本要求：

? 应尽量地符合地球外部的重力场，即不改变地球外部的重力和重力

位；

? 应尽量不改变大地水准面的形状；

? 不改变地球重力场的总质量和旋转角速度； ? 椭球体表面为水准面，且外部没有物质存在； ? 地球质心与椭球中心重合。

2、重力位的球函数展开式

（1）矩的概念

质体的阶矩定义为：零阶矩：

，表示质体的总质量；

一阶矩：，质体对三个坐标面的一阶矩分别等于质体质心的三个坐标与质体质量的乘积。 二阶矩：矩）。

，质体对坐标原点的转动惯量（惯性

质体对三个坐标面的转动惯量为：，，

质体对三个坐标轴的转动惯量为：

对于坐标面的转动惯量与对于坐标轴的转动惯量之间存在以下关系：

离心矩或惯性积：

惯性椭球和主惯性轴：

质体对通过坐标原点的任意轴的转动惯量为：

设，则，，

（2）地球引力位的展开式

，

，

，，

，，将地球作为均质球体看待！

，与地球质心坐标有关！

其中

，

，

如果将坐标原点选在地球质心，则，即。

与地球的转动惯量有关！

如果将坐标轴选在地球的主惯性轴上，则个旋转体，即赤道是圆，则

，

。

；如果地球是一

地球引力位的球函数展开式为：

3、正常重力场的确定

（1）Laplace方法

将地球的重力位展开成球函数级数形式，然后在该展开式中取最大的前几项作为正常重力位，取多少项视精度而定。

在引力位的球函数展开式中只取前三项来表示地球的正常引力位，并将坐标原点设在地球质心，坐标轴为地球的主惯性轴，则正常重力位为：

，

水准椭球体

设地球赤道上的离心力与重力的比值，即为地球形状参数，则有：

在地球赤道上，

，

，则有：

；令，称

正常位水准面的方程式为：

将上式展开成级数，仅顾及扁率级精度，则有：

在顾及地球扁率级精度情况下，上式为旋转椭球体。

正常重力公式

顾及地球扁率级精度情况下，当

时，

；当

时，

则有定义顾及

为重力扁率，则

级量的正常重力公式为：

。

，称为克莱饶定理。

确定正常重力场的参数

、、、、、

只要知道其中四个参数，就能确定正常重力场。

，

，

、

（2）Stokes方法

选择一个形状和大小已知的质体（如旋转椭球体），要求其表面为重力位水准面，其外部的重力位和重力尽量与实际地球的外部重力位和重力接近，并已知该质体的旋转角速度和质量或其表面的重力位，根据Stokes定理可唯一确定该质体外部的重力位和重力，该质体所产生的重力场称为按Stokes方法确定的地球正常重力场。

该边值问题的解可用椭球谐函数表示，椭球外部的引力位可表示为：

正常椭球外部的重力位用、、果一致。且

椭球面上的正常重力值

、。

四个参数确定，这与司托克斯定理结

可用下面的公式求得：

，

克莱饶定理：

若顾及扁率平方级各项，则有：

椭球面上的正常重力值卡西尼公式（1930）：

，

赫尔默特公式（1901-1909）：Gal

WGS84椭球参数：

，

，

rad/s，

的实用公式：

Gal

，

，

，

Gal

4、正常重力场的性质

（1）正常位水准面是向两极收敛的；

（2）在同一纬度上，相邻两正常位水准面之间的距离相等，（3）正常重力线是一根在子午面内向两极弯曲的平面曲线。 （4）正常引力位的球函数展开式：

；

思考题

1、引进正常重力场的目的是什么？

2、地球重力位的球函数展开式中零阶项、一阶项和二阶项的物理意义是什么？ 3、基于Stokes方法和Laplace方法确定正常重力场有何区别？ 4、正常重力场有何性质？ 5、如何确定正常重力场？

第五章 确定大地水准面形状的Stokes理论

重点讲授大地水准面的定义及性质；扰动位、大地水准面高、垂线偏差、重力异常及扰动重力的基本概念和重力测量基本微分方程；求解大地水准面上扰动位、大地水准面高、垂线偏差、重力异常及扰动重力的球函数法；各种重力归算方法（空间改正、布格改正、地形改正和均衡改正）的基本原理、比较及相应的重力异常概念。

1、大地水准面的定义及性质

（1） 水准面的定义

（2） 水准面的性质

任意点的重力方向垂直于通过该点的水准面，水准面之间不一定平行，既不相交也不相切，（3） 大地水准面

大地水准面的定义：如果在某曲面上重力位处处相等，则此曲面称为重力等位面，又称为水准面。设想海洋面处于静止状态，则海洋面上的重力必然垂直于海洋面，否则，海水必然会流动。因此，处于静止状态的海洋面与一个重力等位面重合。这个假想的静止海洋面向整个地球大陆内部延伸形成的封闭曲面，为大地水准面的经典定义。然而，海洋面不可能处于完全静止状态，通常用无潮汐平均海水面来近似代替，如此定义的大地水准面是与平均海水面最接近的重力等位面。大地水准面是高程测量中正高系统的起算面。 （4） 重力位水准面和铅垂线的曲率

重力位水准面的曲率：

，

若P点的切线平行于x轴，则，。 ， ,

水准面与O-xz平面的交线的曲率为：水准面与O-yz平面的交线的曲率为：定义平均曲率为：

，

铅垂线的曲率：

，

2、扰动位的作用及重力测量基本微分方程

（1）扰动位

同一点的重力位与正常重力位之差，即

扰动位具有引力位的性质。

（2）大地水准面高

大地水准面与平均椭球体表面之间的距离。

，（Bruns公式）

（3）垂线偏差

重力方向与正常重力方向之间的差异。垂线偏差描述了大地水准面的倾斜！

，

（4）重力异常

混合重力异常：

纯重力异常（或扰动重力）：重力测量基本微分方程：

3、大地水准面上及其外部扰动位的求解

以椭球面作为边界面，则在球近似下上述边值问题为：

（1） 球谐函数法

重力异常在球面上可用球谐展开式表示为：

系数、由可由球谐函数的正交性得到

式中

为单位球面面元，。

假设正常椭球中心与地球质心重合且正常椭球的总质量与地球总质量相等，则地球外部扰动位也能展开为球谐函数级数形式：

将上式对求导，

顾及

则重力异常的球谐展开式可写成：

扰动位的球谐展开式也可以写为：

再将、的表达式代入上式并交换求和与积分的顺序，有

将球函数的加法公式应用于上式，有

记

则

这就是球近似下司托克斯重力边值问题的解。它表明：若已知大地水准面上的重力异常则

，则可以通过司托克斯积分求得地球外部的扰动位。特别，当

时，

其中称为司托克斯函数，习惯上称为广义司托克斯函数。它可利用大

地水准面上的重力异常求得大地水准面上的扰动位。

司托克斯函数： 广义司托克斯函数为：

其中：为计算点至球面上流动点

，

的距离。 ，则司托

当计算点位于球面上（即大地水准面上）时：

克斯函数变为：

（2） 积分法

假设有一辅助函数

为：

则

外部Poisson积分公式为：

改进的Poisson积分公式（不含零阶项和一阶项）为：

则上述边值问题的解为：

即

将等式两边乘后对积分，积分上下限为从到处，则有

顾及的正则性条件

记

则

几点说明：

，

当设

时，它对扰动重力场不产生影响。

则

该式给出了重力场中面球谐函数和重力异常的关系式，上式中和1。，正常椭

这是因为由假设的结果：正常椭球的总质量与地球总质量相等时球中心与地球质心重合时

。或者说

，

从前一关系式看出，大地水准面上重力异常的平均值为零；或者说前面的假设“正常椭球的总质量与地球总质量相等”可以用“大地水准面上重力异常的平均值为零”来替代。

4、扰动重力边值问题的球近似解

该边值问题可描述为：

这里为大地水准面的近似曲面，即半经为的球面。

将已知观测值用球谐函数表示为：

式中

，

则有

，

将系数

、

代入扰动位的展开式：

则有

记

故上述边值问题的解为：

该式称之为霍泰茵公式。它给出了利用重力扰动求得外部扰动位的积分表达式，并在利用卫星测高资料求定海洋地区的地球形状及重力场时应用广泛。 贝尔聂斯公式：如果扰动位包含零阶项和一阶项，则重力边值问题的提法为：

此时扰动位的解为

其中

上式称为贝尔聂斯公式。用贝尔聂斯公式求解扰动位无须假设地球与正常椭球质心重合等；但用该式求得的扰动重力场（量）与用司托克斯公式（或用霍泰茵公式）求得的重力场（量）是不一致的，必须引起注意。

5、大地水准面高、垂线偏差和扰动重力的求解

（1）大地水准面高

由Bruns公式得到大地水准面高的积分表达式为（Stokes公式）：

扰动位的球谐展开式

通

常写为：

则大地水准面高的球谐展开式为：

地球重力场模型的概念：是一给定的用以描述和确定地球重力场的一类基本参数集合，是真实重力场的近似表达。从一般意义上说，任何一类能以一定精度和分辨率确定重力场的参数集合都是一种重力场模型，如具有一定分布的离散点重力值集合；格网平均重力异常集合；重力位球谐展开系数集合等。从应用上来说，目前习惯称全球或局部扰动位球谐展开系数（位系数）集合为全球或局部重力场模型。通常可采用数值模型、函数模型和图象等形式来描述地球重力场。

（2）垂线偏差（维宁.曼尼兹公式，Vening-Meinesz）

由球面三角公式

将分别对、求导

则有：

，

并且方位角由下式确定

因此

（3）扰动重力

在球坐标下，三个分量分别为： ，

将外部扰动位的积分公式代入，则

，

顾及有

因此

顾及

，

不难得到

在上式中若记、；则

此式适合于在计算机上运用。

6、重力归算方法

（1）重力归算的目的及基本要求

重力归算的目的：（1）大地水准面（边界面）外部没有质量存在；（2）给出边界面上的边值，即将重力观测值归算到大地水准面上。

重力归算：对地球进行调整，使地球的全部质量包含在大地水准面的内部，并计算这种调整所带来的影响，用于将地球表面的重力观测值化算到大地水准面上。

第六章 基于Moledensky理论确定地球形状的基本原理

重点讲授位基数、正高、正常高、力高的定义及其与水准测量高程之间的关系；地面重力异常、高程异常与似大地水准面的概念，地面重力异常、高程异常与地面扰动位的关系；Moledensky边值问题的基本概念。

1、高程系统

（1）水准测量高程

水准测量高程与水准测量的路线有关，即水准测量的高程不唯一，具有多值性，因而不能作为高程系统。

（2）位基数

位基数与水准测量的路线无关，并且是唯一确定的物理量。

（3）正高

在同一重力位水准面上，正高不一定相等，同时正高不可能精确测定，在大地测量中通常用近似高来代替，即

（4）正常高

在同一重力位水准面上，正常高不一定相等，同时正常高可以精确测定。 正高与正常高之间的关系：

（5）力高

在同一重力位水准面上，力高处处相等。 力高与正常高可以相互换算：

2、几个基本概念

（1）地球表面上的扰动位

地球表面上任一点

的扰动位为同一点上的重力位与正常重力位之差，即

（2）高程异常

设重力位

为地球表面上一点，该点的重力位为

。

；比存在一点，该点的正常

点的正常重力位可以在点处作泰勒展开：

这里是点至点的距离（注意：点在点的正常重力等位面的法线上），

为点处正常重力等位面的

称之为高程异常。上式只保留了的一阶项。其中外法线方向。

高程异常的布隆斯公式：

（3）似地球表面

由平均椭球体表面起沿正常重力线方向向上量取正常高所得各点连成的封闭曲面。

（4）似大地水准面

由地球表面起沿正常重力线方向向下量取正常高所得各点连成的封闭曲面。 似大地水准面不是等位面！

（5）扰动重力

地球表面上一点

的扰动重力为同一点上的重力值与正常重力值之差，即

由重力与正常重力的定义和，不难近似地得到：

这里：、为

点重力和正常重力的法向。

（6）地球表面上的重力异常

若

点在地球表面上，将正常重力

在似地形表面上展开，即

这里，是其中

点的正常重力位的法向。为地球表面上的重力异常，

在地（球）表（面）上，在似地形表面上。则

再将布隆斯公式代入上式，略去法向、的差异，则得：

这就是物理大地测量基本边界方程在地球表面上的表达式。

3、Molodensky边值问题

定理：若已知某物体的外表曲面（不一定是等位面）、物体的总质量、物体绕某一固定轴旋转的均匀角速度和面上任一点相对某一固定点的重力位差值

，则

面上及其外部的重力位

及重力可唯一确定，即

而无需确切地知道地球内部的密度分布。这一定理是司托克斯定理的推广，也是重力位在格林公式中的应用。

问题：（上述定理的逆问题）已知某物体的质量表面上的重力和位差称为莫洛金斯基问题。

、旋转角速度

及物体

，则要求确定该物体的表面形状

。该问题通常被

Molodensky边值问题的级数解如下：

思考题

1、位基数、正高、正常高、力高的定义及其与水准测量高程之间的关系。 2、高程异常、似地球表面、似大地水准面的定义是什么？

3、证明大地水准面高

为实际重力平均值，

与高程异常之间的关系为：

为正高。

，其中

为正常重力平均值，

4、比较Molodensky边值问题与Stokes边值问题的区别。

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