五年高考真题分类汇编 空间几何体及其表面积和体积（2019高考复习资料）

第八章立体几何

第一节空间几何体及其表面积和体积

题型88 简单凸多面体的表面积与体积

2013年

1.（2013江苏8）如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA 1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1:V2?.

2.（2013广东文18）如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A?BCF，其中BC?2． 2(1) 证明：DE∥平面BCF； (2) 证明：CF?平面ABF；

2(3) 当AD?时，求三棱锥F?DEG的体积．

3AAGEDGEDFCBF图 4CB图 53.(2013安徽文18）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?.已知PB?PD?2，PA?（1）证明：PC?BD；

（2）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积.

EDC

6. PAE4.（2013湖北文20）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为1处发现矿藏，

A1A2?d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2?d2，C1C2?d3，且d1?d2?d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体

A1BC11?A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．

（1）证明：中截面DEFG是梯形；

（2）在△ABC中，记BC?a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1BC时，可用近似公式V估11?A2B2C2的体积V）来估算．已知V?证明．

第20题图

?S中?h1(d1?d2?d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以3AB∥DC，5．(2013福建文18）如图，在四棱柱P?ABCD中，PD?平面ABCD，AB?AD,BC?5,DC?3,AD?4,?PAD?60?.

????（1）当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P?ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）； （2）若M为PA的中点，求证：DM//平面PBC; （3）求三棱锥D?PBC的体积.

DCBP

2014年

A1.（2014新课标Ⅱ文7）正三棱柱ABC?A1BC侧棱长为11的底面边长为2，中点，则三棱锥A?B1DC1的体积为（） A.3 B.

3，D为BC33 C.1 D. 222.（2014山东文13）一个六棱锥的体积为2等，则该六棱锥的侧面积为 .

3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相

3.（2014陕西文17）（本小题满分12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，

BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

（1）求四面体ABCD的体积； （2）求证：四边形EFGH是矩形.

AHEFB2俯视图DGC12主视图左视图

4.（2014福建文19）如图所示，三棱锥A?BCD中，AB?平面BCD，CD?BD. （1）求证：CD（2）若AB?平面ABD；

?BD?CD?1，M为AD中点，求三棱锥A?MBC的体积.

A M

B C

D

5.（2014江西文19）如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1（1）求证：A； 1C?CC1（2）若AB?2，AC?大，并求此最大值.

?BC，AB1?BB1.

3，BC?7，问AA1为何值时，三棱柱ABC?A1B1C1体积最

A A1

C

C1

B1

B

2015年

1.（2015新课标2文19）如图所示，长方体ABCD中，AB?16，BC?10， ﹣A1B1C1D1，点AA1?8E，F分别在

A1B1，D1C1上，

D1FA1AEDB1BC1C

AE1?D1F?4.过点E，F的平面?与此长

方体的面相交，交线围成一个正方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （2）求平面?把该长方体分成的两部分体积的比值.

1.解析（1）交线围成的正方形EHGF如图所示. （2）作EM?AB，垂足为M，

则AM?A1E?4，EB1?12，EM?AA1?8. 因为EHGF为正方形，所以EH?EF?BC?10. 于是MHD1FA1AEDHGBB1C1C?EH?EM22?6，AH?10，HB?6.

因为长方体被平面?分成两个高为10的直棱柱，

1?4?10??8?10792所以其体积的比值为?或. 1?6?12??8?10972评注 文科对立体几何的考查主要是线面关系的推理证明，画图及简单推理，重点考查多边形，多面体的体积计算，注意在计算中能从不同角度看图的能力.

2016年

1.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AD//BC，AB?AD?AC?3，PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的中点. （1）证明MN//平面PAB； （2）求四面体N?BCM的体积.

1.解析 （1）取PB中点Q，连接AQ、NQ，因为N是PC中点，NQ//BC，且NQ?BCPNAMD12231BC，AM?AD??BC?BC，且AM//BC，又所以QN//AM，23342且QN?AM.所以四边形AQNM是平行四边形.所以MN//AQ.又MN?平面PAB，

AQ?平面PAB，所以MN//平面PAB.

(2)由(1)QN//平面ABCD.所以VN?BCM?VQ?BCM11?VP?BCM?VP?BCA. 22QPNA BCMD

11145V??PA?S??4?25?所以N?BCM. △ABC2363

2.（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P?A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. （1）若AB?6m，PO1?2m，则仓库的容积是多少；

（2）正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ 2.解析（1）PO1?2m，则OO1?8m，

AA1PD1O1B1C1DOBC11VP?A1B1C1D1?SABCD?PO1??62?2?24m3，

33VABCD?A1B1C1D1?SABCD?OO1?62?8?288m3，

V=VP?A1B1C1D1?VABCD?A1B1C1D1?312m3，故仓库的容积为312m3.

（2）设PO1?xm，仓库的容积为V?x?， 则OO1?4xm，AO11?36?x2m，A1B1?2?36?x2m，

V?x??VP?A1B1C1D1?VABCD?A1B1C1D1?SABCD?PO1?SABCD?OO1?1313x?2?36?x2?3?0?x?6?，

V'?x???26?x2?12??0?x?6?，

?当x??2当x?0,23时，V'?x??0，V?x?单调递增；

?3,6?时，V'?x??0，V?x?单调递减.

故当x?23时，V?x?取到最大值，即PO1?23m时，仓库的容积最大. 3.（2016全国乙文18）如图所示，已知正三棱锥P?ABC的侧面是直角三角形，

PPA?6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为

点E.联结PE并延长交AB于点G. （1）求证：G是AB的中点；

（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.

3. 解析（1）由题意可得△ABC为正三角形，故PA?PB?PC?6. 因为P在平面ABC内的正投影为点D，故PD?平面ABC. 又AB?平面ABC，所以AB?PD.

因为D在平面PAB内的正投影为点E，故DE?平面PAB. 又AB?平面PAB，所以AB?DE.

AGEDBC

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