容器设计问题的数学模型

容器设计问题的数学模型

【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。一个容器的设计也是一门学问。对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。关键在于：怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件matlab7.0进行处理求解。

1、问题重述

（1） 要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r

求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R、h/R的精确值（用整数的有限四则及根式运算的最简形式表示）及他们精确到20位有效数字的近似值。

（2） 要设计一个上无盖的容器，由一个半径为R高为H的圆柱放在一个圆锥台上组成

的。圆锥台的上半径为R，下半径为r

（3） 要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为R

放在高为h，上半径为R，下半径为r

2、基本假设：

（1）容器设计不考虑美观等诸多因素，即只从省原料的角度进行设计。 （2）容器没有厚度。

（3）只考虑简单的立体图形及其拼接组合容器的情况。

3、符号说明：

R-第一第二问中圆台的上半径，第三问中下面圆台的上半径、第三问中上面圆台的下半径

r-第一第二问中圆台的下半径、第三问中下面圆台的下半径 h-第一第二问中圆台的高度、第三问中下面圆台的高度 H-第二问中圆柱的高度、第三问中上面圆台的高度 L-第三问中上面圆台的上半径 v-容器体积 s-容器表面积 y-所构造函数

k-所构造函数中的常系数 pi-圆周率 d-求偏导数 ^-次方 sqrt-根号

4.模型建立及求解与检验

建立：可以转化为在有约束条件下求解目标函数极值的问题。

（1） 在第一小题中，由几何知识容易得出： 容器的表面积,即目标函数为：

s?pi*r?(R?r)*?2(R?r)?h22?

容器的容积：

1

v?(pi*r?pi*R?pi*r*R)/3*h

22由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：

y?pi*(r2?(R?r)(R?r)2?h2)?k*((pi*r2?pi*R2?pi*r*R)/3*h?v)

（2）同理，第二、三小题也可通过构造拉格朗日函数求的目标函数的极值。

第二题的表面积，即目标函数为： s?pi*r2?(R?r)*(R?r)2?h2?2pi*R*H

约束条件（容器容积）:

v= (pi*r2?pi*R2?pi*r*R)/3*h?pi*R2*H 由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：

y?pi*(r?(R?r)*(R?r)?h)?2*pi*R*H?k*((pi*r?pi*R?pi*r*R)/3*h?pi*R*H?v)222222??

第三题的表面积，即目标函数为：

s?pi*(r?(R?r)*2(R?r)?h)?pi*(L?R)*22(L?R)?H)

22约束条件（容器容积）：

v?(pi*r?pi*R?pi*r*R)/3*h?(pi*L?pi*R?pi*L*R)/3*H2222

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数

（3）y就是第一、二、三小题的数学模型。

求解与检验：约束条件与偏微分方程联立求解

（1）在第一小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

y?pi*(R?(R?r)*2(R?r)?h)?k*((pi*r?pi*R?pi*r*R)/3*h?v)2222

y分别对R, r, h, 求偏导数dR dr dh,

令dR=0, dr=0, dh=0，得出三条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求 R= -2/7*7^(3/4)/k r=-2/k

2

h=-1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k

解得：

r/R=1.6265765616977858609 h/R=1.8228756555322953580

（2）同理，在第二小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

y?pi*(r?(R?r)*(R?r)?h)?2*pi*R*H?k*((pi*r?pi*R?pi*r*R)/3*h?pi*R*H?v)222222

y分别对R, r, h, H求偏导数dR dr dh dH,

令dR=0, dr=0, dh=0,dH=0，得出四条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h、H）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求

R=-2*(-7/3+1/3*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+4/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/k r= -2/k

h=4*(-5/3+1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/k

H=2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)/k

解得

r/R=2.7423135117210448719 h/R=1.7423135117210448719 H/R=1.2767422798442720210

（3）同理，在第三小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

y?pi*(r?(R?r)*(R?r)?h)?pi*(L?R)*(L?R)?H?k*(1/3*(pi*r?pi*R?pi*r*R)*h?1/3*(pi*R?pi*L?pi*R*L)*H?v)222222222

用y分别对R, r, h, H，L求偏导数dR dr dh dH dL,

令dR=0, dr=0, dh=0, dH=0, dL=0, 得出五条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程，未能利用matlab得出答案。（见附录）

5、模型应用

从对本题三小问的建模过程可知，当一个容器的外观和容积确定以后，其表面积（无盖）存在最小值。正如上文所推到和验证的，我们可以通过构造拉格朗日函数求出其表面积（无盖）取最小值时，容器的上底半径，下底半径，高等长度要素应满足的比例关系。进而确定容器的精确形状。

正如本文摘要所叙述的，该模型可作为饮料厂商对其饮料瓶设计的参考。从而使在饮料瓶容积一定时其表面积尽可能小（我们知道，饮料特别是碳酸饮料，其容器的成本在总成本在占有很大的比重。因此厂商可以参考本文所建立的数学模型设计容器，从而

3

减低生产的总成本，实现利益最大化。

6、模型评价 优点：

(1)用统一的方法解答各个小问。

(2)总体思路简单明了，所涉及知识较少，可阅读性较强 缺点：

(1)未能求解出第三问的具体答案。

(2)模型中只考虑节省原料而设计容器，忽略了其它因素。

7、附录

Matlab源代码 （1） 第一问

>> syms R r h k v >>

y1=pi*(R^2+(R+r)*sqrt((R-r)^2+h^2))+k*((pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R)/3*h-v); >> dr=diff(y1,r) dr =

pi*((R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*(-2*R+2*r))+k*(2/3*pi*r+1/3*pi*R)*h

>> dy2=diff(y1,R) dR =

pi*(2*R+(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*(2*R-2*r))+k*(2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h

>> dy3=diff(y1,h) dh =

pi*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*h+k*(1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R)

>> [R,r,h]=solve(dr,dR,dh,'R','r','h') R =

0

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xoif.html