第一讲 比例解行程问题 学生版

比例解行程题

教学目标

1. 会解一些简单的方程.

2. 掌握寻找等量关系的方法来构建方程．

知识精讲

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用 来表示，大体可分为以下两种情况：

模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题

【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车

5才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，

6则甲车开出 千米，乙车才出发。

【例 2】 甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司

1机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的加上未走路程的2倍，恰好等

3于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 。

【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的

地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

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【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46

追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．

【例 4】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进

到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【巩固】 地铁有 A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A，B 两站同时出发，他们

第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远？

【巩固】 如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第

一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.

【例 5】 甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在

甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟

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走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

【巩固】 甲、乙两车同时从 A地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，

并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？

【巩固】 甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次

到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地 。

【例 6】 甲、乙两人同时从A地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲

每次到达 A地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、B 之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离 B 地1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800米，那么第二次相遇的地点距离B 地多少米？

【例 7】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途

中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？

【例 8】 甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A，B两地同时出发，若相向而行，则1时后

相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？

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【例 9】 一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽

1车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的，小汽车需倒车的路程是大卡

5车需倒车的路程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时?

【例 10】 一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。已知装满货物每时行50千米，空车

每时行70千米。不计装卸货物时间，9时往返五次。求甲、乙两地的距离。

【例 11】 甲、乙两车往返于A，B两地之间。甲车去时的速度为60千米／时，返回时的速度为40千米

／时；乙车往返的速度都是50千米／时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。

【例 12】 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚

出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？

【例 13】 甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A站，开出

若干分后，甲火车从A站出发开往B站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站的距离的比是15∶16。甲火车从A站发车的时间是几点几分？

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【例 14】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的

时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米。此人走完全程需多长时间？

【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是2∶3∶5，某人骑车走这三段路所

用的时间之比是6∶5∶4。已知他走平路时速度为4.5千米／时，全程用了5时。问：全程多少千米？

【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是5∶4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲

车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3∶4，那么A，B两站之间的距离为多少千米？

【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4∶5，两车开出后60分相遇，

并继续前进。 问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？

2【例 15】 从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的。一辆汽车上山速度是下山速度的一

3半，从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？

【例 16】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后

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