KS5U首发福建省四地六校2012届高三期中联考试题数学理

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“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考

2011--2012学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试题

（考试时间：120分钟总分：150分）

一、选择题 (本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)

1．sin125??( ) 6113A、 B、? C、 D、?3

22222．曲线f(x)=x3+x－2在P0点处的切线平行于直线y=4x－1,则P0点的坐标为 ( ) A.(1,0)或(－1,-4) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,-4)

3．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于 ( )

33333

B. C.或3 D.或 24224

4．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|?1，则a与b夹角为（） A．

2?3??? B． C． D．

343225．如图所示，函数y??x?2x?1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）

4A. 1 B. C. 33D.2 （第5题图）

6 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）

252 A．502m B．503m C．252m D．m 2

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（第6题图）（第7题图）

kx＋1，－2≤x<0，??

7．函数y＝?8π的图象如上图，则 ( )

??2sin?ωx＋φ?，0≤x≤3

11π

A．k＝，ω＝，φ＝ 2261π

C．k＝－，ω＝2，φ＝ 26

11π

B．k＝，ω＝，φ＝

223π

D．k＝－2，ω＝2，φ＝ 3

8．下列结论错误的是 ( ) A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题 B．命题q：?x∈R，sinx－cosx＝2。则?q是假命题

πππ

C．为得到函数y＝sin(2x－)图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个长度单位364

kD．若函数f(x)的导数为f'(x)，f(x0)为f(x)的极值的充要条件是f?(x0)?0

9 .已知i和j为互相垂直的单位向量，a?i?2j,b?i??j，a与b的夹角为锐角，则实数?的取值范围是（）

11221(??,?2)?(?2,)(,??)(?2,)?(,??)(??,)2 B. 2332 A. C. D.

10 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3??A1A2 (λ∈R)，AA??A1A2(μ∈R)，且??2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,

14??

已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，

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则下面说法正确的是（）

（A）C可能是线段AB的中点（B）D可能是线段AB的中点

（C）C，D可能同时在线段AB上（D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11．若命题p：?x∈R，x2－1>0，则命题p的否定是________．

?3x(x?0)112．已知函数f(x)??,则f[f()]?

2?log2x(x?0)1???1,?2??， 13.函数y?sinx的定义域为?a,b?，值域为?则b?a的最大值与最小值之和等于

14.已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：

函数y＝(2a2－a)x为增函数，若函数“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是_____． 15．某学生对函数 f(x)＝2x·cosx的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数 f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减； π

②点(，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；

2③函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称；

④存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立．

其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)

三解答题(本大题共6小题，满分80分。解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)

16．（本题满分13分）已知函数f(x)?31sin?x?cos?x, x?R． 22（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小值；

（Ⅱ）设函数f(x)在[?1,1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高

?????????点为P,求PM与PN的夹角的余弦．

17.（本题满分13分）已知向量a?(sinx,1)，b?(cosx,?)

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（1）当a?b时，求x的取值集合；（2）求函数f(x)?a?(b?a)的单调递增区间 . 18.（本小题满分13分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，?AOP? (1)若Q(,)，求cos(???6，?AOQ??,??[0,?)． YQPXOA3455?6)的值；

????????(2)设函数f(?)?OP?OQ，求f(?)的值域．

19．（本题满分13分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设 f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2.

(1)若 f(1)＝0，且B－C＝，求角C；（第18题图）

3(2)若 f(2)＝0，求角C的取值范围．

20.（本题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式

a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（I）求a的值；（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获

得的利润最大。

y?a?10(x?6)2x?3，其中3

21 （本题满分14分）已知函数f(x)?axlnx图像上点(e,f(e))处的切线与直线y?2x

平行（其中e?2.71828?），g(x)?x?tx?2. （I）求函数f(x)的解析式；

（II）求函数f(x)在[n,n?2](n?0)上的最小值；

（III）对一切x??0,e?,??3f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

2“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”

六校联考

2011--2012学年上学期第二次月考高三数学（理科）试题

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参考答案

一选择题题号选项 1 A 2 A 3 D 4 C 5 B 6 A 7 A 8 D 9 A 10 D

二填空题

11. ?x∈R，x2－1≤0 12. 11

14. a>或a<－ 15. ④

32三解答题

16 解：（Ⅰ）∵f(x)?

1 13. 2? 331sin?x?cos?x 22

=sin(?x??6)． -------------2分

∵x?R ∴?1?sin(?x??6)?1，

∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，—1． -------------4分

（Ⅱ）解法1：令f(x)?sin(?x? ∵x?[?1,1] ∴x???6)?0得?x??6?k?,k?Z,

15或x? 66∴M(?,0),N(,0), --------------------6分由sin(?x?1656?6)?1，

11∴ P(,1), -----------------8分 33?????????11 PM?(?,?1),PN?(,?1), ----------------------10分

22??????????????????3PM?PN?????? ---------------13分 ∴cos?PM,PN??????|PM|?|PN|5且x?[?1,1]得x?解法2：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?1,

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由三角函数的性质知|MN|?1T?1, ---------------6分 215 -------------------------8分 |PM|?|PN|?12?()2?22?????????|PM|2?|PN|2?|MN|2由余弦定理得cos?PM,PN?? ---10分

2|PM|?|PN|5?2?13=4?．---13分

552?4解法3：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?1,

由三角函数的性质知|MN|?1T?1, --------------------6分

215 ----------------------8分 |PM|?|PN|?12?()2?22在Rt?PAM中，cos?MPA?|PA|?|PM|125 ---------10分∵PA平分?552?MPN ∴cos?MPN?cos2?MPA?2cos2?MPA?1

?2?( 17

2523)?1?．------------13分 55欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com

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??13分

18解：(1)由已知可得cos??35,sin??45 ??2分

?cos???????6???cos?cos?6?sin?sin?6 ??4分

?3345?2??1?33?4 ??6分

(2) f???????5OP?????2OQ?10 ???????cos6,sin6????cos?,sin?? ???8分

?32cos??12sin? ?sin???????3? ??????????10分 ????[0,?) ?????4?3?[3,3) ??????????11分

?32?sin???????3???1 ??????????13分

19解：(1)由 f(1)＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0，∴b＝2c -----------2分

又由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，

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将其代入上式，得sinB＝2sinC --------------------------4分 πππ

∵B－C＝ ∴B＝＋C，将其代入上式，得sin(＋C)＝2sinC

333

ππ

∴sincosC＋cossinC＝2sinC， -----------------------------5分

33整理得，3sinC＝cosC ------------------------- --------6分 ∴tanC＝

∵角C是三角形的内角，∴C＝ ---------------8分

6(2)∵ f(2)＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2＝0，即a2＋b2－2c2＝0 ------9分 a2＋b2

a＋b－2a2＋b2－c2

由余弦定理，得cosC＝＝ ------------10分

2ab2ab

a2＋b22ab1

∴cosC＝≥＝(当且仅当a＝b时取等号) ---------------------11分

4ab4ab2

1∴cosC≥，

ππ

∠C是锐角，又∵余弦函数在(0，)上递减，∴0

a?10?11,a?2.220解：（I）因为x=5时，y=11，所以 -------------------2分（II）由（I）

可知，该商品每日的销售量

所以商场每日销售该商品所获得的利润

y?2?10(x?6)2,x?3

f(x)?(x?3)[2?10(x?6)2]?2?10(x?3)(x?6)2,3?x?6x?3--------8分

2从而，f'(x)?10[(x?6)?2(x?3)(x?6)]?30(x?4)(x?6) ---------10分

于是，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： 4 （3，4） x （4，6） - 单调递减 f'(x) f(x) + 单调递增 0 极大值42 -----------------------------------------------11分由上表可得，x=4是函数f(x)在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；

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所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。 ---------13分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。 ----------------14分

21解：（I）由点(e,f(e))处的切线方程与直线2x?y?0平行，得该切线斜率为2，即

f'(e)?2.

又?f'(x)?a(lnx?1),令a(lne?1)?2,a?1,所以

f(x)?xlnx. ????4分

（II）由（I）知f'(x)?lnx?1，显然f'(x)?0时x?e?1

当x?(0,)时f'(x)?0,所以函数f(x)在(0,)上单调递减 -----5分 .当x?(,??)时f'(x)?0，所以函数f(x)在(,??)上单调递增-6分

1e1e11ee111时],fx(mi)?f(?)?;① ?(n,n?2 -----------------7分 neee1② ?n?n?2时，函数f(x)在[n,n?2]上单调递增，

e因此f(x)min?f(n)?nlnn;