2012年全国中考数学试题分类解析汇编方程、不等式和函数的综合

2012年全国中考数学试题分类解析汇编

专题24：方程、不等式和函数的综合 一、选择题

1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【 】

y=?1x ④y=3x

2 ①y=x ②y=－2x＋1 ③ A．1个 B．2个 C．3个 【答案】B。

D． 4个

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断： ①∵y=x的k＞0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大； ②∵y=－2x＋1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；

y=?1x的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；

2 ③∵ ④∵

y=3x的a＞0，对称轴为x=0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小。

∴正确的有2个。故选B。

2. （2012四川广元3分） 已知关于x的方程函数

y?1?bx(x?1)?(x?b)?222有唯一实数解，且反比例

的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】

3x B.

y?

1

x C.

y?

2

x D.

y??2x

y??A.

【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。

22【分析】关于x的方程(x?1)?(x?b)?2化成一般形式是：2x2＋（2－2b）x＋（b2－1）

=0， ∵它有唯一实数解，

∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。

y?1?bx∵反比例函数 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，

∴1+b＜0。∴b＜－1。∴b=－3。

y?1?3xy??2x。故选D。

∴反比例函数的解析式是，即

3. （2012山东菏泽3分）已知二次函数

y?ax?bx?c2的图象如图所示，那么一次函数

y?bx?c和反比例函数

y?

a

x在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】

A．B．C．

D

【答案】C。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。 【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴a＜0，

x=?b2a<0∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为

，∴由a＜0得b＜0。

∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴c=0。

ax位于第二四象限，

∴一次函数y?bx?c过第二四象限且经过原点，反比例函数观察各选项，只有C选项符合。故选C。 4. （2012山东泰安3分）二次函数图象经过【 】

y?a(x?m)?n2y=的图象如图，则一次函数

y?mx?n的

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

【答案】C。

【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。 【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0。∴m＜0， ∴一次函数

y?mx?n的图象经过二、三、四象限。故选C。

y=12x上，

5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线

点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x【 】

?99A．有最大值，最大值为

2 B．有最大值，最大值为2 99 C．有最小值，最小值为2 D．有最小值，最小值为2 【答案】B。

【考点】关于y轴对称的点的坐标，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。 【分析】∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点的坐标为（﹣a，b）。

y=12x的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，

?又∵点M在反比例函数

1??b=2a??b=?a+3?∴，即

?1??ab=2??a+b=3?y=?12x+3x=?212。∴二次函数y=﹣abx2+（a+b）x为

9?x?3?2+92。

1∵二次项系数为2＜0，∴函数有最大值，最大值为y=2。故选B。 二、填空题

三、解答题

1（2012广东梅州8分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分． （1）求直线l的函数关系式；

（2）如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？

【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得

?k+b=45?k=?6??3k+b=42b=60? ，解得?。

∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。

25（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤3。

∴警车最远的距离可以到：

60?253?12=250千米。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。 （2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。

2. （2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：

（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？ （2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？ 【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，

?40?2x?3x ??x?0?40?2x?0??5000x?2000x?2400?40?2x??118000?根据题意得： ， 解得：8≤x≤10。

∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x）， 即y=2260x+10800。

∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。 ∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。 ∵现金每购1000元送50元家电消费券一张， ∴33400元，可以送33张家电消费券。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。

3. （2012浙江衢州10分）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余

下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）乙工程队每天修公路多少米？

（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？

【答案】解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米）， 答：乙工程队每天修公路120米。

?3k+b=0??9k+b=720?k=120??b=?360（2）设y乙=kx+b，则当x=6时，y乙=360。

，解得：。∴y乙=120x﹣360。

设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x。

（3）当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620（米）。

设需x天完成，由题意得：

（120+60）x=1620，解得：x=9。

答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成。

【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数。

（2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式。

（3）先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数。

4. （2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。

（1）当n?200时， ①根据信息填表： 产品件数（件） A地 x B地 C地 2x 合计 200

运费（元） 30x ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为5800元，求n的最小值。 【答案】解：（1）①根据信息填表 产品件数（件） 运费（元） A地 x B地 200?3x 1600?24x C地 2x 合计 200 56x+1600 30x 50x ?200?3x?2x 642?1600?56x?4000②由题意，得 ? ，解得40≤x≤7。

∵x为整数，∴x=40或41或42。

∴有三种方案，分别是

（i）A地40件，B地80件，C地80件；

（ii）A地41件，B地77件，C地82件； （iii）A地42件，B地74件，C地84件。 （2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x． ∵n－3x≥0，∴x≤72.5。 又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。

∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。 ②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。

（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。

5. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。 则（40－2x）2=484，解得

x1?31（不合题意，舍去），

x2?9。

∴剪掉的正方形的边长为9cm。 ②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系为：y?4(40?2x)x??8x?160x??8(x?10)?800， ∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。 （2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。 则2(40?2x)(20?x)?2x(20?x)?2x(40?2x)?550 ， 解得：

x1??3522（不合题意，舍去），

x2?15。

∴剪掉的正方形的边长为15cm。

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40－2x）2=484，求出即可 ②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。

（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。

6. （2012江苏淮安10分）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量

月用电量210度以下，每度月用电量210至350度，每度月用电量350度以上，每度电价格0.52元 比第一档提价0.05元 比第一档提价0.30元 例：若某户月用电量400度，则需缴电费为 210×0.52+（350－210）×（0.52+0.05）+（400－350）×（0.52+0.30）＝230元 （1）如果按此方案计算，小华家5月份电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量； （2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用量属于第几档？ 【答案】解：（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元， 用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189元， ∴小华家5月份的用电量在第二档。

设小华家5月份的用电量为x，则 210×0.52＋（x－210）×（0.52＋0.05）=138.84， 解得：x=262。 ∴小华家5月份的用电量为262度。

（2）由（1）得，当a≤109.2时，小华家的用电量在第一档； 当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档； 当a＞189时，华家的用电量在第三档。

【考点】分段函数和一元一次方程的应用。 【分析】（1）分别计算出用电量为210度，350度时需要交纳的电费，然后可得出小华家5月份的电量在哪一档上，从而列式计算即可。

（2）根据（1）求得的结果，讨论a的值，得出结论。

7. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数y1?kx?b的图象与x轴相交于点A，与反

y2?cx

比例函数

5的图象相交于B（－1，5）、C（2，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1?kx?b的图象上的动点．

（1）求k、b的值；

?1?m?32，过点P作x轴的平行线与函数

y2?cx的图象相交于点D．试问△PAD的

（2）设面积是

否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设m?1?a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值 范围．

y2?cx，得

5?c?1 ，解得c=?5。

【答案】解：（1）将点B 的坐标代入

∴反比例函数解析式为

5y2??5x。

d??552=?2 将点C（2，d）的坐标代入

y2??5x，得

5。∴C（2，－2）。

5 ∵一次函数y1?kx?b的图象经过B（－1，5）、C（2，－2）两点，

?5??k?b??k=?2?5?2?k?b??b=32? ∴，解得?。

（2）存在。

x?33 令y1?0，即?2x?3?0，解得

2。∴A（2，0）。

32

由题意，点P（m，n）是一次函数y1??2x?3的图象上的动点，且

?1?m?3?n ∴点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（

y2??5x的图象上，

5n2，n）。

∵DP∥x轴，且点D在

yD?yP?n，xD=?5n，即D（

∴

?，n）。

21?3?n5?1?3?49S?PD?OP=??+??n=??n??+22?2n?4?2?16。 ∴△PAD的面积为

1 ∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。

?1?m?32，得0?n?5，而

0?n=32?5 又∵n=?2m?3，

n=3。

493 ∴当

2时，即P（4， 32）时，△PAD的面积S最大，为16。

（3）由已知，P（1?a, 2a+1）。

易知m≠n，即1?a?2a+1，即a?0。 若a>0，则m<1

0

由题设，m>0，n?2，解出不等式组的解为 若a<0，则n<1

由题设，n?0，m<2，解出不等式组的解为

?1?12?a<0。

12。

综上所述，数a的取值范围为2次函数的性质，不等式组的应用。

?a<00

【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二

【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得c=?5，从而得到

y2??5y2??5x；

由点C在

x上求得d??2，即得点C的坐标；由点B、C在y1?kx?b上，得方程组，

解出即可求得k、b的值。

（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最

值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。 （3）由m≠n得到a?0。分a>0和a<0两种情况求解。

8. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了

a交20元外，超过部分每千瓦时要交100元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元。 （1）求a的值；

（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？

10. （2012江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：

（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；

（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。

60【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为1.5米/小时）。

a=a40=4060（千米/小时），乙车的速度为1.5?0.5=60（千

根据题意，得60?1?0.5，解得a=180（千米）。

180?1=180x，解得x=90。

（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则60 经检验，x=90是方程的解并符合题意，

∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。 甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：

【考点】一次函数和方程的应用。

【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。 根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。 应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0），

由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：

s甲?40，t乙s?60?t。

3 设N（t，a），P（t＋1，a）），代入函数关系式，得

?a?40?t+?1??t?3.5??a?60?t30a?180?? ，解得?。

180（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程60?2+0.5=18040+180x求解）。

应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离

180地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为60?2+0.5=6.5。

若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为

6.5?18040=2（小时）。

∴甲车返回时的速度为180÷2=90（千米/小时）。

根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。

11. （2012广东河源7分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知

警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶的时间x(小时)的函数关系的图象是如图所示的直线l的

一部分．

(1)求直线l的函数表达式；

(2)如果警车要回到A处，且要求警车的余油量不能少于10升，那么警车可以以行驶到离A处的最远 距离是多少？

【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得

?k+b=45?k=?6??3k+b=42b=60 ?，解得?。

∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。

25（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤3。

60?253?12=250∴警车最远的距离可以到：千米。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。 （2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。

12. （2012广东河源9分）(1)已知方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．

(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为

何值时，d2取得最小值并求出该最小值．

【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，

x1?x2??ba=?p，x1?x2?ca=q∴。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。 ∵d=|x1﹣x2|， ∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。

∴当p=2时，d 2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

13. （2012福建南平10分）某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元，已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生． 设该乡镇现有小学生x人．

（1）用含x的代数式表示：

该乡镇小学生每天共需营养补助费是 元．

该乡镇初中生每天共需营养补助费是 元．

（2）设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元，问小学生、初中生分别有多少人？

【答案】解：（1）小学生每天所需营养费=4×2%x+3（1－2%）x=3.02x； 中学生每天所需营养费=5×2%（1000-x）+3×（1－2%）（1000－x）=3040－3.04x。 （2）根据题意得y=3.02x＋3040－3.04x=3040－0.02x。 （3）令y=3029，即3040－0.02x=3029，解得：x=550 1000－550=450。

答：小学生有550人，中学生有450人。

【考点】列代数式，一元一次方程和一次函数的应用。

【分析】（1）用普通学生的费用加上困难学生的费用即可求得中小学生需要的营养补助费。 （2）将（1）题中的两个相加即可求得总营养费与学生数之间的函数关系式。

（3）令y=3029即可求得学生数。 14. （2012福建龙岩12分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A

型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B

型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题:

（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；

（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求

出最少租车费．

【答案】解：（1）设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨，

?2x?y?10 ?x?3 ??x?2y?11根据题意得出，?，解得：?y?4。

答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨。 （2）∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴3a+4b=31。则

?a?0??31?3a1b=?00?a?10?4?3。 ，解得：

∵a为整数，∴a=1，2，…10。

b=31?3a4=7?a+3+a4为整数，∴a=1，5，9。

又∵

∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1。

∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1。

（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次， ∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元； 当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元； 当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1020元。

∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少。 答：最少租车费为940元。

【考点】二元一次方程组、不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆

B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可。

（2）由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案。

（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，

分别求出租车费用即可。

15. （2012福建三明10分）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元． （1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）

（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品

件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）

【答案】解：（1）设A种商品销售x 件，则B种商品销售（100－x）件. 依题意，得10x＋15（100－x）=1350，

解得x=30。∴ 100- x =70。

答：A种商品销售30件，B种商品销售70件。 （2）设A种商品购进x 件，则B种商品购进（200－x）件。 依题意，得0≤ 200－ x ≤3x，解得 50≤x≤200 。

设所获利润为w元，则有w=10x＋15（200－ x）= － 5x +3000 。 ∵－5＜0，∴w随x的增大而减小。

∴当x=50时，所获利润最大，最大利润为－50×50＋30000=2750 200－x=150。

答：应购进A种商品50件，B种商品150件，可获得最大利润为2750元。 【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 销售A种商品的利润＋销售B种商品的利润=1350元

10x ＋ 15（100－x） =1350。

（2）根据购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍列出不

等式求出购进A种商品数量的范围；列出利润关于A种商品数量的函数关系式，根据函数的性质求得结果。

k2

16. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2

x ＞0）的交 点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标；

k2（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）于点

x N．当

PN1

取最大值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式． NE2

k2

【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝（k2＞0）上，

x ∴ c＝k2＝3d 。 ∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。

∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。 ∴ AM＝3d。

过点B作BT⊥AM，垂足为T。 ∴ BT＝2，TM＝d。 ∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。

在Rt△BTM中，TM 2＋BT2＝BM2，即 d2＋4＝9d2，∴ d＝∴点B(3，2)。 2

2。 2

k2

（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点，

x ∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。 14∴k1＝－k2，b＝k2。

33

∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限，

∴ 点P在第一象限。设P（x，k1x＋b）， PEk1x＋bk1b14∴＝ ＝x2＋x＝－x2＋x。 NEk2k2k233

x

＝3?1?x?2?2+43

PEPE4

∵当x＝1，3时，＝1，又∵当x＝2时， 的最大值是。

NENE3∴1≤

PE4

≤.。∴ PE≥NE。 NE3

?1∴

PNPE

＝－1＝3NENE

?x?2?2+13。

PN1

∴当x＝2时，的最大值是。

NE3

133

由题意，此时PN＝，∴ NE＝。∴ 点N(2，) 。 ∴ k2＝3。

2223

∴此时双曲线的解析式为y＝。

x

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。 k2

【分析】（1）过点B作BT⊥AM，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y＝（k2＞0）

x 上，得到c=3d，则A点坐标为（1，3d），在Rt△BTM中应用勾股定理即可计算出d的值，即可确定B点坐标。 （2）P（x，k1x＋b），求出

PNPN

关于x的二次函数，应用二次函数的最值即可求得的最大值，NENE

133k2

此时根据PN＝求得NE＝，从而得到N(2，)，代入y＝即可求得k2＝3。因此求得反比

222x 3

例函数的解析式为y＝。

x

17. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营

养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．

(1)至少需要购买甲种原料多少千克?

(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少?

【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20， 解得x≥8。

∴至少需要购买甲种原料8千克。 （2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即y=4x+100， ∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大。 ∵x≥8，∴当x=8时，y最小。

∴购买甲种原料8千克时，总费用最少。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。

【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。 （2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少。

18. （2012福建泉州9分）国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）与正常运营时间x（单位：天）之间分别满足关系式：

y0?ax、y1?b?50x，如图所示.

试根据图像解决下列问题：

（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.

（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？

【答案】解：（1）90； 4000；100。 （2）依题意，得解得x?200。

答：200天后节省燃料费40万元。

【考点】一次函数和一元一次方程的应用。 【分析】（1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本。

（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，从而得出

y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000

，得出即可。

19. （2012湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300

元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 【答案】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则

?x+y=40?x=15??2x+3y=105 ?，解得?y=25。

答：甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；

（2）设生产A产品m件，生产B产品（50－m）件，则生产这50件产品的材料费为 15×30m＋25×10m＋15×20×（50－m）＋25×20×（50－m）=－100m＋40000，

??100m?40000?38000?50?m?28由题意：?，解得20≤m≤22。

又∵m是整数，∴m的值为20， 21，22。 ∴共有三种方案，如下表：

A（件） B（件） ２０ ３０ ２１ ２９ ２２ ２８ （3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m）， 则W=－100m＋40000＋200m＋300（50－m）=－200m＋55000，

∵－200＜0，∴W 随m的增大而减小。 而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=－200×22＋55000=50600（元）。 【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。 【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40

?x+y=40?2x+3y=105元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组?，解

方程组即

可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；

（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，先表示出生产这50件产品的材料费，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到－100m＋40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50－m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案。

（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m），根据成本=材料费+加工费得到

W关于m的函数关系式，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本。

20. （2012湖北黄石8分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.

商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；

反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者

制定了两种购房方案：

方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）. 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管

理费为a元）

（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式； （2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？

（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9％的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法。 【答案】解：（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 ； 当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680。 ?20x?2840(2?x?8,x为正整数)y???40x?2680(8?x?23,x为正整数) 。 ∴

（2）由（1）知：

∵当2≤x≤8时，小张首付款为

（20x＋2840）·120·30%=36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元 ∴2～8层可任选。 ∵当9≤x≤23时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%=36（40x＋2680）元

1613。

由36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤

∵x为正整数，∴9≤x≤16。

综上所述，小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为： y1=(40·16＋2680) ·120·92%－60a（元） 若按老王的想法则要交房款为：y2=(40·16＋2680) ·120·91%（元） ∵y1－y2=3984－60a ，

当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4。此时老王想法正确； 当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4。此时老王想法不正确。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000－（8－x）×20元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000＋（x－8）?40元。

（2）由（1）知：当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任选，

当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1按老王的想法则要交房款为y2，然后根据即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，y1－y2≤0时，解得a≥66.4，即可得出答案。

21. （2012湖北荆门10分） 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式； （2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式为

?26x(20?x?40)y= ? 24x(x>40)?。

（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为w元．

??x>0??89%??75?x?+95%x?93%?75，解得x≥50。 由题意得：?由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．

∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大。∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400（元）。

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）根据所需总金额y（元）是进货量x与进价的乘积，即可写出函数解析式。 （2）根据总零售量不低于进货量的93%这个不等关系即可得到关于进价x的不等式，解不等式即可求得x的范围．费用可以表示成x的函数，根据函数的增减性，即可确定费用的最小值。

22. （2012湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．

（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）； （2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？ 【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。

13813。

（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥

∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。

【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数。

（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。

23. （2012湖北孝感10分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏

水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．

实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出

的水量精确到1毫升)：

时间t(秒) 10 20 5 30 8 40 11 50 14 60 17 70 20 漏出的水量V(毫升) 2

(1)在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点；

(2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)？ (3)按此漏水速度，一小时会漏水 千克(精确到0.1千克)．

实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的 部分？

【答案】解：实验一：

（1）画图象如图所示：

（2）设V与t的函数关系式为V=kt+b，

根据表中数据知：当t=10时，V=2；当t=20时，V=5，

?2?10k?b ?5?20k?b∴?，解得：

3??k?10??b??1?3。∴V与t的函数关系式为V=101010=33623。

t?1。

3由题意得：10t?1≥100，解得t≥3∴337秒后，量筒中的水会满面开始溢出。

3（3）一小时会漏水10?3600?1=1079（毫克）=1.079（千克）≈1.1千克。

实验二： ∵小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化， ∴图象中会出现与横轴“平行”的部分。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】实验一：

（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可。

（2）先设出V与t的函数关系式为V=kt+b，根据表中数据，列方程组求出k、b，求出V与t的函数关系式，再根据V≥100，即可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出。 （3）根据（2）中的函数关系式，把t=1小时=3600秒代入即可求出答案。

实验二：根据小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与横轴“平行”的部分。

24. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备

每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和

所需工时如下表：

服装名称 工时/件 西服 休闲服 衬衣 113 2 14 1 2 收入（百元）/件 3 设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。 求y与x之间的函数关系式。

问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，

1114从工时数方面：由2x+3y+4z=120整理得：z=480－2x－3y。

4（2）由（1）得360－x－y=480－2x－3y，整理得：y=360－3x。 （3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720

?2x?60??x?0?360?3x?0由题意得?，解得30≤x≤120。

由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服 270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。 （2）由（1）整理得：y=360－3x。

?2x?60??x?0?360?3x?0（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得?，

解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。

25. （2012湖南益阳8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【答案】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得： 80x+60（17﹣x ）=1220，解得：x=10。∴17﹣x=7。 答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵。

（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得： 17﹣x＜x，解得：x＞8.5。

∵购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）=20x+1020，是x的增函数， ∴费用最省需x取最小整数9，此时17﹣x=8，所需费用为20×9+1020=1200（元）。 答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，这时所需费用为1200元。 【考点】一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；

（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案。

26. （2012湖南常德7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：

成本 （万元／件） 利润 （万元／件）

若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？

A种产品 0.6 0.2 B种产品 0.9 0.4 27. （2012湖南郴州8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．

（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？

（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？ 【答案】解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元， 则y=20x＋80（100－x）=8000－60x。

（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100－x），根据题意得：

?x?3x ??100??8?01?00??x?20x ?6620 ，解得：23≤x≤25。

∵x为整数，∴x取23，24，25。 ∴有3种购买方案：

当买排球23个时，篮球的个数是77个， 当买排球24个时，篮球的个数是76个， 当买排球25个时，篮球的个数是75个。

（3）根据（2）得：

当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20＋77×80=6620（元）， 当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20＋76×80=6560（元）， 当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元）。

∴采用买排球25个，篮球75个时更合算。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共100个，已知篮球每个80元，排球每个20元可列出函数式。

（2）先设出购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍和购买两种球的总费用及单价，列出不等式组，解出x的值，即可得出答案。

（3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比较，即可得出更合算的方案。

28. （2012湖南长沙10分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价

??40?x?25?x?30?y????25?0.5x?30

（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）

（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？

（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

??40?x?25?x?30?y????25?0.5x?30

∴把28代入y=40﹣x得， y=12（万件）。

答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件。

（2）①当 25≤x≤30时， W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25， ∴当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万。 ②当30＜x≤35时，

11W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣2x2+35x﹣625=﹣2（x﹣35）2﹣12.5， ∴当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万。 综合①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。

（3）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5， 令W=67.5，则﹣x2+59x﹣782.5=67.5，化简得：x2﹣59x+850=0， 解得 x1=25；x2=34。

此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；

1②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣2x2+35.5x﹣547.5，

1令W=67.5，则﹣2x2+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x2﹣71x+1230=0，

解得x1=30；x2=41。

此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，

综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤35。 【考点】一、二次函数的应用。 【分析】（1）因为25≤28≤30，所以把28代入y=40－x即可求出该产品的年销售量为多少万件。 （2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入－生产成本－投资成本，得到w和x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。 （3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=67.5，求出对应x的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。

29. （2012四川乐山10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1?x2﹣x12﹣x22的最大值． 【答案】解：（1）由（x﹣m）2+6x=4m﹣3，得x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3=0， ∴△=b2﹣4ac=（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）=﹣8m+24。 ∵方程有实数根，∴﹣8m+24≥0，解得 m≤3。 ∴m的取值范围是m≤3。 （2）∵方程的两实根分别为x1与x2，由根与系数的关系，得

∴x1+x2=2m﹣6，x1·x2= m2﹣4 m＋3。 ∴x1?x2﹣x12﹣x22=3 x1?x2﹣（x1+x2）2=3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2=﹣m2+12m﹣27 =﹣（m﹣6）2+9。 ∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6）2+9的值随m的增大而增大， ∴当m=3时，x1?x2﹣x12﹣x22的值最大，最大值为﹣（3﹣6）2+9=0。 ∴x1?x2﹣x12﹣x22的最大值是0。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质。 【分析】（1）将原方程转化为关于x的一元二次方程，由于方程有实数根，故根的判别式大于0，据此列不等式解答即可；

（2）将x1?x2﹣x12﹣x22化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入，利用二次函数的最值求解即可。

30. （2012四川内江9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： （1）符合题意的搭配方案有几种？

（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？

造型花卉 A B 甲 80 50 乙 40 70 【答案】解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60－x）个，

??80x?50?60?x??4200 ??40x?70?60?x??3090则有?，解得37≤x≤40，

∵x为正整数，∴x=37或38或39或40。 ∴符合题意的搭配方案有4种：

第一方案：A种造型37个，B种造型23个； 第二种方案：A种造型38个，B种造型22个；

第三种方案：A种造型39个，B种造型21个． 第四种方案：A种造型40个，B种造型20个。 （2）设A、B两种园艺造型分别为x，（50－x）个时的成本为z元， 则：

z?1000x?1500?50?x?=?500x?75000。

∵－500＜0，∴成本z随着x的增大而减小。 ∴当x=40时，成本最低。最低成本为70000。

答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元。 【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60－x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可。

（2）列出成本z关于A种造型个数x的函数关系式，根据一次函数的增减性求出答案。 31. （2012四川广元8分）某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃 圾运走。

（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？

（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多

少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？

【答案】解：（1）∵1200m3的生活垃圾，每天运量xm3，

1200y?1200x ∴共需时间x天运走，即y与x之间的函数关系式为。

（2）5辆拖拉机每天能运5×12m3=60 m3，则y=1200÷60=20，即需要20天运完。 （3）假设需要增加n辆，根据题意：8×60+6×12（n+5）≥1200，解得n≥5。

答：至少需要增加5辆。

【考点】反比例函数和一元一次不等式的的应用。 【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式。 （2）把x=12×5=60代入，即可求得天数。

（3）算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解。

32. （2012四川德阳11分） 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务.

⑴如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，请问：应分

别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？

⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：

板房 甲型 A种板材（m2） 108 B种板材（m2） 61 51 安置人数 12 10 乙型 156 问这400间板房最多能安置多少灾民？

【答案】解：（1）设x人生产A种板材，根据题意得；

4800024000=60x4?02?10?x

解得，x=120。

经检验x=120是分式方程的解。 210﹣120=90。

∴安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务。 （2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数z人。 ∴根据题意，安置人数z=12y+10（400﹣y）=2y+4000。

??108y+156?400?y??4800??61y+51?400?y??2400解得：300≤y≤600。 又由?∵2＞0，∴z=2y+4000随y增加而增加。 ∴当y=360时安置的人数最多。最多人数为

z最多?360?2?4000?4720。

∴最多能安置4720人。

【考点】分式方程、一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设x人生产A种板材，根据题意得列出方程，再解方程即可。 （2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，则安置人数为12y+10（400﹣y）=2y+4000，然后列出不等式组，最后根据一次函数的性质，即可求出答案。

33. （2012四川凉山9分）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售。相关信息如下表：

冰箱 彩电 进价（元/台） a a?400 售价（元/台） 2500 2000 （1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值。 （2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数

5量不少于彩电数量的6。 ①该商场有哪几种进货方式？

②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值。

80000 ?64000a?400，解得a=2000。

【答案】解：（1）根据题意得 经检验a=2000是原方程的根。

a∴a=2000。

（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50－x）台。

5? x ?50?x?6??a?50??x???a?①根据题意得

4?00?x9000025?x?30011 ，解得：。

∴有三种进货方式：

1）购买彩电25台，则购进冰箱25台； 2）购买彩电26台，则购进冰箱24台；

3）购买彩电27台，则购进冰箱23台。

②一个冰箱的利润为：500元，一个彩电的利润为400元， ∴w=400x＋500（50－x）=－100x+25000， ∴w为关于x的一次函数，且为减函数。

25?x?30011 ∵ ，x取整数，

∴当x=25时，获得的利润最大，最大为22500元。

【考点】一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解。 （2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50－x）台。 ①根据题意列不等式组求解。

②用含x的代数式表示利润w，根据x的取值范围和一次函数的性质求解。

34. （2012四川泸州6分）某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙

商品每件进价35元，售价45元。

(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少

于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？(利润=售价-进价) 【答案】解：（1）设购进甲种商品x件，购进乙商品y件，根据题意得：

?x?y?100?15x?35?y ??x?40?2700y?60，解得，?。

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件。

（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据题意得，

??3?51?00??a?15a??0??a?5a?1?010 ?3100890，解得，20≤a≤22。

总利润W=5a＋10（100－a）=－5a＋1000，

∵W是关于x的一次函数，且W随x的增大而减小，

∴当x=20时，W有最大值，此时W=900，且100－20=80。

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元。 【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）设购进甲、乙两种商品分别为x件与y件，根据甲种商品件数+乙种商品件数=100，甲商品的总进价+乙种商品的总进价=2700，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值，得到购进甲、乙两种商品的件数。

（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据甲商品的总进价+乙种商品的总进价小于等于3100，甲商品的总利润+乙商品的总利润大于等于890列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，得到a的取值范围，根据a为正整数得出a的值，再表示总利润W，发现W与a成一次函数关系式，且为减函数，故a取最小值时，W最大，即可求出所求的进货方案与最大利润。 35. （2012四川成都8分） “城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米／时)是车流密度x (单位：辆／千米)的函数，且当

0< x≤28时，V=80；当28< x≤188时，V是x的一次函数. 函数关系如图所示. （1）求当28< x≤188时，V关于x的函数表达式；

（2）若车流速度V不低于50千米／时，求当车流密度x为多少时，车流量P(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．

(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度)

【答案】解：（1）设当28< x≤188时，函数解析式为V=kx+b，

?28k+b=80?188k+b=0则?，解得：

1??k=?2??b=94?。

?1∴当28< x≤188时，V关于x的函数表达式为：V=2x+94。

?12x+94≥50，解得：x≤88。

11（2）由题意得，V=

?1又P=Vx=（2x+94）x=2x2+94x=2（x－94）2+4418。

?1?? ∵2＜0，∴当0＜x≤88时，P随x的增大而增大，即当x=88时，P取得最大。

?1∴Pmax=2×882+94×88=4400。

答：当车流密度达到88辆/千米时，车流量P达到最大，最大值为4400辆/时。 【考点】一、二次函数的应用，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）设函数解析式为y=kx+b，将点（28，80），（188，0）代入即可得出答案。 （2）先有车流速度V不低于50千米/时得出x的范围，然后求出P的表达式，继而根据二次函数的最值求解方法可得出答案。

36. （2012四川攀枝花8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t?km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：

厂别 运费（元/t?km） 路程（km） 需求量（t） A B 0.45 200 a（a为常数） 150 不超过600 不超过800 （1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取

值范围；

（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示） 【答案】解：（1）总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a，

其中200≤x≤600。

（2）当0＜a＜0.6时，90﹣150a＞0，一次函数单调递增。 ∴当x=200时，y最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000。 此时，1000﹣x=1000﹣200=800。

当a=0.6时，y=90000，此时，不论如何，总运费是一样的。 当a＞0.6时，90﹣150a＜0，一次函数单调递减。 又∵运往A厂总吨数不超过600吨，

∴当x=600时，y最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000。

此时，1000﹣x=1000﹣600=400。 答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费120000a+18000元；当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用．经化简后可得出y与x的函数关系式，根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围： 若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000﹣x）吨。

依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x）=90x﹣150ax+150000a，=（90﹣150a）x+150000a。

?x?600?1000?x?800依题意得：?，解得：200≤x≤600。

∴函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a（200≤x≤600）。。

（2）分0＜a＜0.6 ，a=0.6，a＞0.6三种情况，根据函数的性质来求出所求的方案。 37. （2012四川达州6分）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元

的小家电.通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）

与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示.

（1）求y与x的函数关系式.

（2）设王强每月获得的利润为p（元）,求p与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的

利润，那么销售单价应定为多少元？

【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为 ：y?kx?b(k?0)由题意得

?50k?b?160?k??4??65k?b?100?，解得?b?360。

（40?x?90）∴y与x的函数关系式为y??4x?360。

 （2）由题意得，p与x的函数关系式为： 

p?(x?40)(?4x?360)=?4x?520x?144002。

2 当P=2400时，?4x?520x?14400?2400解得x1?60，x2?70。

∴销售单价应定为60元或70元。

【考点】一次函数和二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用图象上的点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。 （2）根据由题意得，p与x的函数关系式为：p=（x－40）（－4x+360），再由p=2400，求出x的值即可。

38. （2012辽宁鞍山12分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．

（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；

（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案． 【答案】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，

?3a+b=220?a=50??2a+3b=310b=70?根据题意得：，解得?。

答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元。

（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，

则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；

??50x+70?98?x??6000??2x+3?98?x??248根据题意得：?，解得43≤x≤46。

∵x为整数，∴x=43，44，45，46。

∴所有购买方案为：购买两人桌43张，购买三人桌58张； 购买两人桌44张，购买三人桌54张； 购买两人桌45张，购买三人桌53张； 购买两人桌46张，购买三人桌52张。

【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用 【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可。

（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求

出即可。

39. （2012辽宁本溪12分）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费13000元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。现已知甲型车每辆进价200元，乙型车每辆进价400元，设商店购进乙型车x辆。 （1）商店有哪几种购车方案？

（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70元，销售乙型车每辆获得利润50元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润y（元）与购进乙型车的辆数x（辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？

13000?400x【答案】解：（1）设商店购进乙型车x辆．则甲型是：

?13000?400x?2x??200?65?13000?400x?3x200?根据题意得：?，解得13≤x≤4。

200辆。

13000?400x∵x是正整数，

200是正整数，∴x=13或14或15或16。

∴有4种方案：方案一：乙13辆，甲39辆；

方案二：乙14辆，甲37辆； 方案三：乙15辆，甲35辆； 方案四：乙16辆，甲33辆。

13000?400x（2）y=70×

200+50x，即y=－90x＋4550。

∵－90＜0，则y随x的增大而减小，

∴当x=13时，y最大。

答：当乙型车购进13辆时所获得的利润最大。 【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。

13000?400x【分析】（1）设商店购进乙型车x辆．则甲型是：

200 辆。根据所购进甲型车的数

量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍，即可得到关于x的不等式组，从而求得x的范围，然后根据甲、乙的辆数都是正整数，即可确定x的值，从而确定方案。 （2）根据总获利=甲型的获利+乙型的获利，即可得到函数解析式，然后利用函数的性质即可确定商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大。

40. （2012辽宁丹东10分）甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队

所修水渠长度y(米)与修筑时间x(时)的函数图像的一部分．请根据图中信息，解答下列问题： （1）①直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ； ②直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ； （2）求开修几小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队？

（3）如果甲队施工速度不变，乙队在修筑5小时后，施工速度因故减少到5米/时，结果两队同时完成任

务，求乙队从开修到完工所修水渠的长度为多少米？

【答案】解：（1）①y=10x。②y=20x－30。

（2）根据题意得：20x－30＞10x，解得：x＞3。 ∴开修3小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队。 （3）由图象得，甲队的速度是50÷5=10（米/时）。 设：乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米，

m?50=m?705根据题意得：

10，解得：m=90。

答：乙队从开修到完工所修水渠的长度为90米。

【考点】一次函数、一元一次不等式和一元一次方程的应用。

【分析】（1）甲的图象是过原点的直线，过（5，10），乙队在2≤x≤5的时间段内是一次函数，可以利用待定系数法求得函数的解析式。

设甲的函数的解析式是y=kx，根据题意得：5k=50，解得：k=10。 则甲的函数解析式是：y=10x。

?2m?b?10?m?20??5m?b?70b??30?设函数的解析式是：y=mx+b，根据题意得：，解得：?。

则函数解析式是：y=20x－30。

（2）乙队修筑的水渠长度开始超过甲队，则20x－30＞10x，据此即可求得x的范围。 （3）乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米，乙队在修筑5小时后，甲剩余m－50米，乙剩余m－70米，根据两队同时完成任务，即时间相等，即可列方程求解。

41. （2012辽宁营口12分）如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的

四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底

面是正方形的长方体包装盒．

(1) 若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm，求长方体包装盒的高； (2) 设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为函数关系

式，并求x为何值时，S的值最大．

x(cm)2，长方体的侧面积为S

(cm)2，求S与x的

【答案】解：（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，

(60?22x?2)?12502由题意得：。

解得，x1?52，x2?552（不符合题意舍去）。 答：长方体包装盒的高为52 cm。

S?4?2?60?22x?x??4x?1202x2（2）由题意得，

x??12022??4?。

?152 ∵a=﹣4<0，∴当

时，S有最大值。

【考点】一元二次方程和二次函数的应用（几何问题）。

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出NP的长度，再利用正方形性质表示出底面正方形面积从而 得出答案即可。

另法：由已知得底面正方形的边长为1250=252，

22 ∴AN=252×2=25。∴PN=60﹣25×2=10。∴PQ=10×2=52 (cm)。 答：长方体包装盒的高为52cm。

（2）表示出长方体的侧面积从而利用二次函数的最值求法得出答案。

42. （2012辽宁本溪12分）某工厂生产某品牌的护眼灯，并将护眼灯按质量分成15个等级（等级越高，灯的质量越好。如：二级产品好于一级产品）。若出售这批护眼灯，一级产品每台可获利润21元，每提高一个等级每台可多获利润1元，工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯，每个等级每天生产的台数如下表所示：

等级（x级） 一级 二级 三级 … 生产量（y台/天） 78 76 74 … （1）已知护眼灯每天的生产量y（台）是等级x（级）的一次函数，请直接写出y与x之间的函数关系式：_______；

（2）若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产哪一等级的护眼灯，才能获得最大

利润？最大利润是多少？

43. （2012辽宁朝阳12分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现。销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示 销售单价x（元/ kg） …… 70 销售量w（kg） 75 80 85 90 …… …… 100 90 80 70 60 …… 设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。

（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？

（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？ 【答案】解：（1）w=－2x＋240。 （2）y与x的关系式为：∵

2y?（x?50）?w?（x?50）（??2x?240）??2x?340x?1200022

y??2x?340x?12000??2（x?85）?2450，

∴当x=85时，y的值最大为2450元。

（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元， ∴第1个月还有3000－2450=550元的投资成本没有收回。

则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，

可得方程?2（x?85）?2450?2250，解得x1=75，x2=95。

根据题意，x2=95不合题意应舍去。

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第 二个月的利润达到1700元。

【考点】一、二次函数和一元二次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用表格中数据，设出解析式，用待定系数法求出一次函数关系式： 设w=kx+b，将（70，100），（75，90）代入上式得，

?70k?b?100?k??2??75k?b?90b?240?，解得，?。∴w=－2x＋240。

2经验证，（80，80），（85，70），（90，60）满足w=－2x＋240。 ∴w与x之间的函数关系式为w=－2x＋240。

（2）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，利用配方法可求最值。 （3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程即可。 44. （2012辽宁阜新10分）某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A、B两种共50辆货车运往外地．已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元．

（1）设A种货车为x辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式； （2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来；

（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】解：（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50＋x）辆。

根据题意，得 y?0.5x?0.8(50?x)，即 y??0.3x?40。

?9x?6(50?x)?360?3x?8(50?x)?290 （2）根据题意，得 ?，解这个不等式组，得20?x?22。

∵x是整数，∴x可取20、21、22，即共有三种方案：

A(辆） 一 二 三 20 21 22 B(辆) 30 29 28 （3）由（1）可知，总运费y??0.3x?40，

∵k=－0.3＜0，∴一次函数y??0.3x?40的函数值随x的增大而减小。

∴x?22时，y有最小值，为y??0.3?22?40?33.4（万元）。

∴选择方案三：A种货车为22辆，B种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50－x）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。

（2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x的不等式组，再根据x是整数，即可求得x的值，从而确定运输方案。

（3）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解。

45. （2012贵州六盘水10分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：

月份 用水量（吨） 水费（元） 4 22 51 45 5 20 （1）求该市每吨水的基本价和市场价． （2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式． （3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？

【答案】解：（1）根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费， ∵4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元， ∴市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨）。 设基本价收费为x元/吨，

根据题意得出：15x+（22﹣15）×3=51，解得：x=2。

∴该市每吨水的基本价和市场价分别为：3元/吨，2元/吨。 （2）当n≤15时，m=2n，当n＞15时，m=15×2+（n﹣15）×3=3n－15。

??2n?0?n?15?m????3n?15?n>15?。- ∴m与n之间的函数关系式为

（3）∵小兰家6月份的用水量为26吨，

∴她家要缴水费3×26－15=63元。

【考点】一元一次方程和一次函数的应用。

【分析】（1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本价。 （2）利用（1）中所求不同水价，再利用当n≤15时，m=2n，当n＞15时，分别求出即可。 （3）根据（2）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费。

46. （2012贵州黔西南14分）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

成本（万元/件） 利润（万元/件） A种产品 2 1 B种产品 5 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润。

【答案】解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品10－x件，根据题意，得 x+3（10－x）=14，解得，x=8。

则10－x=10-8=2。 ∴应生产A种产品8件，B种产品2件。

（2）设应生产A种产品x件，则生产B种产品有10－x件，根据题意，得

??2x?5?10?x??44??? x?3?10?x?>14，解得：2≤x＜8。

∴可以采用的方案有6种方案：生产A产品2件，B产品8件； A产品3件， B产

品7件；A产品4件， B产品6件；A产品5件，B产品5件；A产品6件，B产品4件；A产品7件，B产品3件。

（3）设生产A种产品x件时，利润为z万元，根据题意，得 z=x·1＋（10－x）·3=－2x＋30， ∵－2＜0，∴随着x的增大，z减小。 ∴当x=2时，z最大，最大利润z=－2×2＋30=26。

所以当生产A产品2件、B产品8件时 ，可获得最大利润16万元。 【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有10-x件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解。

（2）根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数。 （3）由已知列出函数关系式，由一次函数的性质即可求解。

47. （2012山东莱芜10分）为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔

作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元． (1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？

(2)时逢“五一”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：文具盒九折，钢笔10支以上超出部分八折．设

买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于x的函数关系式； (3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请分析买哪种奖品省钱． 【答案】解：（1）设每个文具盒x元、每支钢笔y元，根据题意，得

?5x+2y=10?x=14??4x+7y=161y=15? ，解得?。

答：每个文具盒14元、每支钢笔15元。

（2）由题意知，y1关于x的函数关系式为y1=14·90%x，即y1=12.6 x。 由题意知，买钢笔10支以下（含10支）没有优惠， 故此时y2关于x的函数关系式为y2=15x。

当买10支以上时，超出部分有优惠，八折， 故此时y2关于x的函数关系式为y2=15·10＋15·80%（x－10），即y2=12x＋30。 （3）当y1＜y2，即12.6 x＜12x＋30时，解得x＜50； 当y1=y2，即12.6 x=12x＋30时，解得x=50； 当y1＞y2，即12.6 x＞12x＋30时，解得x＞50。

综上所述，当购买奖品超过10件小于50件时，买文具盒省钱；当购买奖品50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱。

【考点】二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）根据5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元列方程组求解。

（2）根据题意可直接得到y1关于x的函数关系式；y2关于x的函数关系式分买钢笔10支以下（含10支）和买10支以上两种情况讨论即可。 （3）分y1＜y2，y1=y2，y1＞y2讨论即可。

48. （2012山东德州10分）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

A 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） x B （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】解：（1）完成填表：

A B 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） x 15﹣x 14﹣x x﹣1 （2）W=50x＋30（14－x）＋60（15－x）＋45（x－1）， 整理得，W=5x＋1275。 （3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，

?x?0??14?x?0??15?x?0?x?1?0?∴，解不等式组，得：1≤x≤14。

在W=5x+1275中，W随x增大而增大， ∴当x最小为1时，W有最小值 1280元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。

（2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案。

（3）求出x的取值范围，利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可。

49. （2012山东菏泽10分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 100 … （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

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