初中数学(沪科版)概念及知识点整理

1七年级上

一、有理数

1. 正整数、0、负整数统称为整数（0不是正数也不是负数）；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。凡是可以写成

（p 、q 为整数且

p q q 0）形式的数，都是有理数。

≠

2. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（任意一个有理数都可以用数轴上的一点来表示）。

3. 只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数为0）。

a 、

b 互为相反数a+b=0（相反数的和为0）

?4. 在数轴上，表示数a 的点到原点的距离，叫做数a 的绝对值，记做|a |。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

5.有理数大小比较

（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

（2）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（3）正数的绝对值越大，这个数越大；

（4）负数的绝对值越大，这个数越小。

6．有理数的加减运算

加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加仍得这个数。

减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

加法交换律：a+b=b+a ；

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

7. 乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）。

?

a、b互为倒数ab=1（倒数的积为1）

8. 有理数的乘除运算

乘法法则

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数与0相乘仍得0；

（3）几个数相乘，符号由负号个数决定。

除法法则（除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数）

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

（2）0除以一个不为0的数仍得0（0不能做除数）；

（3）几个数相除，符号由负号个数决定。

乘法交换律：ab=ba；

乘法结合律：(ab)c=a(bc)；

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。

9. 求n个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫过幂；相同因数叫做底数；相同因数的个数叫做指数。

10. 乘方运算法则

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。

混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算。

11. 一般地，一个绝对值大于10的数都可以记成±a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整位数减1。这种记数方法叫做科学记数法。

12. 一个与实际数值很接近的数称为近似数。一个数的近似值与它准确值的差，叫做误差（误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，即近似程度越高）。

近似数一般由四舍五入法取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位。从左边第一个不为0的数字起，到精确的位数止，所有数字叫做这个近似数的有效数字。

二、整式加减

1. 能被2整除的为偶数，反之为奇数。

2

32. 用加减乘除及乘方等运算符把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式；用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

3. 由数和字母的积组成的式子叫做单项式，其中数字为系数，字母指数的和叫做次数。

4. 几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的叫常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。

5. 单项式和多项式统称为整式。所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（常数项与常数项是同类项）。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

6. 去括号

（1）括号外为正，去括号后，括号内各项都不改变符号；

（2）括号外为负，去括号后，括号内各项都改变符号。

7. 运算结果常将多项式按某个字母的指数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫做关于这个字母的降幂（升幂）排列。

三、一次方程与方程组

1. 只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

2. 等式的性质

（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一等式，所得结果仍是等式（若a=b 则a+c=b+c ，a-c=b-c ）；

（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（若a=b 则ac=bc ，=（c ≠0））；

a c

b

c （3）若a=b 则b=a （对称性）；

（4）若a=b ，b=c 则a=c （传递性）；

（5）若a-b=c-d 则a+d=c+b （移项：把等式一边的某项变换符号后移动到另一边）。

3. 解一元一次方程：整理等式，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1。

4. 含有两个未知数的一次方程称为二元一次方程（ax+by=c（a≠0，b≠0））。联立在一起的几个方程称为方程组。

5. 由两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

6. 将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法叫做消元思想。

7. 求二元一次方程组的解

（1）将一个未知数用含有另一个未知数的式子表达出来，再带入另一个方程，实现消元，进行求解，这种方法叫代入消元法；

（2）当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程两边分别相加或相减以消去这个未知数的方法叫做加减消元法。

四、几何图形

1. 两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度叫这两点间的距离。

将线段向一个方向无限延长就得到射线；将线段向两方向无限延长就得到直线（经过两点有且仅有一条直线。两条直线相交只有一个交点）。

2. 角可以看作是从一点出发的两条射线所组成的图形，其中该点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。

3. 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

4. 两个角的和等于一个平角，这两个角互为补角，简称互补。两个角的和等于一个直角，这两个角互为余角，简称互余。同角的补角相等（余角相等）。

五、数据的收集与整理

1. 全面调查：收集全部数据进行分析。

2. 抽样调查：选取全部数据中的部分数据进行分析。

3. 考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。

4. 组数与组距：在统计数据时，将数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。

4

5七年级下

六、实数

1. 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根（正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根），其中a 叫做被开方数，表示a 的正平方根，也叫做算数平方根，另一a 。求一个数的平方根的运算叫做开平方。

a 2. 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三

次方根，记做（正数的立方根是正数；0的立方根为0；负数的立方根是负

3a 数），其中a 叫做被开方数，3叫做根指数。求一个数的立方根的运算叫做开立

方。

3. 无限不循环小数叫做无理数。有理数与无理数统称为实数。

4. 实数大小比较

（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

（2）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（3）正数的绝对值越大，这个数越大；

（4）负数的绝对值越大，这个数越小。

七、一元一次不等式与不等式组

1.用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有的这些解叫做不等式的解集，求不等式解集的过程叫做解不等式。

2. 含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式；由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组，这几个一元一次不等式解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集，求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。

3. 不等式的性质

6（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（若a ＞b 则a+c ＞b+c ，a-c ＞b-c ）；

（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（若a ＞b ，c ＞0则ac ＞bc ，＞）；

a c

b

c （3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（若a ＞b ，c ＜0则ac ＜bc ，）；

a c ＜

b

c （4）若a ＞b 则b ＜a ；

（5）若a ＞b ，b ＞c 则a ＞c 。

八、整式乘法与因式分解

1. 幂的运算

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（a m ×a n =a m ＋n （m ，n 都是正数））；

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘（（a m ）n =a mn （m ，n 都是正数））；

（3）积的乘方等于各因式乘方的积（（ab ）n =a n b n （n 是正数））；

（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减（a m ÷a n =a m －n （a ≠0，m ，n 都是正数，且m ＞n ））。

任何一个不等于零的数的零次幂都等于1。任何一个不等于零的数的﹣p （p 是正数）次幂等于这个数的p 次幂的倒数。

2. 整式乘法

（1）单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；

（2）单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加；

（3）多项式与多项式相乘，先把一个多项式的每一项和另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

3. 整式除法

（1）单项式相除，把系数、同底次幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得

7的商相加。

4. 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2；

平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）=a 2－b 2

5. 把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。（提公因式法、公式法）

6. 因式分解步骤

（1）先看各项是否有公因式，若有，则先提取公因式；

（2）看是否可以使用公式法；

（3）分组分解法，通过分组后提取公因式或运用公式法；

（4）因式分解的最终结果必须是几个整式的乘积，且不能再分解。

九、分式

1. 一般地，如果a ，b 表示两个整式，并且b 中含有字母（b ≠0），那么式子叫

a b 做分式，其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。整式与分式统称为有理式。

2. 把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分，分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式（约分时，一般将分式化为最简分式）。

3. 异分母分式化为同分母分式的过程叫通分，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母（若各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；当分母是多项式时，一般先分解因式）。

4. 分式的运算法则

（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；

（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减；

（3）两个分式相乘，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；

（4）两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；

（5）分式乘方就是把分子、分母分别乘方。

混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算。

5. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法

（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值；

（3）验跟（分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能会产生增根，所以必须验跟）。

十、相交线、平行线与平移

1. 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角（对顶角相等）。

2. 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角（两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角）。互为邻补角的两个角一定互为补角，互为补角的两个角不一定互为邻补角。互为邻补角的两个角一定互为邻角，互为邻角的两个角不一定互为邻补角。

3. 两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫另一条的垂线（过一点有且只有一条直线垂直于已知直线），它们的交点叫做垂足。在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段（该点与垂足形成的线段）最短，垂线段的长度叫点到直线的距离。

4. 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线；如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

5. 如图，具有∠1与∠5这种位置关系的一对角叫做同位角；具有∠3与∠5这种位置关系的一对角叫做内错角；具有∠4与∠5这种位置关系的一对角叫做同旁内角

。

6. 平行线判定定理

8

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行。

7. 平行线性质：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；

（3）两直线平行，同旁内角互补。

8. 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移。平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样

的两个点叫做对应点。一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应

点的线段互相平行（或在同一条直线上）且相等。平移只改变图形的位置，不

改变图形的形状和大小。

八年级上

十一、平面直角坐标系

1. 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a，b）。

2. 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴（取向右为正方向），竖直的轴叫做y轴或纵轴（取向上为正方向），两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。两条坐标轴把平面分为四个部分，右上叫做第一象限（符号﹢，﹢），剩余三个按逆时针方向依次称为第二象限（符号﹣，﹢），第三象限（符号﹣，﹣），第四象限（符号﹢，﹣）（坐标轴上的点（即x，y轴上的点）不属于任何一个象限）。

3. 平面上的任一点p，过p分别向x，y轴作垂线，垂足分别在x，y轴上，对

应的数a，b分别叫做点p的横坐标与纵坐标，记做p（a，b）（平面内任意一

点p都有唯一的有序实数对（x，y）与之对应，反之，对于任意一个有序实数

对（x，y），在平面直角坐标系内都有唯一的点p与之对应）。

9

104. 平面直角坐标系中的图形平移，图形上任意一点（x ，y ）的变化：向右移动a （a ﹥0）个单位（x+a ，y ），向左移动a （a ﹥0）个单位（x-a ，y ），向上移动b （b ﹥0）个单位（x ，y+b ），向下移动b （b ﹥0）个单位（x ，y-b ）。十二、一次函数

1. 数值不断变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

2. 一般地，设在一个变化过程中的两个变量x ，y ，如果对于x 在它允许的取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数（表达函数关系主要有列表法、解析法（表达式）与图像法），当x=a 时，y=b ，那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的函数值。

3. 形如y=kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0）的函数叫做一次函数（x 是自变量，y 是因变量）。当b=0时，称y 是x 的正比例函数，其一般式为y=kx （k ≠0），其图像是经过原点的一条直线。

4. 一次函数的性质

（1）当k ﹥0时，y 随x 的增大而增大；

（2）当k ﹤0时，y 随x 的增大而减小。

5. 一次函数的图像

当k ﹥0时

（1）k ﹥0，b ﹥0，直线图像位于一二三象限；

（2）k ﹥0，b ＝0，直线图像位于一三象限；

（3）k ﹥0，b ﹤0，直线图像位于一三四象限；

当k ﹤0时

（1）k ﹤0，b ﹥0，直线图像位于一二四象限；

（2）k ﹤0，b ＝0，直线图像位于二四象限；

（3）k ﹤0，b ﹤0，直线图像位于二三四象限。

116. 直线y=kx+b 与y 轴相交于点（0，b ），b 叫做直线y=kx+b 在y 轴上的截距。

7. 直线y=kx+b 相当于y=kx 平移∣b∣个单位长度（b ﹥0向上平移，b ﹤0向下平移）。

8. 先设所求一次函数表达式为y=kx+b （k ，b 是待确定的系数），根据已知条件列出关于k ，b 的方程组，求k ，b 的值。这种确定表达式中系数的方法叫做待定系数法。

9. 自变量在不同取值范围内表示函数关系式的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。

十三、三角形中的边角关系、命题与证明

1. 由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的封闭图形叫做三角形。如下图所示，点A ，B ，C 叫做这个三角形的顶点；线段AB ，AC ，BC 叫做这个三角形的边；∠A ，∠B ，∠C 叫做这个三角形的内角。我们将这个三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC

”

2. 三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形；两条边相等的三角形叫做等腰三角形（等腰三角形中，相等的两边叫腰，第三边叫底边；两条腰的夹角叫做顶角，腰于底边的夹角叫做底角）；三条边相等的三角形叫做等边三角形（等边三角形是等腰三角形的特例）。

3. 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC 可写成Rt △ABC ）；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

4. 三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线

（三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心）；从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫三角形的高。

5. 三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。

6. （1）三角形中任何两边的和大于第三边；

（2）三角形中任何两边的差小于第三边；

（3）三角形的内角和为180°；

（4）直角三角形的两锐角互余（两锐角互余的三角形是直角三角形）；

（5）三角形的外角与其相邻内角互补，大于与它不相邻的任何一个内角，等于不相邻两内角的和。

7. 对某一事件做出正确或不正确判断的语句叫做命题；正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。命题常写成“如果…那么…”的形式，“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p叫做这个命题的条件（或题设），q是这个命题的结论（或题断）。将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换得到新

命题“如果q，那么p”，这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫原命题，

另一个叫做原命题的逆命题。符合命题条件，但不符合命题结论的例子，我们

称之为反例（要说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可）。有些命题是由基本事实或其他真命题出发用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假

的依据，这样的真命题叫做定理。从已知条件出发，依据定义、基本事实、已

证定理，并按照逻辑规则推导出结论的方法称为演绎推理，演绎推理的过程，

就是演绎证明，简称证明。

8. 因为需要而在原图形上添画的线叫做辅助线，辅助线通常画为虚线。

十四、全等三角形

1. 能够完全重合的两个图形，叫做全等形。两个三角形的形状、大小都一样时，其中一个可以通过平移、旋转、对称等运动使之与另一个重合，这两个三角形

称为全等三角形。全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做

对应角，互相重合的顶点叫做对应顶点。

2. 全等三角形的性质

（1）对应边相等；

（2）对应角相等。

12

3. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”。

4. 全等三角形的判定

（1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”（S表示边，A表示角））；

（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；

（3）三边分别相等的两个三角形全等（简记为“边边边”或“SSS”）；

（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”）；

（5）斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简记为“斜边、直角边”或“HL”）。

十五、轴对称图形与等腰三角形

1. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的两点叫做对应点。

2. 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。

垂直平分线性质

（1）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

（2）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

3. 一般地，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反之，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴

垂直平分。

4. 等腰三角形性质

（1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）；

（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边（等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”）。

5. 等腰三角形判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”

13

14）。

6. 等边三角形性质

（1）等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°；

（2）等边三角形任何一内角的角平分线于该内角的对应边上的高和中线互相重合。

7. 等边三角形判定

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形；

（4）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）。

8. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

9. 角平分线性质

（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；

（2）角的内部到角的两边的距离相等的点在该角的角平分线上。

八年级下

十六、二次根式

1. 二次根式的性质

（1））2=a （a≥0）

a （2=∣a∣=a（a≥0）；=∣a∣=-a（a﹤0）

a^2a^22. 二次根式的乘除运算

（1）二次根式的乘法：如果a≥0，b≥0，那么有=（可写成a ×b ab =（a≥0，b≥0））

ab a ×b （2）二次根式的除法：如果a≥0，b﹥0，那么有=

（可写成a b a

b =（a≥0，b﹥0））

a b a

b 3. 满足下列两个条件的二次根式称为最简二次根式

（1）被开方数的因数是正数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

15有时需将被开方数分解因式；当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化。

4. 二次根式的加减运算，先将各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并。十七、一元二次方程

1. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式（标准形式）：ax 2+bx+c=0（a≠0），其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 是一次项的系数；c 叫做常数项。

2. 解一元二次方程

（1）配方法：对原一元二次方程配方，使它出现完全平方公式后，再开平方求解；

（2）因式分解法：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解；

（3）公式法：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0且b 2-4ac≥0）

X ＝（b 2-4ac≥0）

-b ±b 2-4ac

2a 3. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根的情况由b 2-4ac 来确定。我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用符号△表示，即△=b 2-4ac 。

（1）当△﹥0时，有两个不相等的实数根

X 1＝2＝

-b +

b 2-4ac

2a -b ?b 2-4ac 2a （2）当△=0时，有两个相等的实数根

X 1=X 2=﹣b

2a

（3）当△﹤0时，没有实数根

4. 韦达定理：如果ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根为X 1，X 2，那么

X 1+X 2=﹣，X 1X 2=。

b a c

a 十八、勾股定理

1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角

形的两条直角边用a，b表示，斜边用c表示，则勾股定理可表示为a2+b2=c2。

2. 勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3. 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

十九、四边形

1. 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

2. n边形的内角和等于（n-2）×180°；n边形的外角和等于360°（n为不小于3的整数）。

3. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

4. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离。

5. 平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边相等；

（2）平行四边形的对角相等；

（3）平行四边形的对角线互相平分。

6. 平行四边形的判定

（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。

7. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

三角形的三条中线相交于一点（重心），这点和各边中点的距离等于相应各边上

16

中线的三分之一。

8. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

9.矩形的性质

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等且互相平分（推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。

10. 矩形的判定

（1）对角线相等的平行四边形是矩形；

（2）三个角是直角的四边形是矩形；

（3）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）；

（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

11. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

12.菱形的性质

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直；

（3）菱形的每一条对角线平分一组对角。

13. 菱形的判定

（1）四边都相等的四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；

（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

14. 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

15. 正方形的性质

（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分；

（3）正方形既是矩形，又是菱形。

16. 正方形的判定

（1）邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个角是直角的菱形是正方形；

17

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义）；

（5）对角线相等的菱形是正方形。

17. 只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

18. 等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等；

（2）等腰梯形的对角线相等；

（3）等腰梯形同一底边上的两个角相等。

19. 等腰梯形的判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

二十、数据的初步分析

1. 我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数。某一组数据的频数与这批数据的个数的比值叫做这组数据的频率。

2. 画出相互垂直的两条直线，用横轴表示分组情况，纵轴表示频数，绘出相应的长方形条，就得到了频数直方图。

3. n个数的和除以n所得的值叫做这组数据的平均数。一组数据中，各数据出现的次数叫做该数据的权（反应了该数据在这组数据中的比重/重要程度）。各数据乘权后累加所得的和除以权值和所得到的值叫做加权平均数。

4. 将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

5. 一组数据中最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

6. n个数据中，各个数据与平均数差的平方的和除以n所得到的值叫做这组数据的方差。一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大。方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，越稳定。方差的平方根称为标准差。

九年级上

二十一、二次函数与反比例函数

18

191. 一般地，表达式形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的函数叫做x 的二次函数，其中x 是自变量。

2. 二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0）

（2）顶点式：y=a （x+）2+（a≠0）或y=a （x-h ）2+k （a≠0）

b 2a 4a

c -b^24a （3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a≠0）

3. 二次函数的图像与性质

函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）

a﹥0

a﹤0

图像抛物线向上开口，并向

上无线延伸

抛物线向下开口，并向下无线延伸对称轴x=﹣，顶点b

2a 对称轴x=﹣，顶点

b

2a

20

（﹣，）

b

2a 4ac -b^2

4a （﹣，）

b

2a 4ac -b^2

4a 当x﹥﹣时，y 随x 的b

2a 增大而增大；当x﹤﹣

时，y

随x 的增大而减b

2a 小

当x﹥﹣时，y 随x 的b

2a 增大而减小；当x﹤﹣

时，y

随x 的增大而增b

2a 大

抛物线有最低点，当

x=﹣时，y 最小值=

b

2a 4ac -b^2

4a

抛物线有最高点，当

x=﹣时，y 最大值=

b

2a 4ac -b^2

4a

4. 二次函数的平移上加下减，左加右减

5. 待定系数法求二次函数解析式

根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式，必须依据题目特点选择适当的形式。

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般设解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0）；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般设解析式为y=a （x-h ）

2+k （a≠0）；

（3）已知抛物线与X 轴的两个交点，一般设解析式为y=a （x-x 1）（x-x 2）（a≠0）

6. 二次函数与一元二次方程

抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点的横坐标X 1，X 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根。

当y=0时，抛物线y=ax 2+bx+c 便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）。

21（1）当b 2-4ac ﹥0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；

（2）当b 2-4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；

（3）当b 2-4ac ﹤0时，一元二次方程有没有实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

7. 一般地，表达式形如y=（k 为常数且k≠0）的函数叫做反比例函数；反比例

k x 函数的图像是双曲线；反比例函数图像既是轴对称图形又是中心对称图形（两条对称轴y=x ，y=-x ，对称中心为原点）。

8. 反比例函数性质

（1）当k ﹥0时，函数图像位于第一、三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；

（2）当k ﹤0时，函数图像位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

二十二、相似性

1. 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段a ，b 的比，等于另外两条线段c ，d 的比，即＝（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称a b c d 比例线段。这时，线段a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c

叫做比例内项。若＝，即b 2=ac ，那么线段b 叫做线段a ，c 的a b b c 比例中项。

2. 基本性质

（1）如果＝，那么

ad=bc （b ，d≠0）；反之也成立，即如果ad=bc ，那么a b c d ＝；

a b c d （2）合比性质：如果＝，那么＝（b ，d≠0）；

a b c d a +b b c +d d （3）等比性质：如果＝＝…＝，且

b1+b2+…+bn≠0，那么

a1b1a2b2an bn 。a1+a2+?+an b1+b2+?+bn ＝a1b1

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