第四章习题答案详解

第四章习题答案详解

32练习4.1

1. 函数f(x)?4x?5x?x?2在区间[0,1]上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.

解：f(x)?4x?5x?x?2是初等函数。在其有意义的区间(??,??)内连续， 所以在[0,1]上连续。

2又?f?(x)?12x?10x?1在?0,1?内存在，?f(x)在(0,1)内可导,

32而f(0)?f(1)??2

因此f(x)在[0,1]上满足罗尔定理所有条件。

2故有f?(?)?12??10??1?0 (0???1)

得 ?1?5?135?13?(0,1) ?2??(0,1). 1212322. 函数f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上是否满足柯西中值定理的条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.

32解：f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且g?(x)?2x?0?x?(0,1)?，所以f(x)与

g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件，故在(0,1)内至少存在一点?，使 1?03?2f(1)?f(0)f?(?)2??0???1?，即?，????0,1?. 2?12?g(1)?g(0)g?(?)333. 证明方程x?3x?1?0在[0,1]上存在一个实根.

3证明：令f(x)?x?3x?1,则f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?1?0,f(1)??1?0

0，1）内至少有一实根。 x1?(0,1),使f(x1)?0。既方程x?3x?1?0在（由零值定理知至少存在点 1 / 49

3垃圾虫制作

若方程x3?3x?1?0在[0,1]上还存在实根x2，即f(x2)?0

则f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上连续，在?x1,x2?(或?x2,x1?)内可导，所以f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上满足罗尔定理条件，故至少存在一点???x1,x2?(或?x2,x1?)，使得

f?(?)?0,但f?(?)?3?2?3?0，矛盾,

因此方程x3?3x?1?0在[0,1]上存在一个实根。 4. 证明方程x?x?1?0只有一个正根.

证明：令f(x)?x5?x?1，则f(x)在[0,??)上连续，且f(0)??1?0，f(1)?1?0，

5x1?(0,1),使f(x1)?0。既方程x?x?1?0在至少有一个正根。 由零值定理知至少存在点若方程x?x?1?0还有另外一个正根x2，即f(x2)?0.

则f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上连续，在?x1,x2?(或?x2,x1?)内可导，所以f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上满足罗尔定理条件，故至少存在一点???x1,x2?(或?x2,x1?)，使得

55f?(?)?0,但f?(?)?4?2?1?0，矛盾,

因此方程x?x?1?0只有一个正根。

5.已知函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，不求f(x)的导数，试讨论方程

5f?(x)?0的实根并指出它们所在的区间。

解：f(x)在???,???内连续、可导，且f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0

?f(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上都满足罗尔定理条件。由罗尔定理知至少存在

，使得f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0 ?1?（1，2），?2?（2，3），?3?（3，4）即方程f?(x)?0至少有三个实根。又方程f?(x)=0为三次方程，故它至多有三个实根。因此方程f?(x)=0

（1，2）（,2，3）（,3，4）内。 有且仅有三个实根，它们分别在区间

6.利用拉格朗日中值定理证明下列不等式： (1) |arctanx?arctany|?|x?y| 证：若x?y,显然成立；

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若x?y ，不妨设y?x

令f(t)?arctant ， t?[y,x]

易得f(t)在[y,x]上满足拉格朗日定。条所以在(y,x)内至少存在一点?，使得件理f?(?)?f(x)?f(y) (y???x)

x?y即

arctanx?arctany1 ?2x?y1??arctanx?arctany1??1，所以|arctanx?arctany|?|x?y|

x?y1??2于是

对于y?x， 同理可证。 故 |arctanx?arctany|?|x?y| （2）若0?b?a则

a?baa?b ?ln?abb 证：若b?a 显然等号成立； 若b?a，设f(x)?lnx x?[b,a]，

易得f(x)在[b,a]上满足拉格朗日中值定理条件，所以在(b,a)内至少存在一点?，使得

f?(?)?1lna?lnb1af(a)?f(b)?ln. (b???a) 即??a?ba?bba?b11111a1??，于是?ln?. a?baa?bbb 由0?b???a，有

a?baa?b . ?ln?abba?baa?b故若0?b?a，有. ?ln?abbx（3） 若x?0,则?ln(1?x)?x.

1?x所以

1?t) 易得f(t)在[0,x]（x?0）上满足拉格朗日中值定理条件，所以在(0,x)内至 证：令f(t)?ln(少存在一点?，使得

f?(?)?1ln(1?x)f(x)?f(0)? (0???x)， 即 . 1??xx?0 3 / 49

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因为0???x ，所以1?1???1?x，

于是

111ln(1?x)??1得??1 x?1??1x?1x而x?0，所以

x?ln(1?x)?x. 1?xx（4）若x?1，则e?ex.

证：令f(t)?e 易得f(t)在[1,x](x?1)上满足拉格朗日中值定理条件，所以在(1,x)内至少存在一点?，

tex?ef(x)?f(1)?e? (1???x),即使得f?(?)?x?1x?1x?又因为1???x，所以x?1?0，e?e，由此e?e?e(x?1)，即e?ex

xx故若x?1，则e?ex.

7.证明恒等式：arctanx?arccotx??2.

证：令f(x)?arctanx?arccotx x?(??,??) 因为f?(x)?11??0， 所以f(x)?c?c常数?。

1?x21?x2取x?0得f(0)?c?arctan0?arccot0?因此arctanx?arccotx?

?2.

?2.

练习4.2

1.求下列函数的极限

ln(1?x2)（1）lim 2x?0x2x2ln(1?x)?0?11?x解：lim= ==1 limlim??2x?0x?0x?0x202x1?x??2

ex?e?x（2）lim

x?0x 4 / 49

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解：limex?e?x?0?x?0x??0???lim(x?0ex?e?x)?2 （3）lim1?2sinxx??cos3x

6解：lim1?2sinx?0??2cosx??6cos3x??0???limx?3 x??6?3sin3x3（4）limln(1?x)?xx?0cosx?1

1解：limln(1?x)?x?0??1x?0cosx?1??0???lim1?xx?0?sinx?limxx?0(1+x)sinx?1 （5）limlnsinxx??22(??2x)

解：limlnsinx?0?cotx?0??csc2x1x??2(??2x)2??0??=limx???4(??2x)?0?=lim??? 2??x?288（6）limxm?amx?axn?an(m,n??1) 解：limxm?am?0?mxm?1mm?nx?axn?an(m,n??1)??0??=limx?anxn?1=na

（7）lntan7xxlim?0?lntan2x

7sec2x解：lntan7x???tan7xxlim?0?lntan2x?????=xlim=lim7tan2x?0?2sec2xx?0?2tan7x=1 tan2x（8）limtanxx??2tan3x 22解：limtanx????2?=limsecx=1??limcos3x??1???3sin3x??1x???2tan3x???x??23sec23x3??x?2cosx?=lim=?9?3?3??x???2?sinx?3ln(1?1（9）x)xlim???arccotx 5 / 49

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ln(1?1解：xlimx)1???arccotx=xlimx????arccotx?0??1?0??=x21?x2xlim???=?1xlim???x2=1 1?x2（10）limln(1?x2)x?0secx?cosx

解limln(1?x2)x?0secx?cosx=limx2?0?2xx?0secx?cosx??0??=limx?0secxtanx?sinx=lim2xx?0sinx(sec2x?1) =lim2x?0sec2x?1=1

（11）limx?0xcot2x

解：limxcot2x=limxx1x?0x?0tan2x=limx?02x=2

1（12）limx2x2x?0e

1111解：lim2x2ex2???ex2(?2x?3)x?0xe=limx?01?????=lim=limex2=??x?0?2x?3x?0

x2（13）lim2x?1(1x2?1?x?1)

解：lim2x2?1?1x?1)?????=lim2?(x?1)x?1(x?1(x?1)(x?1)=lim?1x?1x?1=?12 （14）limax??(1?x)x 解：limxln(1alimx?x??(1?ax)x?1???a=limx)ex??xax??e==e

（15）xlimsinx?0?x

解：limsinx0xlnxlimx?0?x?0?=limesinx?0?=ex?0?sinxlnx，而

1xlim?0sinxlnx(0??)=lnx???xsin2xx?xlim?0?cscx?????=xlim?0??cscxcotx=xlim?0??xcosx=xlim?0??cosx=0 所以limsinx0x?0?x?e?1

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（16）lim(x???2?arctanx)x

x?2xlnarctanx解：lim(x???2?arctanx)(1)?limex?????ex???2limxlnarctanx?

而limxlnx???2lnarctanx(??0)?limx???2?arctanx1x?11?20arctanx1?x()?lim

x???10?2xx212)??=?lim(

x???1?x2arctanx?所以lim(x???2?arctanx)x?e?2?

x?sinx存在，但不能用洛必达法则得出.

x??xsinx1x?sinx)=1+limsinx 解：lim=lim(1?x??x??xx??xx11而lim?0，sinx?1，由有界函数与无穷小的积仍是无穷小知：limsinx?0

x??xx??xx?sinx故lim=1. x??x1?cosxx?sinx若用洛必达法则得：lim=lim，此极限不存在，且不为?，不满足洛必达法则条件（3），

x??x??1x2. 验证极限lim所以不能用洛必达法则得出.

x?sinx存在，但不能用洛必达法则得出.

x?0x?cosxx?sinx0?sin0解：lim==0

x?0x?cosx0?cos01?cosxx?sinxx?sinx0 若用洛必达法则得：lim=lim=2，这种解法是错误的，因为lim并不是型，

x?01?sinxx?0x?cosxx?0x?cosx0?也不是型，所以不能用洛必达法则得出.

?3. 验证极限lim

练习4.3

1．求下列函数的单调区间 （1）f(x)?2?x?x

2?2x 解：D?(??,??) f?(x)?1 令f?(x)=0 得x? 7 / 49

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x 1(??,) 2 1 2 0 1(,??) 2 f?(x) f(x) ? ? ? ? f(x)的单调增区间为(??,)，单调减区间为(,??)。

（2）f(x)?x?2lnx

212122x2?1解：D?(0,??) f?(x)?2x??2?

xx令f?(x)?0得x??1

x??1舍去

(0,1) 1 0 (1,??) x f?(x) ? ? ? f(x) ? f(x)的单调减少区间为(0,1)，单调增加区间为(1,??)。

2. 证明下列不等式 （1）当x?0时，1?证：令 f(x)?1?由于f?(x)?1x?1?x； 21x?1?x(x?0) ，则f(0)?0， 211??0(x?0) ，所以f(x)在(0,??)内单调增加，于是当x?0时，有221?x11x?1?x?0，1?x?1?x. 22f(x)?f(0) ，即1?22（2）当x?0时，1?xln(x?1?x)?1?x；

证：令f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2(x?0)，则f(0)?0， 由于f?(x)?ln(x?1?x2)?xx?1?x2(1?2x21?x2)?2x21?x2=ln(x?1?x2)

2当x?0时，x?1?x?1，因此ln(x?1?x2)?0，所以f(x)在(0,??)内单调增加，于是当x?0时，

有f(x)?f(0) ，即1?xln(x?1?x2)?1?x2?0，

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1?xln(x?1?x2)?1?x2

13x；

2313?证：令f(x)?tanx?x?x(0?x?)，

32（3）当0?x?时，tanx?x??f?(x)?sec2x?1?x2=tan2x?x2=(tanx?x)(tanx?x)

当0?x??2时，tanx?x?0，

又设g(x)?tanx?x(0?x??2)

g?(x)?sec2x?1=tan2x?0(0?x?所以g(x)在(0,?2)

?2)内单调增加，于是有g(x)?g(0)?0.

故f?(x)?0，于是当0?x?x2（4）当x?4时，2?x.

?2时，f(x)?f(0)?0，即tanx?x?131x?0，tanx?x?x3. 33x2x2分析：不等式2?x两边取对数得：ln2?lnx，即xln2?2lnx.

证：令f(x)?xln2?2lnx(x?4) （5）f?(x)?ln2?2?0(x?4)，所以f(x)在(4,??)内单调增加，于是当x?4时，f(x)?f(4)，而xf(4)?4ln2?2ln4?0，

x2x2所以 xln2?2lnx?0，ln2?lnx，2?x.

3.证明方程sinx?x有且仅有一实根。 证：设f(x)?x?sinx 则f(x)在(??,??)内连续

因为f?(x)?1?cosx?0且仅在x?2k?(k?Z)处取等号，即f?(x)不在任何区间内恒等与0，所以f(x)在

(??,??)内单调增加。于是f(x)?0在(??,??)内最多有一个实根。

又f(??)????0 f(?)???0 而f(x)在(??,??)内连续，所以f(x)?0在(??,??)内至少有一个实根。

故方程sinx?x有且仅有一个实根。

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4.求下了函数的极值

（1）f(x)?2x3?6x2?18x?17

解：D?(??,??) f?(x)?6x2?12x?18?6(x?1)(x?3) 令f?(x)?0 得到x1??1,x2?3，无使f?(x)不存在的点。

f??(x)?12x?12 f??(?1)?0 f??(3)?0，所以f(x)在x??1处有极大值f(?1)?27

在x?3处有极小值f(3)??37 （2）f(x)?2?(x?1)

解：D?(??,??) f?(x)??232 33x?1x?1时f?(x)不存在，无驻点。

x f?(x) f(x) (??,1) 1 不存在 极大值f(1)?2 (1,??) ? ? ? ? f(x)在x?1处有极大值f(1)?2

5.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值

3（1）f(x)?x?6x [?2,2]

解：f?(x)?3x2?6?3(x2?2)，令f?(x)?0，得x??2 ，无使f?(x)不存在的点。 函数在驻点和端点的函数值分别为：

f(?2)?42， f(2)??42， f(?2)?4， f(2)??4.

经比较可知，f(x)在[?2,2]上的最大值为f(?2)?42，最小值为 f(2)??42. （2）f(x)?sin2x?x [???,] 22解：f?(x)?2cos2x?1， 令f?(x)?0，得x??函数在驻点和端点的函数值分别为：

?6， 无使f?(x)不存在的点。

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f(?)?6??33???33??????， f()?， f(?)?， f()??. 6662222????,]上的最大值为f(?)? ，最小值为f()??.

2222226. 一工厂A与铁路的垂直距离为20公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为100公里，工厂的产品需经过火

经比较可知，f(x)在[?车站C才能转销外地，为使运费最省，准备在铁路上选定一点D向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5.为了使产品从工厂A运到火车站C的运费最省，问D点应离火车站C多少公里？

解：如图，已知AB?20公里，BC?100公里， 设BD?x公里，那么DC?100?x公里，

BDC??AD?202?x2?400?x2，

A 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运 （ 第6题）

的运费之比为3:5.不妨设铁路每公里货运的运费为3k，公路上每公里货运的运费5k.设从工厂A到火车站

C的总运费为y，则

y?5k?AD?3k?DC?5k400?x2?3k(100?x)(0?x?100).

y??5kx400?x2?3k，令y??0，得唯一驻点x?15.

yB1而y(0)?400k，y(15)?380k，y(100)?500k1?，经比较知x?15公里时，总运费最省，此时D25C点离火车站C的距离DC?100?15?85公里。

7. 求抛物线y?1?x(0?x?1)的切线与两条坐标轴所围成的三角形的面积的最小值。 O解：如图，设点C(?,?)为抛物线上任意一点，则??1??. 抛物线在点C的斜率为y?x??2Ax2??2?.

切线方程为y????2?(x??)，

?1??222?令y?0，得x???.令x?0，得y???2??1??. （第7题） 2?2?1??22即过点C的切线在两坐标轴上的截距分别为OA?.OB?1??.

2? 11 / 49

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11??2(1??2)22于是三角形OAB的面积为S(?)?()(1??)?(0???1).

22?4?(1??2)(3?2?1)3，令S?(?)?0，得唯一驻点?0?, S?(?)?34?且当0???33343时S?(?)?0，当所以S(为极小值，从而也是最小值，???1时S?(?)?0，)?333932,). 33这时切点为(

练习4.4

求下列函数曲线的凹向区间与拐点 （1）f(x)?3x?x

解：D?(??,??)，f?(x)?6x?3x，f??(x)?6?6x，令f??(x)?0，得x?1.

223x f??(x) f(x) (??,1) 1 0 (1,??) ? ? ? 2 ? 曲线f(x)在(??,1)内上凹，在(1,??)内下凹，拐点(1,2) （2）f(x)?1?x2 解：D?(??,??) f?(x)?x1?x2

1?x2?x? f??(x)?x1?x2=1(1?x)1?x221?x2?0 ，D内无使f??(x)?0的点

也无使f??(x)不存在的点。所以此曲线无拐点。 在(??,??)内上凹。 （3）f(x)?a?3x?b 12 / 49

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2?121解：D?(??,??)，f?(x)??(x?b)3, f??(x)?.

5339(x?b)x?b时f??(x)不存在。

x f??(x) f(x) (??,b) ? b 不存在 (b,??) ? ? ? a 曲线在(??,b)内下凹，在(b,??)内上凹，拐点(b,a) （4）f(x)?3x?2x 解：D?(??,??)， f?(x)?1313x2?2， f??(x)??21. 33x5x?0时f??(x)不存在。

x f??(x) f(x) (??,0) 0 不存在 (0,??) ? ? ? 0 ? 曲线在(??,0)内上凹，在(0,??)内下凹，拐点(0,0)。

练习4.5

1.求下列曲线的渐近线 （1）y??x?1?x2?1 解：y?x2?1?(x?1)

2x???limf(x)?lim[x?1?(x?1)](???)x???=

x???limx2?1?(x?1)2x?1?(x?1)2=

x???lim?2xx?1?(x?1)2=

x???lim?21?11?(1?)2xx??1.

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xlim???f(x)?xlim[???x2?1?(x?1)]???

曲线有水平渐近线y??1. 无垂直渐近线.

*设有斜渐近线y?ax?b(a?0)，则

a?f(x)x2?1?(x?1)xlim???x?xlim???x?xlim???(?1?11x2?1?x)??2， b?xlim[???f(x)?ax]?xlim[???x2?1?(x?1)?2x]?xlim[???x2?1?(x?1)](???)?xlim2x???x2?1?(x?1)?xlim2???1??1

?1?1x2?(1?x)曲线有斜渐近线y??2x?1. （2）y?1(x?1)3 解：limf(x)1x???limx?(x?1)3?0 ， 曲线有水平渐近线y?0.

1xlim??1f(x)?limx??1(x?1)3?? ，

曲线有垂直渐近线x??1.

2.求作下列函数的图形 （1）y?x?1x

解: （1）定义域为(??,0)?(0,??),

（2）f(x)是奇函数,其图形关于原点对称,无周期性.

(3)limf(x)=lim(x?1x??x??x)=? 曲线无水平渐近线.

l1x?im0fx(= )lim(x?0x?x)?? x?0是曲线的垂直渐近线

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设有斜渐近线y?ax?b(a?0)，则

a?limf(x)x??x?limx??(1?1x2)?1

b?limx??[f(x)?x]?lim1x??x?0

曲线的斜渐近线为y?x. (4)f?(x)?1?1x2,令f?(x)?0，得驻点x1??1,x2?1， f??(x)?2x3，无使得f??(x)?0的点，函数定义域中也无使f??(x)不存在的点. （5）列表讨论 x (??,?1) y?1 (?1,0) (0,1) 1 (1,??) f?(x) + 0 ? ? 0 ? ? 2f??(x) ? ? ? ? ? ?101xf(x) ?? 极大值?2?2 ?? ?? 极小值2 ?? （6）作图

(2) y?3x2?2

解：（1）定义域为(??,??)

（2）由y?0知曲线在x轴上方. f(x)是奇函数,其图形关于y轴对称,无渐近线. 15 / 49

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2?32（3）y??x? x?0是使y?不存在的点.

333x1y????293x4y x?0是使y??不存在的点. （4）列表讨论 2x ?1y? y?? (??,0) 01? 0 x(0,??) 不存在 不存在 极小值2 ? ? ? y （5）补充点(?1,3)和(1,3) （6）作图

?? ?? 练习 4.6

1.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获最大收入？

解：设房租为x元时获得的收入为R(x) 租出去的公寓套数为50?x?10003500?x?， 5050 16 / 49

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?x2?3600x?3500003500?x(x?100)?由题意知R(x)?， 5050R?(x)??2x?3600，

50令R?(x)?0，得唯一驻点x?1800， 又因为R??(x)??1?1?0， ，R??(1800)?2525所以当x?1800时，R(x)取得极大值，即最大值. 故房租定为1800元时，可获最大收入.

2. 某商品的销售量Q（吨）是价格P（万元/吨）的函数，Q?并求总收益最大时，收益对价格的弹性及需求对价格的弹性.

100?1,问价格P为多少时，总收益最大？P?1100P99P?P2?P?解：依题意，收益函数为R?PQ? (P?[0,99]), P?1P?1?P2?2P?99?(P?9)(P?11)R?(P)??, 2(P?1)2(P?1)令R?(P)?0，得P， 1?9,P2??11（舍去）

又由R(0)?0,R(99)?0,R(9)?81,所以P?9为函数的最大值点. 故价格P?9时，总收益最大. 此时收益对价格的弹性为

EREPP?9?PR?(P)RP?9P?9?0.

需求对价格的弹性

EQEPP?9?PQ?(P)Q??1.

3. 某工厂生产一种产品的总成本函数为C(Q)?1200?2Q，需求函数为P?需求量），P为价格，求生产该产品的最优产量和最大利润. 解: 利润 L(Q)?R(Q)?C(Q) ?100，其中Q 为产量（等于Q100Q?Q?1200?2Q

?100Q?2Q?1200(Q?0)

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L?(Q)?50?2 Q令L?(Q)?0，得唯一驻点Q?625

L??(Q)??25Q3 L??(62)5?0

故Q?625是L(Q)的极大值点,也就是最大值点. L(625)?50

所以生产该产品的最优产量为625,最大利润为50.

4. 假设有某个企业的需求函数已知，需求函数为Q?90?2P，该企业的平均成本函数为

C(Q)?Q2?39.5Q?120?125，其中Q为需求量也即产量，P为价格，求使利润最大时的产量. Q解：总成本C(Q)?QC(Q)?Q3?39.5Q2?120Q?125 由Q?90?2P，得P?45?Q 2Q2则收益R(Q)?PQ?45Q?

2于是利润函数：

Q2L(Q)?R(Q)?C(Q) ?45Q??Q3?39.5Q2?120Q?125??Q3?39Q2?75Q?125

2P?45?Q?0，得Q?90，故L(Q)的定义域为[0,90]. 2L?(Q)??3Q2?78Q?75??3(Q2?26Q?25)

令L?(Q)?0，得Q1?25,Q2?1

P?0，Q?0时，由问题的实际意义知，不可能有最大利润；同样Q?90时，也不可能有最大利润,于是L(Q)只可能在驻点处取得最大值，而L(1)??162,L(25)?6750,

所以函数的最大值为L(25)?6750，故使利润最大时的产量为Q?25.

5. 设某商品的需求量Q是单价P（单位：元）的函数Q?12000?80P；商品的总成本C是需求量Q的函

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数C?25000?50Q;每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润。

Q2Q解：由Q?12000?80P得P?150?，则收益函数为R(Q)?PQ?150Q?,

8080于是利润函数

L(Q)?R(Q)?C(Q)?2Q

Q2?150Q??25000?50Q?2Q

80Q2???98Q?25000,

80Q?98,令L?(Q)?0，得唯一驻点Q?3920, 4011?0， 又因为L??(Q)??，L??(3920)??4040L?(Q)??所以Q?3920是函数的极大值点，即最大值点.这时P?150?3920?101. 8039202L(3920)???98?3920?25000=167080

80故当商品单价为101元时，利润最大，最大利润为167080元.

6. 某厂生产一种产品，其年销售量为100万件，每批生产需增加生产准备费1000元，每件产品的年储存费为0.05元，如果年销售量是均匀的，问分几批生产，才能使生产准备费与储存费之和最小？ 解: 方法一,设批数为x,准备费与储备费之和为y，则 y?1000x?100000025000?0.05 ?1000x? (x?0) 2xx25000y??1000?

x2令y??0，得唯一驻点 x?5，

50000,y??(5)?0 3x所以x?5是极小值点，故分5批生产，才能使生产准备费与储存费之和最小。

y???方法二:设批量为Q件,批数为N.

由已知A?1000000, P?1000,C?0.05

T?AQP?C Q2 19 / 49

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?10000000.05Q1000000000?1000???0.025Q Q2QT???1000000000?0.025 2Q令T??0，得唯一驻点Q?200000,

2?109 , T??(200000)?0 y???3Q 所以Q?200000件是极小值点. 此时的N?1000000?5

200000故分5批生产,才能使准备费与储备费之和最小.

习题四

1. 选择题：

（1）下列函数在给定区间上满足罗尔定理的是( )；

A. y?x?5x?6,[2,3] B. y?213(x?1)2,[0,2]

C. y?xe,[0,1] D. y??2?x?x?1,x?5,[0,5]

1x?5,?解：A中函数y?x?5x?6在[2,3]上连续，y??2x?5在(2,3)内存在，且y(2)?y(3)?0，故满足罗尔定理。 B中y?13(x?1)?x2，由于y在x?1处没有定义，所以间断，故不满足罗尔定理。

C中y?xe，由于y(0)?0,y(1)?e，所以y(0)?y(1)，故不满足罗尔定理。 D中y???1?x?1,x?5,limy?lim(x?1)?6，limy?lim1?1，所以函数在x?5处不连续，故不满xx?5x?5x?5x?5,?5?1,????足罗尔定理。故选（A）.

（2）下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的条件的是( )； A. y?2x,[?1,1] B. y?|x|,[?1,2] 21?x 20 / 49

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C. y?4x3?5x2?x?2,[0,1] D. y?ln(1?x2),[2,3] 解：y?f(x)?|x|???x,?1?x?0x,0?x?2，

??ff(x)?f(0)??(0)??lim?x??1，

xlim?0?x?0x?0?xff(x)?f(0)??(0)??limx?1，

xlim?0?x?0x?0?x即f??(0)?f??(0)，所以f(x)在x?0处不可导，

因此y?|x|在[?1,2]上不满足拉格朗日定理的条件。故选（B).

（3）函数f(x)?|cosx|在区间????3,2??3??上( )； A. 满足拉格朗日定理条件，且???2 B. 满足拉格朗日定理条件，但无法求? C. 不满足拉格朗日定理条件，不存在?

D. 不满足拉格朗日定理条件，但有?能满足该定理的结论

?cosx,??x??解：f(x)?|cosx|????32??2?，

???cosx,2?x?3f(?f?x)?f(2)2????limcosx???lim?sinx??()?lim??1 x??2x?x?22x?x???122f(x?f?)?f(??(2)?lim2)??lim?cosx?limsinx?1 x???2x?x????22x?x???122即f?????(2)?f??(2)，所以f(x)在x?2处不可导，

故函数f(x)?|cosx|在区间???,2???33??上不满足拉格朗日定理条件。 21 / 49

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f(另外，由拉格朗日定理的结论有，f?(?)?2??)?f()33?0，??(?,2?)； 2??33?33????sinx,?x???2??32)。 而由f?(x)??可知，f?(x)?0，x?(,33?2??sinx,?x??23?所以不存在?。故选（C）.

（4）若对一切x?(0.??)，函数f(x)存在二阶导数，且limf??(x)?0，则极限

x???x???lim[f?(x?a)?f?(x)]?( )（其中a为正的常数）；

A. 1 B. 0 C. 不存在 D. ?

解：若对一切x?(0.??)，函数f(x)存在二阶导数，所以f?(x)在[x,x?a]上满足拉格朗日定理的条件，故有f?(x?a)?f?(x)?af??(?)，x???x?a， 两边取极限，lim[f?(x?a)?f?(x)]?limaf??(?)，

x???x???当x???时，????，因此lim[f?(x?a)?f?(x)]?limaf??(?)x????????0.故选（B）

（5）若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x1,x2是区间内任意两点(x1?x2)，则至少存在一点?，使下

列式子成立的是( )；

A. f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)，其中a???b B. f(b)?f(x1)?f'(?)(b?x1)，其中x1???b C. f(x2)?f(a)?f'(?)(x2?a)，其中a???x2 D. f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1)，其中a???b

解：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在区间(a,b)内连续，故在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)内可导，因此f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理条件，所以结论D成立。

由已知不能确定f(x)在端点x?a,x?b处是否连续，而A，B，C选项中的区间都包含了x?a或x?b，故不一定满足拉格朗日定理条件，所以结论不一定成立。故选（D）.

（6）函数f(x)?sinx与g(x)?tanx在哪个区间上满足柯西中值定理( )；

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A. [0,?2] B. [0,?] C. [????,] D. [0,]

422解：g(x)?tanx在x?中值定理。

?2处无定义，所以不连续，而A，B，C中的区间都包含

?，因此不满足柯西2D中f(x)?sinx与g(x)?tanx在[0,中值定理。故选（D）.

?]上连续，在(0,)内可导，且g?(x)?sec2x?0，因此满足柯西44?2（7）函数f(x)?x(x?1)，则f'(x)?0有（ ）

A. 一个实根 B. 两个实根 C. 三个实根 D. 没有实根

解：f(x)?x(x?1)为连续，可导函数，且f(?1)?f(0)?f(1)?0，所以f(x)在[?1,0],[0,1]上满

2（?1，0），?2?（0，1）足罗尔定理条，由罗尔定理知至少存在?1?，使得f?(?1)?f?(?2)?0，即方程f?(x)?0至少有两个实根。又方程f?(x)=0为二次方程，它至多有两个实根。因此方程f?(x)=0有且仅有

两个实根。故选（B）.

（8）函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f'(x)?0是函数f(x)在(a,b)内单调增加的( )； A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 解：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)?0，则f(x)在(a,b)内单调增加；

反之，若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f(x)在(a,b)内单调增加，则f'(x)?0。故选（A）.

x2（9）函数f(x)?在区间(?1,1)内( )；

1?xA. 单调增加 B. 单调减少 C. 有增有减 D. 不增不减

x(x?2)x2解：f(x)?，f?(x)?，令f?(x)?0，得驻点x?0,x?(?1,1)， 2(1?x)1?x当x?(?1,0)时，f?(x)?0；当x?(0,1)时，f?(x)?0。故选（C）. （10）下列极限中，能使用洛必达法则的是( )；

1?x2x?sinxA. lim B. lim

x??x??xxex?cosxx?sinxC. lim D. lim

x??x?0x?sinxx 23 / 49

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解：A. lim(x?sinx)?1?cosx?lim不存在，也不是?，因此不能使用洛必达法则。

x??x??x?11?x2 B. limx??x达法则。

x???lim???x?????1?x21?x2???，用洛必达法则，无限循环，因此不能使用洛必???limx???x??ex?cosx?0?ex?sinxC. lim?1，因此能使用洛必达法则。 ???limx?0x?01x0??D. lim(x?sinx)?1?cosx?lim不存在，也不是?，因此不能使用洛必达法则。故选（C） x??1?cosxx??(x?sinx)?e?1x（11）极限lim?x?0x?( )；

A. 1 B. 0 C. ? D. 不存在

11?2e1???xx?0.故选（B）. lim解：=?lim?lim?lim?1?11???x?0?xx?0x?01???x?0ex?2exexx?1x（12）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有( )； A. f?(x0)?0 B. f??(x0)?0

(C) f?(x0)?0且f??(x0)?0 D. f(x0??x)?f(x0)（|?x|很小）

解：函数f(x)在点x0处取得极大值，则f?(x0)可能为零，也可能不存在，所以A,B,C选项都不对。而D选项是极值的定义。故选（D）.

（13）设f(x)在(??,??)内存二阶导数，且满足方程xf??(x)?3x[f?(x)]?1，若x?c(c?0)是

2f(x)的极值点，则( )；

A. 当c?0时，x?c是极小值点 B. 当x?c时，f(x)是单调增加的 C. 当c?0时，x?c是极小值点 D. 当c?0时，x?c是极大值点

解：若x?c(c?0)是f(x)的极值点，则f?(c)?0，将x?c代入原方程得，cf??(c)?1， 当c?0时，

f??(c)?0，x?c是极大值点；

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当c?0时，f??(c)?0，x?c是极小值点；故选（C）.

（14）已知函数f(x)?e?xlnax在x?1处有极值，则a?( )； 2A. e2 B. 2e2 C. e D. 2e

?1a11解：f(x)?elnax，f?(x)?e(?lnax)，x?是极值点，因此f?()?e2(2?ln)?0，

x2221?x?x2?lna?0，解得a?2e2。故选（B）. 2（15）函数f(x)在开区间(a,b)内连续且有唯一极值点，则f(x)在(a,b)内( )； A. 至多有一个驻点 B. 必有且只有一个最值 C. 既有最小值，也有最大值 D. 不一定有最值

解：如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续且有唯一极值，则它就是f(x)在(a,b)内的最值；如果它是极大值（或极小值），则它就是函数f(x)在(a,b)内的最大值（或最小值）。故选(B).

（16）设f(x)在区间(a,b)内二阶可导，则f''(x)?0是f(x)在(a,b)内上凹的( )； A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 解：设f(x)在区间(a,b)内二阶可导，若f''(x)?0，则f(x)在(a,b)内上凹； 反之，若f(x)在(a,b)内上凹，则f''(x)?0。故选（A）.

（17）如果点(0,1)是曲线y?ax?bx?c的一个拐点，则有( )； A. a?0,b?0,c?1 B. a?0,b?0,c?1 C. a?R,b?R,c?1 D. a?0,b?0,c?R

2解：y?ax?bx?c，y??3ax?2bx，y???6ax?2b，

3232点(0,1)是曲线的一个拐点有y(0)?1,y??(0)?1，分别代入相应的方程得，

?a?03?b?02?c?1?b?0，解方程组得， ???c?1?6a?0?2b?0假如a?0，则曲线为y?1，无拐点，与已知矛盾，所以a?0。故选（B）. （18）点(0,0)是曲线( )的拐点

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A. y?x B. y?x C. y?x?1 D. y?x2解：A. y?x ，y??2x，y???2?0，曲线无拐点，

24313

43B. y?x，y??4x，y???12x2?0，曲线无拐点，

C. y?x?1，点(0,0)不在曲线上，

13，

3D. y?x1?32?3y??x，y????x，x?0时，y?0，y??不存在，且x?0时，y???0；

3913的拐点。故选（D）.

25x?0时，y???0，所以点(0,0)是曲线y?x

（19）设y?f(x)连续，则f''(x0)?0是点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点的( )； A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 以上答案都不对

解：设y?f(x)存在二阶导数，且f??(x0)?0，若f??(x)在x0的左右邻域内异号，则点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点；若f??(x)在x0的左右邻域内同号，则点(x0,f(x0))不是曲线y?f(x)的拐点。 反之，点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点，则f??(x0)?0或不存在。故选（D). （20）曲线y?ln(3?)的渐近线的条数为( )；

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：limln(3?)?ln3，所以y?ln3是曲线的水平渐近线，无斜渐近线，

x??exexelimln(3?)??，所以x?0是曲线的垂直渐近线， x?0?xeelim?ln(3?)??，所以x?是曲线的垂直渐近线。故选（D). ex3x?3e1?x（21）曲线y?的水平渐近线是( )；

1?xA. y?0 B. y?1 C. y?3 D. 不存在

e1?x?0，所以y?0是曲线的水平渐近线。故选（A）. 解：limx???1?x（22）曲线y?x?x( )； x2?1 26 / 49

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A. 没有渐近线 B. 有水平渐近线 C. 仅有两条垂直渐近线 D. 有斜渐近线

x3x?解：y?x?2 x?1x2?1x3lim??，所以x??1是曲线的两条垂直渐近线 ， x??1x2?1x3lim2??，曲线无水平渐近线， x??x?1设斜渐近线为y?ax?b，则

x2f(x)a?lim?lim2?1，

x??x??x?1xb?lim[f(x)?ax]?limx??x??x?0， 2x?1所以曲线有斜渐近线y?x。故选（D）.

2*（23）方程6lnx?x在(1,e)内的实根个数为( )；

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：设f(x)?6lnx?x，x?(1,e).

2f?(x)?6?2x，令f?(x)?0，得唯一驻点x?3， x当1?x?3时，f?(x)?0，函数单调增加；

当3?x?e时，f?(x)?0.，函数单调减少。所以f(3)是函数的极大值，也就是最大值。又由于

f(3)?3(ln3?1)?0，

由连续函数的介值定理与函数单调性知，f(x)分别在(1,3)和(3,e)f(1)??1?0，f(e)?6?e2?0，

2内有一个零点，即方程6lnx?x在(1,e)内有两个实根。故选（C）.

232*（24）若a?3b?0，则方程x?ax?bx?c?0( ).

A. 有唯一实根 B. 有两个不同实根 C. 有三个不同实根 D. 无实根

32222 解：设f(x)?x?ax?bx?c，f?(x)?3x?2ax?b，由于??4a?12b?4(a?3b)?0，所

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以f?(x)?0，函数单调增加。

且lim(x?ax?bx?c)???，lim(x?ax?bx?c)???，因此f(x)有唯一的零点，即方程

x???x???3232x3?ax2?bx?c?0有唯一实根。故选（A）.

2. 已知f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，a?x1?x2?x3?b，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，试证明在

(a,b)内至少存在一点?，使f??(?)?0.

证:由已知条件知f(x)在[x1,x2],[x2,x3]上满足罗尔定理条件,所以存在?1?(x1,x2)，?2?(x2,x3)使得f?(?)?0, f?(?)?0,

12又因为f(x)在[?1,?2]上满足罗尔定理条件，所以存在??(?1,?2)?(a,b)，使得

f??(?)?0 。

3.设f(x)可导，且f(a)?f(b)?0，试证在(a,b)内至少存在一点?，使f(?)?f?(?)?0.

证: 令F(x)?f(x)?e， F?(x)?f?(x)ex?f(x)ex，F(a)?F(b)?0.

xF(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点??(a,b)，使 F?(?)?e?[f?(?)?f(?)]?0

? 而e?0 故f?(?)?f(?)?0

4. 已知f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内f??(x)存在，又连接A(a,f(a))，B(b,f(b))两点的直线交曲线

y?f(x)于C(c,f(c))，且a?c?b，试证：在(a,b)内至少存在一点?使f??(?)?0.

证:已知A,C,B三点在同一条直线上，所以线段AC与CB的斜率相同，即：

f(c)?f(a)f(b)?f(c)?。

c?ab?c 又因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,所以f(x)分别在区间[a,c]和[c,b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在?1?(a,c)，?2?(c,b)，使得

f?(?1)?f(c)?f(a)f(b)?f(c)，f?(?2)?，故有f?(?1)?f?(?2)

c?ab?c又因为在(a,b)内f??(x)存在，所以f?(x)在[?1,?2]上满足罗尔定理,所以至少存在一点

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??(?1,?2)?(a,b)，使得f??(?)?0。

5. 已知函数

f(x)在(??,??)内满足关系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，证明：f(x)?ex.

证：令F(x)?e?xf(x)，则F?(x)?e?x[f?(x)?f(x)] 由f?(x)?f(x)，有F?(x)?0 所以F(x)?C (C为常数) 于是f(x)?Cex 又因为f(0)?1 得C?1 所以f(x)?e.

6. 证明：方程ex?ax2?bx?c(a,b,c?R)最多有3个实根.

证：（用反证法）假设方程有4个实根，分别为x1?x2?x3?x4， 令f(x)?ax2?bx?c?ex(a,b,c?R)，则f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，

xf(x)分别在[x1,x2]，[x2,x3]，[x3,x4]上满足罗尔定理条件，故存在?1?(x1,x2)，?2?(x2,x3)，

?3?(x3,x4)，使得f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0；

又f?(x)分别在[?1,?2]，[?2,?3]上满足罗尔定理条件，故存在?4?(?1,?2)，?5?(?2,?3)，使得

f??(?4)?f??(?5)?0；

又f??(x)在[?4,?5]上满足罗尔定理条件，故存在??(?4,?5)，使得f???(?)?0。 另一方面，f(x)?ax2?bx?c?ex(a,b,c?R)，f?(x)?2ax?b?ex，f??(x)?2a?ex，

f???(x)??ex?0，与前面产生矛盾。所以假设不成立，故方程ex?ax2?bx?c(a,b,c?R)最多有3个实

根.

7. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0?a?b)，试证：在(a,b)内存在一点?使

?b?f(b)?f(a)???ln?f?(?).

?a? 证法（1）:令F(x)?[f(b)?f(a)]lnx?lnbf(x)，x?[a,b] a 29 / 49

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由已知有F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)?F(b)?f(b)lna?f(a)lnb，F(x)在[a,b]上满足罗尔定理，所以存在??(a,b)，使得F?(?)?0

F?(x)?[f(b)?f(a)]?于是 F?(?)?[f(b)?f(a)]1b?lnf?(x) xab?lnf?(?)?0 ?a1得 f(b)?f(a)??(ln)f?(?) (a???b) 证法（2）：令g(x)?lnx，g?(x)?ba1?0，且在(a,b)内存在(0?a?b)，则f(x),g(x)在[a,b]是满x足柯西中值定理条件，所以存在??(a,b)，使得

f(b)?f(a)f?(?)，即 ?g(b)?g(a)g?(?)bf(b)?f(a)f?(?)，移项得：f(b)?f(a)??(ln)f?(?) ?1alnb?lna?8. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内至少存在一点?，使

b2f(b)?a2f(a)?2?f(?)??2f?(?).

b?a 证:令F(x)?xf(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，即F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此在(a,b)内至少存在一点?,使得

2b2f(b)?a2f(a)F?(?)?

b?a而F?(x)?2xf(x)?xf?(x)，F?(?)?2?f(?)??f?(?)

22b2f(b)?a2f(a)?2?f(?)??2f?(?) 故

b?a*9. 设函数使得

在(0,1)内可导，且f(0)?0，f(1)?1，证明：在(0,1)内存在两点?1与?2，f(x)在[0,1]上连续，

11??2. f?(?1)f?(?2)且f(0)?0，f(1)?1，由闭区间上连续函数的介值定理知，存在点c?(0,1)，f(x)在[0,1]上连续，

证：函数

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使得f(c)?1. 2f(x)在[0,c]和[c,1]上分别满足拉格朗日中值定理条件，因此有：

f?(?1)?f(c)?f(0)1，即?2c,?1?(0,c)?(0,1)，

c?0f?(?1)f(1)?f(c)1，即?2?2c,?2?(c,1)?(0,1)，

?1?cf(?2)f?(?2)?从而

11?2c?2?2c?2. ?f?(?1)f?(?2)*10.设

f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导；若在(0,1)内有x1?x2，使f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，证22明：在(0,1)内存在两点?1,?2(?1??2)，使f'(?1)?f'(?2).

x1?x2f(x1)?f(x2))? 22x?x2x?x2得f(1)?f(x1)?f(x2)?f(1)

22x?xx?xf(x)在[x1,12]，和[12,x2]上分别应用拉格朗日中值定理得，

22x1?x2x1?x2f()?f(x1)f()?f(x)1x1?x222)，使得f?(?1)?存在?1?(x1, ?x2?x1x1?x22?x122 证：因为f(存在?2?(x1?x2,x2)，使得f?(?2)?2f(x2)?f(x?xx1?x2)f(x2)?f(12)22 ?x2?x1x1?x2x2?22所以得f'(?1)?f'(?2)，?1,?2?(0,1),?1??2. 11．求下列函数的极限

3 （1）limx?01?x?1e?1x16

133(1?x)21?x?1016116()解：lim=== limlimxxxx?0x?0x?030313(1?x)2?e16e16?1e16?163 31 / 49

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（2）limesinx?ex x?0sinx?x

esinx?exex(esinx?x解：limx?0sinx?x?lim?1)x?0sinx?x

当x?0时，(esinx?x?1)~(sinx?x)

所以limesinx?exx?0sinx?x?limx?0ex?1 sin1（3）xxlim?????2arctanx

sin11?1解：2xlimx?????2arctanx=xlimx0x1?x21?????2arctanx(0)=xlim???=lim=?2x???2x221?x2（4）xlimx2?lnx???xlnx

22x?1解：x?lnxxlim???xlnx(??)=xlimx2x2?1???lnx?1=xlim???x(lnx?1)(??)=xlim4x????lnx?2(?) =lim4x???1=xlim???4x???

x（5）lim(cotx?0x?1x)

解：lim(cotx?0x?1x)(???)=limxcosx?sinxxcosx?sinxx?0x?sinx=limx?0x2(00) =lim?xsinx?sinxx?02x?limx?02?0. （6）xlim???(??2arctanx)lnx

?2 解： xlim???(??2arctanx)lnx(0,?) ???2arctanx01?x2xlim???1(0)?xlim???1lnxxln2x=2xln2xxlim???(?1?x2)(?22lnx?1?2?)=?2xlimlnx?2lnx???2x(?xx?)??xlim???1 32 / 49

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=?2xlimlnx?1???x(??)=?21xlim???x?0.

1(7)xlim?0?(cotx)lnx

11解：lim(cotx)lnx(?0)=limelnxlncotxx?0?x?0??elimlncotxx?0?lnx

xlimlncotx?1(?csc2x)?0?lnx(?)?cotxxlim?0?1?xlim?x?0?sinx?1cosx??1 x1所以lim(cotx)lnxx?0?=e?1=

1e ?(8)lim??(cosx)2?x

x?2??lim(?2?x)lncosx解：lim2?x0?(cosx))(2?x)lncosx=limx???2x??(0??e=e

2x?2 而lim?lncosx??(?x)lncosx(0??)=lim?x??2x??1() 22??2?x1(?sinx)(??x)2=cosxsinxxlim???1??lim20?() ?x??cosx0(222?x)2(??=?lim2?x)(?1)sinx?(2?x)2cosx??x??sinx?0

2?所以lim2?x?(cosx)?e0?1

x??2(9)lim(tan?tan?2xx?14x)

???解：lim?lim(tan?x?lntan?x?124x)2tan4xx?1(tan4x)tan2x(1?)?limetanxln?e

x?1 33 / 49

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x4????4lntanxtanx??4(0)?lim4而lim(tanx?lntanx)(??0)?lim

x?1x?1x?1???024cotx?csc2x?222sec2?1??sincos2x2?44?lim??limsinx??1

x?11x?12??sin2x24??所以

cos?1lim(tanx)x?14?tanx2?1?e?1?

e2lim(arctanx)x （10）

x????解：lim(x???2?arctanx)(1)?limex???x?2xlnarctanx??ex???2limxlnarctanx?

而

x???limxln22lnarctanx(??0)?limx???2?arctanx1x?11?20x21arctanx1?x()?lim??lim(?)2x???x???101?xarctanx?2x???

所以lim(x???2?arctanx)?ex?2?

f(a?h)?2f(a)?f(a?h).

h?0h2f(a?h)?2f(a)?f(a?h)0f?(a?h)?f?(a?h)0()?lim() 解：limh?0h?002h0h2f??(a?h)?f??(a?h)?f??(a) =limh?0212.设f(x)存在二阶连续可导，求lim13．设f(x)连续可导，且f(0)?f?(0)?1，求limx?0f(sinx)?1.

lnf(x) 34 / 49

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解：因为x?0,f(x)?f(0)?1,lnf(x)?f(x)?1f(sinx)?f(0)limf(sinx)?1f(sinx)?1x?0lnf(x)?limx?0f(x)?1?limxx?0f(x)?f(0) xf(sinx)?f(0)?limsinxf?(0)x?0f(x)?f(0)?f?(0)?1x14．求下列函数的单调区间. （1）f(x)?x?sinx； 解：①f(x)的定义域为(??,??).

②f?(x)?1?cosx?0，且仅当x?(2k?1)?(k?0,?1,??????)时取等号，所以f(x)?x?sinx在(??,??)内单调增加。 （2）f(x)?x?x；

解：①f(x)的定义域为[0,??).. ②f?(x)?12x?1，令f?(x)?0，得驻点x?14， ③列表

x (0,1) 14 14 （4，??） f?(x) ? 0 ? f(x) ? ? ④结论：f(x)在??0,1?1?4??上单调增加，在(4,??)上单调减少。

（3）f(x)?2x1?x2； 解：①f(x)的定义域为(??,??).

x)?2(1?x2②f?()(1?x2)2，令f?(x)?0，得驻点x1??1,x2?1， ③列表

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x f?(x) f(x) (-?,-1) ? ? ?1 0 (-1,1) ? ? 1 0 (1,+?) ? ? ④结论：f(x)在x?(??,?1)和x?(1,??)上单调减少。在??1,1?上单调增加。 （4）f(x)?xen?x(n?N).

解：①f(x)的定义域为(??,??).

i）当n?0时，f(x)?e?x在(??,??)上单调减少。 ii）当n为偶数且不为零时，

②f?(x)?xn?1e?x(n?x) ，令f?(x)?0，得驻点x1?0,x2?n， ③列表

x f?(x) f(x) (??,0) ? 0 (0,n) ? n (n,??) ? 0 0 ?? ? ④结论：f(x)在(??,0)和(n,??)上单调减少；在?0,n?上单调增加。 iii）当n=1时，

?x②f?(x)?e(1?x)，令f?(x)?0，得驻点x?1

③列表

x f?(x) f(x) (??,1) ? 1 (1,??) ? 0 ?? ④结论：f(x)在(??,1]上单调增加，在(1,??)上单调减少。 iv）当n为奇数且不为1时， ②f?(x)?x③列表

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n?1?xe(n?x) ，令f?(x)?0，得驻点x1?0,x2?n，

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x f?(x) f(x) (??,0) ? 0 (0,n) ? n (n,??) ? 0 0 ?? ? ④结论：f(x)在(??,n]上单调增加，在(n,??)上单调减少。 综上可得：i）当n?0时，f(x)?e?x在(??,??)上单调减少。

ii）当n为偶数且不为零时，f(x)在(??,0)和(n,??)上单调减少；在?0,n?上单调增加。 iii）当n为奇数时，f(x)在(??,n]上单调增加，在(n,??)上单调减少。

15. 设

f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内有f??(x)?0，证明：

f(x)?f(a)在(a,b)内单调增加.

x?a证：令F(x)?f?(x)(x?a)?f(x)?f(a)f(x)?f(a) x?(a,b) ，则F?(x)? 2(x?a)x?a 由f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，有f(u)在[a,x]，x?(a,b)上满足拉格朗日中值定理，因此存在??(a,x)使得

f(x)?f(a)?f?(?)

x?a 因为在(a,b)内有f??(x)?0。所以f?(x)在(a,b)内单调递增。 于是f?(?)?f?(x)(??x)，

f(x)?fa()?f?(x)(x?a )?f?(x) f(x)?f(a)x?a 即f?(x)(x?a)?f(x)?f(a)?0 得F?(x)?0 x?(a,b) 所以

f(x)?f(a)在(a,b)内单调递增

x?aarctanx；

1?x16.证明下列不等式

（1）当x?0时， ln(1?x)?证：令f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx，

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x21?ln(1?x)??0(x?0)， f?(x)?1?ln(1?x)?221?x1?x所以f(x)在(0,??)内单调增加，

故当x?0时，有f(x)?f(0)?0，(1?x)ln(1?x)?arctanx?0 即ln(1?x)?arctanx.

1?x2（2）当e?a?b?e时，ln2b?ln2a?4(b?a)； e2证：令f(x)?ln2x，，则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理，所以存在??(a,b)，使得

2ln?ln2b?ln2af(b)?f(a)f?(?)??，即.

b?a?b?alnt1?lnt,t?[e,e2]，g?(t)?， 2tt1?lnt22?0g(t)因为e?t?e，所以g?(t)?，从而在[e,e]上单调减少， 2t又令g(t)?lne22?2?2， 而e?a???b?e，所以g(?)?g(e)，?ee22ln?ln2b?ln2a2ln?44?因此?2，即ln2b?ln2a?2(b?a)

b?a?ee（3）|arcsin??arcsin?|?|???|,|?|?1,|?|?1. 证：若???,不等式显然成立. 若???，不妨设??? ， 令f(x)?arcsinx,x?(?,?) ，

易得f(x)在[?,?]上满足拉格朗日中值定理，所以在(?,?)内至少存在一点?，使得

f?(?)?f(?)?f(?) (?????)

???即

arctan??arctan?1??1，

2???1??于是arctan??arctan?????，所以|arcsin??arcsin?|?|???|，

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对于???，同理可证.

故|arcsin??arcsin?|?|???|,|?|?1,|?|?1 17．求下列函数的极值 （1）f(x)?x?ln(1?x) 解：D?(?1,??)，

f?(x)?1?f??(x)?1x，令f?(x)?0，得驻点x?0， ?1?x1?x1?x?x1， f??(0)?1?0 ?22(1?x)(1?x)所以f(x)在x?0处有极小值f(0)?0. （2）f(x)?xe 解：D?(??,??)

f?(x)?2xe?x?x2e?x?e?x(2x?x2)，令f?(x)?0 得驻点x?0,x?2，

2?xf??(x)?2(e?x?xe?x)?(2xe?x?x2e?x)?e?x(x2?4x?2)

f??(0)?2?0，f??(2)??2?0 2e?2所以f(x)有极大值f(2)?4e，极小值f(0)?0

ln2x（3）f(x)?

x解：D?(0,??)，

12lnx??x?ln2x2lnx?ln2xlnx(2?lnx)x f'(x)? ??x2x2x22令f?(x)?0，得 驻点x?1,x?e

列表

x f?(x) (0,1) ? 1 (1,e2) ? e2 0 (e2,??) ? 0 39 / 49

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f(x) ? 极小值0 ? 极大值4e ?2? 2?2f(x)有极小值f(1)?0，极大值f(e)?4e.

（4）f(x)?|x?1|

解：f(x)???x?1x??1 D?(??,??) x??1??x?1x??1??1,?f?(x)??不存在，x??1 ，使f?(x)不存在的点为x??1，

?1,x??1?列表

x f?(x) f(x) (??,?1) ? ?1 不存在 极小值f(?1)?0 (?1,??) ? ? ? f(x)有极小值f(?1)?0.

18. 若函数f(x)?ax?bx?cx?d在x??1处有极大值8，在x?2处有极小值?19，试求a,b,c,d的值.

解：f?(x)?3ax?2bx?c

由已知有f(?1)?8,f?(?1)?0,f(2)??19,f?(2)?0

232??a?b?c?d?8?3a?2b?c?0?即? 解得：a?2,b??3,c??12,d?1 ?8a?4b?2c?d??19??12a?4b?c?01?19．当a为何值时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?处取得极值，它是极大值还是极小值？并取出极

33值。

解：f?(x)?acosx?cos3x

f(x)在x?

?3

处取得极值，因而x??3是其驻点，

?af?()??1?0，得a?2. 32 40 / 49

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f??(x)??asinx?3sin3x f??()??3?0

3所以a?2时，f(x)在x???3处取得极大值f()?3. ?3220. 已知x1?1,x2?2均为函数y?alnx?bx?3x的极值点，求a,b的值.

解：y?alnx?bx?3x，y??由已知有f?(1)?0，f?(2)?0

2a?2bx?3， x?a?2b?3?0?1即?a 解得 a??2,b??.

?4b?3?02??221．求下列函数在已给区间上的最大值和最小值. （1） f(x)?解：f?(x)?x?1 [0,4 ]x?1x?1?(x?1)2??0,x?[0,4]

(x?1)2(x?1)23x?1在[0,4]上有最大值f(4)? ，最小值f(0)??1

5x?1f(x)在[0,4]上单调增加，因此f(x)?(2)f(x)?x1?x2 [?1,1] 解：f?(x)?1?x+x2?2x1?x2?1?2x21?x2，令f?(x)?0，得驻点x??2 2而f(?2121)??，f()?，f(?1)?0，f(1)?0. 22222121)?，最小值f(?)??. 2222n??所以f(x)?x1?x2在[?1,1]上的最大值f(n22. 求f(x)?nx(1?x)(n?N)在[0,1]上的最大值M，并求limM.

nn?1解：f?(x)?n(1?x)?nxn(1?x)，令f?(x)?0，得驻点x?1， n?1而f(0)?0，f(1)?0，f(n1nn?1)?()， n?1n?11nn?1)?(). n?1n?1所以f(x)?nx(1?x)(n?N)在[0,1]上的最大值M?f(nn?1lim(1?1)?n(n)?11)=n??=e?. limM=lim(nn?1n??n?1n??e 41 / 49

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23.求下列函数曲线的凹向区间与拐点。 （1）f(x)?x?sinx

解：①f(x)的定义域为(??,??)。 ②f?(x)?1?cosx， f??(x)??sinx， 令f??(x)?0，得x?k?,(k?0,?1,?2,?)

当2k??x?2k???时，f??(x)?0，曲线在(2k?,(2k?1)?)内下凹；

当2k????x?2k??2?时，f??(x)?0，曲线在(2k???,2k??2?)内上凹。 拐点(k?,k?)，k?0,?1,?2? （2）f(x)?ln(1?x)

解：①f(x)的定义域为(??,??)。

22(1?x2)2x②f?(x)? ， f??(x)?，令f??(x)?0，得x??1,x?1 221?x2(1?x)③列表

x (??,?1) ? ?1 (?1,1) ? 1 (1,??) ? f??(x) f(x) 0 0 ? In2 ? In2 ? ④曲线的下凹区间是(??,?1)和(1,??)，上凹区间是(?1,1)，拐点是(?1,ln2)和(1,ln2)。

24. 试确定曲线y?ax?bx?cx?d的系数a,b,c,d，使曲线过(?2,44)点，且以x??2为驻点，(1,?10)为拐点.

2解：y?ax?bx?cx?d，y??3ax?2bx?c，y???6ax?2b，

3232由已知可得，y(?2)?44，y(1)??10，y?(?2)?0，y??(1)?0， 将这四个条件分别代入相应的方程得

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?a(?2)3?b(?2)2??c(?2)?d?44??a?13?b?12?c?d??10，解得：2)?2b(?2)?c?0a?1,b??3,c??24,d?16. ?3a(?2??6a?2b?025. 当a,b为何值时，(1,3)为曲线y?ax3?bx2的拐点？ 解：y?ax3?bx2，y'?3ax2?2bx，y\?6ax?2b. 由(1,3)为曲线的拐点，有y(1)?3，y??(1)?0.

于是??a?b?3?6a?2b?0 解得：a??32,b?92.

26.求下列曲线的渐近线 （1）y?x?lnxx 解：lnxx2?lnx???12x2?1xlim???(x?x)?xlim???x??????xlim???(2x?x)?xlim???x?? 曲线无水平渐近线.

xlim?0?(x?lnxx)?xlimx2?lnx?0?x???. x?0是曲线的垂直渐近线.

设曲线有斜渐近线y?ax?b，则

x?lnx21a?xlimf(x)???x?xxlim???x?xlimx2?lnxx?x???x2?xlim???2x?xlim2x2?1???2x2?1b?lnx1xlim???[f(x)?x]?xlim???x?xlim???x?0

所以y?x是曲线的斜渐近线.

（2）y?x3?4x2

解：limx3?4x??x2?? 曲线无水平渐近线. limx?0?x3?4x2?? x?0是其垂直渐近线. 43 / 49

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设曲线有斜渐近线y?ax?b，则

x3?42x3?4xa?lim?lim3?1

x??x??xxx3?44b?lim(2?x)?lim2?0 y?x是其斜渐近线.

x??x??xx27.求下列函数的图形 （1）y?ln(x2?1)

解：①定义域为(??,??)；

②f(x)为偶函数，图形关于y轴对称； ③ 无渐近线； ④y??2x ，令y??0，得驻点x1?0 2x?12(1?x2)y???2 ，令y???0得x2??1,x3?1； 2(x?1)⑤列表

x (??,?1) ?1 (?1,0) 0 (0,1) 1 (1,??) y' y\ ? ? ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? ? 0 拐点 ? ?? 0 拐点y ?? 0 ?? (?1,ln2) 补充点(?2,ln5),(2,ln5)； ⑥作图 （略） (2)y?(1,ln2) 4(x?1) x2解：①定义域为(??,0)?(0,??)；

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②lim4(x?1)?0， y?0是其水平渐近线； 2x??x4(x?1)lim?? ， x?0是其垂直渐近线； x?0x2f(x)4(x?1)a?lim?lim?0 无斜渐近线 3x??x??xx4x2?4(x?1)2x?4(x?2)??0 得驻点x1??2 ③y'?43xxx3?(x?2)*3x28(x?3)y\?(?4)??0 得x2??3 64xx④列表

x y? (??,3) ? ? ?3 ? (?3,?2) ? ? ?2 0 ? (?2,0) ? (0,??) ? ? y?? 0 拐点? y ?? ?? 极小值 ?? ?? 8(?3,) 9⑤作图（略）

?1 x28.讨论方程e??x在?取何值时（1）有唯一实根（2）有两个不等实根（3）无实根。

x解：令f(x)?e??x x?(??,??)且f(x)在(??,??)内连续，

f'(x)?ex?? ， f\x)?ex，

（1）当??0时，x?(??,??), f'(x)?0,f(x)在(??,??)内单增，且

x???lim(ex??x)??? lim(ex??x)??? 因此f(x)与x轴只有一个 交点，

x???所以当??0时，f(x)?0有唯一实根。

（2）当??0时，显然f(x)?e?0 x?(??,??) 所以f(x)?0无实根。

x（3）当0???e时，令f'(x)?e???0，得唯一驻点x?ln?（???ln??1）

xf??(ln?)?eln????0 ，x?ln?是极小值点也就是最小值点，

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最小值f(ln?)?eln???ln???(1?ln?)?0， 即点(ln?,f(ln?))在x轴上方，f(x)与x轴无交点， 所以 f(x)?0无实根。

（4）当??e时，令f?(x)?ex?e?0，得驻点x?1，

f\?e?0, x?1是极小值点也就是最小值点

最小值f(1)?0，点（1，0）在x轴上，

即f(x)与x轴只有一个交点，所以f(x)?0有唯一实根。

（5）当??e时，令f'(x)?ex???0，得唯一驻点x?ln? （ln??1），

f??(ln?)?eln????0 x?ln?是极小值点也就是最小值点，

最小值f(ln?)?eln???ln???(1?ln?)?0， 即点(ln?,f(ln?))在x轴下方，

而x?(??,ln?) ,f\x)?0 ,曲线在(??,ln?)内上凹，

x?(ln?,??) f\x)?0 曲线在(ln?,??)内上凹，

所以f(x)与x轴有两个交点，分别在(??,ln?)和(ln?,??)内， 因此f(x)?0有两个不等实根。 综上所述：

??e时，方程有两个实根；

0???e时， 方程无实根；

??0 或??e时，方程有唯一实根.

29. 设某产品需求函数为Q?30?P（Q为需求量，单位：件；P为价格，单位：百元/件），若生产该产品时的固定成本为100（百元），多生产一件产品成本增加2（百元），并假定市场均衡，问如何定价可获得最大利润？最大利润是多少？

解：C(P)?100?2(30?P)?160?2P,

R(P)?PQ?P(30?P)?30P?P2,

L(P)?R(P)?C(Q)?32P?P2?160 P?[0,30]

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L?(P)?32?2P,令L?(P)?0，得驻点P?16

L??(P)??2， L\??2?0

P?16是极大值点也就是最大值点L(16)?96

所以P?16百元/件时,可获最大利润，最大利润为96百元。

30. 某航空公司的广告上说：“到奥地利去滑雪旅行，100人包机的票价为1350元一张，100人以上包机时，每超出10人，则票价降低30元. ”问多少人包机时可使该航空公司的收入达到最大？ 解：设包机人数为x人，票价为P元

由题意

x-1001350?P? 1030得到 P?1650?3x，

R(x)?xP?1650x?3x2，

R?(x)?1650?6x，令R?(x)?0，得唯一驻点x?275，

R??(x)??6,R??(275)??6?0，

x?275是极大值点也就是最大值点， 所以275人包机时可使其收入最大。

31. 一商家销售某种商品的价格满足关系P?7?0.2Q（万元/吨），Q为销售量（单位：吨），商品的成本函数为C(Q)?3Q?1（万元）.

（1）若每销售一吨产品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润的销售量； （2）在最优销售量的前提下，政府应如何确定税率t，使税收总额最大？

2 解：Ct(Q)?3Q?1?tQ, R(Q)?PQ?7Q?0.2Q

L(Q)?R(Q)?CT(Q)?7Q?0.2Q2?(3Q?1?tQ)?(4?t)Q?0.2Q2?1(Q?0),

L?(Q)?(4?t)?0.4Q,令L?(Q)?0 ，得唯一驻点Q?10?2.5t L??(Q)??0.4，，

所以是极大值点也就是最大值点， 故纳税后商家获最大利润的销售量为吨。

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（2）征税收益为， ，令，得唯一驻点， ，

当税率万元/吨时，税收总额最大。

32. 某公司销售某商品5000台，每次进货费用为40元，单价为200元/台，年保管费用率为20%，求最优订购批量（即最小总费用时的批量). 解：设总费用为元，批量为台，则 ，

，令，得唯一驻点, ，

故为最优订购批量.

33. 某种商品的销售量是单价（万元/件）的函数：，而总成本函数为（万元），如果销售每件商品要纳税（万元/件），求

（1）使销售利润最大时的单价；

（2）在销售利润最大的前提下，税率为何值时，税收额最大.

解：（1）,而，于是 ， ，因此有

,令，得唯一驻点， ，

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（2）在销售利润最大的前提下，即时， 税收额 ， ，令,得唯一驻点， ， .

（2）在销售利润最大的前提下，税率为何值时，税收额最大.

*34. 某厂购入一台机器共支出135000元，交付使用后第一年维护修理费用为200元，以后维修费每年递增300元，求该机器的经济寿命及最小年平均使用费用. 解：设平均使用费用为元，机器经济寿命为年，则

，令，得唯一驻点， ， ，而

故该机器的经济寿命为30年，最小年平均使用费用为9050元。

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