函数在区域内解析的条件及应用

目 录

摘 要????????????????????????????1 关键词?????????????????????????????1 Abstract????????????????????????????1 Keywords ????????????????????????????1 前 言??????????????????????????????1

1.函数解析的定义???????????????????????1

1.1定义?????????????????????????????1

1.2初等函数的解析性???????????????????????2 2. 函数解析的理论???????????????????????3

2.1 函数在区域D内解析的定理?????????????????3

2.2函数在区域D内解析的第一个等价定理??????????????4 2.3函数在区域D内解析的第二个等价定理??????????????5 2.4函数在区域D内解析的第三个等价定????????????5 2.5函数在区域D内解析的第四个等价定理??????????????7

结语 ?????????????????????????????8 参考文献????????????????????????????8

0

函数在区域内解析的条件及应用

学生姓名：杨玉亲 学号：20095031161 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

指导教师:张萍 职称：讲师

摘 要：本文总结了函数解析的5个等价定理，并在此基础上研讨了它们的应用.

关键词：初等函数；解析函数；函数在区域D内解析.

The analytical conditions and applications of the function

in the region

Abstract: We summarize five equivalent theorems of the analytic function, and discuss their application.

Key Words：Elementary Functions; Analytic Functions; Analytic function within the regional D.

０ 前言

在区域上处处可导的复变函数，我们称这类函数为解析函数，这类函数具有一系列非常重要的特征.虽然单变量复函数可导的概念与单变量实函数可导的概念在形式上完全一样，但在区域上处处可导的复函数与在区间上处处可导的实函数相比较，前者所具有的特征比后者更为深刻和丰富.本课题主要研究了函数在区域D内解析的条件及应用问题，以下从六个方面给予了分析与概括.

1. 函数解析的定义

定义 若f(z)在z0点的某一个邻域u(z0)内处处可导，则称f(z)在z0点解析，并称z0是f(z)的解析点.

由定义可以推出：若函数f(z)在z0点解析，则一定存在一个邻域u(z0)，在

u(z0)内任意一点z1处f(z)解析，事实上z1是u(z0)的内点，因而存在邻域

u(z1)?u(z0)，使f(z)在u(z1)内处处可导，于是按定义f(z)在z1点解析.

1

由以上结果进而可以推出：若函数f(z)在一区域D内处处可导，则根据定义，

f(z)在D内每一点都解析，这样的函数我们称之为解析函数，而D称为f(z)的解

析性区域，按照这一称呼，f(z)若在一点z0解析，则f(z)是z0的某一邻域u(z0)上的解析函数.

更一般的说，若f(z)是点集E上的解析函数，按定义f(z)应在复盖点集E的一个领域集上处处解析，例如E是某一光滑曲线L，则“f(z)在L上解析”实际上表明f(z)在包含L的一个区域上处处解析.再如E是一闭区域D，则“f(z)在闭区域D上解析”实际上表明f(z)在包含D的一个区域D?上处处解析. 1.2 初等函数的解析性

由解析定义及导数性质可知：区域D上两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是解析函数.另外解析函数的复合函数仍是解析函数；单叶解析函数的反函数一定是解析函数.

(1)多项式，指数函数ez，正弦和余弦函数sinz，cosz等函数在整个复平面上处处可导，因而按定义它们在整个复平面上处处解析，在整个复平面上解析的函数称之为整函数.

(2)既约分式函数R(z)?P(z)显然在整个复平面上除去的全部零点处处解Q(z)析。即在其定义域上解析，其他单值初等函数也都在其定义域上解析，例如

tanz?sinz则在整个复平面除去使cosz为零的点之处处处解析，以后称使函数coszf(z)不解析的点为的奇点.

(3)对于初等多值函数，我们已知其每一个单值连续分支在其可单值分解区 域上处处可导，因而由定义可知多值函数在其可单值分解区域中的每一个单值连续分支都是解析函数，我们称之为多值函数的单值解析分支，例如??Lnz在沿负半实

轴

割开的平面区域D上可划分为单值解析分支

??(Lnz)k?ln|z|?iargz?2k?i(k?0,?1,?1,???)

2

它们的导函数都相同，为???1. 显然负半实轴上的点都是每一个单值解析分支z的奇点，在z?0的任一领域内??Lnz不可能划分为单值连续分支，当然也不能划分为单值解析分支，我们称z?0为函数的多值性奇点.

例1 函数f(z)?z在平面上处处不可微. 证 很显然f(z)在z平面上处处连续. 但

?fz??z?zz??z?z?z???, ?z?z?z?z当?z?0时,上式极限不存在.因为让?z取实数而趋于零时,其极限为1;?z取纯虚数而趋于零时,其极限为-1.

dzn?nzn?1. 例2 试证:函数f(z)?z (n为正整数)在z平面上处处可微,且dzn证 设z是随意固定的点,我们有

(z??z)n?znn(n?1)n?2lim?lim[nzn?1?z???(?z)n?1] ?z?0?z?0?z2 ?nzn?1.

如函数f(z)在区域D内处处可微,则称在区域D内可微.

2.函数解析的理论

2.1 函数在区域D内解析的定理

定理2.4 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是: (1) 二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微; (2) u(x,y),v(x,y)在D内满足C.?R.方程.

例3 函数f(z)?(x2?y2?x)?i(2xy?y2)在何处可导?何处解析? 解 u?(x2?y2?x),v?(2xy?y2)

?u?v?u?v?2x?1, ??2y,?2y ,?2x?2y. ?x?x?y?y上述偏导在平面上连续,

3

令

1?u?v??2x?1?2x?2y,y?.

2?x?y?u?v????2y? ?2y ?y?x故当且仅当y?直线y?

11

时, C.?R.条件成立,由定理知: f(z)仅在直线y?上可导.在22

1

上,不存在某点的一个领域,使得f(z)在此领域上可导,故由解析的定义2

知: f(z)在复平面内处处不解析.

2.2函数在区域D内解析的第一个等价定理

定理3.15 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是: (1) ux, uy, vx，vy在D内连续;

(2) u(x,y), v(x,y)在D内满足C.?R.方程.

证 充分性 即定理2.5,

必要性 条件(2)的必要性已由定理2.1得出,现在由于解析函数f(z)的无穷可微性,

f(z)?必在D内连续,因而ux, uy, vx vy必在D内连续.

例4 讨论函数f(z)?|z|2的解析性.

解 因 u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0, 故 ux?2x,uy?2y,vx?vy?0.

这四个偏导数在z平面上处处连续,但只在z?0处满足C.?R.方程,故函数只在

z?0可微,从而,此函数在z平面上处处不解析.

例5 讨论函数f(z)?x2?iy的可微性和解析性. 解 因 u(x,y)?x2,v(x,y)??y, 故 ux?2x,uy?0,vx?0,vy??1, 所以 uy?0??vx.

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