二维圆柱绕流的离散涡数值模拟

12

第32卷第5期　

2010年5月舰　船　科　学　技　术

SHIPSCIENCEANDTECHNOLOGYVol.32,No.5

May,2010

二维圆柱绕流的离散涡数值模拟

陈　伟

1,2

,宗　智

1,2

(1.大连理工大学船舶工程学院,辽宁116024;2.,)

,,。摘　要:　,,数值模拟了大雷诺数条件下的二维圆柱绕流流场。,2种模型在处理此类问题时的经济和适用性。利用镜像法模拟,说明还需要对流函数模型进行更为精确的描述。

关键词:离散涡;圆柱绕流;奇点;CFD

中图分类号:　O35711　　　文献标识码:　A

文章编号:　1672-7649(2010)05-0111-05　DOI:1013404/j1issn11672-7649120101051028

Numericalsimulationoftwo2dimensionalflowaroundcircularcylinder

usingdiscretevortexmethod

CHENWei,ZONGZhi

(1.DepartmentofNavalArchitecture,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China;2.StateKeyLaboratoryofStructuralAnalysisforIndustrialEquipment,Dalian116024,China)Abstract:　Theproblemofflowaroundacircularcylinderiscommonbutimportantintheindustrialapplication.Thetheoryofthediscretevortexmethodandthegeneralcomputationalprocessofthismethodweredescribedfirst.Twodifferentmodelsbasedontheboundaryconditionswerebuilthereinordertosimulatetwo2dimensionalflowaroundcircularcylinderathighReynoldsnumbers,referredasimagemethodandstreamfunctionmethod.Theresultscometoagreewithtestsandothernumericalresultsverywellshowingthatthismethodiseconomicalandappropriatetodealwithsuchproblem.Theresultsofimagemethodarebetterthanthoseofstreamfunctionmethod,whichshowthestreamfunctionmethodneedmoredetailconsideration.

Keywords:　discretevortexmethod;flowaroundcylinders;singularities;CFD

1,2

1,2

0　引　言

近些年来,圆柱绕流问题一直是学术界和工程界

[1]

研究的热点,在工业工程中的应用十分广泛。该问题属于非定常分离流动,数值模拟的基础在于如何求解N2S方程。大多数数值方法如有限元、DNS等都依赖计算网格。对于较大的雷诺数,这些方法的计算效率大大降低。而实际工程中的雷诺数一般在临界或超临界范围内,因此,需要建立更为经济、高效的数值方法。离散涡方法因其简单高效,不依赖于网格

的特点,在近年来发展迅速,被广泛应用于建筑、

[3][4]

环境和海洋工程领域。本文通过构造2种不同的离散涡模型实现对圆柱的绕流流场模拟,并与其他结果比较来考察所用模型的准确性。

[2]

1　理论与数值模型

111　离散涡理论

对于二维,粘性不可压缩流体,用涡量—流函数来表示流场,可以得到如下的控制方程:

2

(1)=+(V ）ω＝νω,

Dtt

收稿日期:2009-10-11;修回日期:2009-10-30

作者简介:陈伟(1985-),男,硕士研究生,研究方向为船舶与海洋工程。

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2

舰　船　科　学　技　术

第32卷

ψ=-ω。(2)

式中:ω为涡量;ψ为流函数;V为速度矢量;ν和t分别为流体的运动粘性系数和时间。利用离散涡方法,将涡量场离散成许多带有一定环量的点涡,通过追踪流场内点涡的运动来实现对整个流场的模拟。对于物体绕流问题,离散涡法假定涡量仅存在于流体边界层以及尾流中,抓住问题的本质,减小了计算区域,节省了计算资源。

假设流场内一定位置的涡量用来代替,则有

N

πk=1z-zkim(t)2

N

Γk

。(9)

式中:i=

-1;z=x+iy为在复平面流场中任意一

—

点;zk为第k个环量Γk的点涡的位置;zkim=1/zk为第k个点涡关于圆的镜像点。,使得物,,如图1所示。

)i(r)i(3)

22

式中:r=(x-i)+(y-yi);Γi为第i个涡泡的环量(强度);(xi,yi)为第i个涡泡的位置;Kσ(r)是描述涡量分布的归一化函数。

[5]

对于上述控制方程,由Chorin提出的算子分裂方法,可将式(1)分解成对流和粘性扩散2个方程分别求解:

(4)+(V ）ω＝０，5t2

(5)=νω。

t

泊松方程(2)的解由Biot-Savart定律给出,对于离散涡方法,其解可表示为

N

Γi(y-yi)

(6)　u(x,y,t)=u∞+∑-Kσi(r),2

π2ri=1

图1　点涡生成位置示意

Fig11　Positionofvortexgeneration

通过满足物面无滑移条件所产生的点涡,用式

(4)来计算其运动。首先,利用式(4)计算对流,对流速度通过对其他奇点对该点的诱导速度的叠加获得。

[5]

然后,粘性扩散项式(5)采用随机走位来模拟。这样,点涡的运动方程为:

x(t+Δt)=x(t)+u(x(t))Δt+Δxd。(10)

对应于y(t+Δt)具有同样的形式,式中Δt为时间步长,Δxd为随机走位量,

Δxd=Δrcos(Δθ),Δyd=Δrsin(Δθ);(11)　　

Δr=[4νΔtln(1/P)]1/2,Δθ=2πQ。(12)　　

式中:P和Q为处于(0,1)之间的随机变量。

当计算点与点涡的距离非常近时,诱导速度存在奇异,在计算时需要考虑这一因素,选取适当的涡量分布函数能解决这一问题。对于本模型,假定涡泡具有半径σ,当所求点与涡泡中心的距离r小于σ时,采用指数形式的涡量分布函数。此时,涡泡诱导的周向速度uθk为πr{1-exp[-510257(r/σ)]},(13)uθk=-Γk/2σ=613408　　　　　　　

t

,

e

2

2

Γ(x-x)-Kσi(r)。(7)2∑π2ri=1

如果把离散的涡泡当成一系列的奇点,那么上述泊松公式的解表示的是流场中任意位置处的速度可以通过均匀来流与涡泡在该点诱导速度叠加来得到,即在势流理论中的奇点叠加法。112　计算模型

对于物体绕流问题,还需满足物面不可穿透和无滑移条件。对于本问题

(8)U=VB=0,(在柱面上)

其中:U为流体速度矢量;VB为物体的运动速度。离散涡模型的建立在于如何在满足物面条件的基础上模拟漩涡的脱落和对流。11211　采用奇点镜像满足物面条件(模型Ⅰ)

利用圆定理,绕流流场通过均匀流、偶极子、点涡及其镜像叠加而成,假设流场内有N个点涡,此时关于来流速度U和圆柱半径a无因次化的速度场可以表示为:

N

Γk　u-iv=1-2+-πk2=1z-zk(t)N

　v(x,y,t)=u∞+

(14)

涡泡半径σ在计算中保持不变。

在计算中新生成的点涡距离物面的径向距离可以通过平板边界层厚度公式来确定。

作用在圆柱上的力可通过Blasius公式得到,对于

[6]

本模型,Sarpakaya推导了升力和阻力系数公式:

N

Γk[(uk+ivk)-　　　CD+iCL=-i∑

k=1

12

　第5期陈　伟,等:二维圆柱绕流的离散涡数值模拟

(uimk+ivimk)],

113

(15)

式中:CD,CL分别为升力和阻力系数。11212　利用流函数性质满足物面条件(模型Ⅱ)

可通过舍弃1个物面条件方程来求解,本文采用最小

二乘法来求解该超定方程组。

新的离散涡生成之后,加入到流场中参与对流和粘性扩散。随着时间步的增长,流场中的点涡数目急剧增加,诱导作用因此,,需要采取合适2种模型采用不同,30倍时,除掉该点涡。对于模

[8]

型Ⅱ,采用Spalart提出的涡融合方法,如果2个点涡满足下列条件:

2

ΓΓzi-zjij

　≤V0,(22)

Γi+Γj(D0+di)115(D0+dj)115就进行合并,式中D0和V0都是控制参数,其中D0决定近场附近点涡的数目,取值与u∞相当,V0决定流场中涡总数,取值与10u∞相当。合并后的新涡的位置和涡强为:

Γi+Γj),Γ=Γi+Γj。(23)　z=(zΓii+zΓjj)/

(对于模拟过程中扩散会导致进入柱面内的点涡,

本文采取将进入柱面内的涡直接消除的做法。

-6

绕流流场沿物面构成一条流线,基于此点和奇点叠加的思路,可通过在物面分布点涡来满足这一条件。

选取涡量分布函数:

Kσ(r)=22,

r+σ

2

(16)

此时,点涡在距离中心r应为:

-

π2)2

;(17)

:

Γ22

ψ=ln(r+σ)。

π4

(18)

假设在某一时刻,物面上新生成Nw个点涡,流场中已经存在Nv个点涡。此时离散物面上任意一点i

的流函数可以表示为:

Nw22

ψi=u∞yi+Γ(σ　　　lnr+jj,ij)+π∑4j=1

2

Γkln(r2k,i+σk)。πk=14

Nv

∑

(19)

对于第i+1点具有同样的形式。利用两点流函数之差等于通过其连线的体积流量,可以得到:

ψi+1-ψi=uB(yi+1-yi)-vB(xi+1-xi)。(20)　

式中:uB,vB为物体运动速度。这样,就能得到一组关于物面新生成点涡的线性方程组。

对于对流项和扩散项的处理与模型Ⅰ大体一致,这里不再赘述。作用在圆柱表面的力可以利用边界[7]

积分的方法获得。

为后文叙述方便,模型Ⅰ称为镜像法,模型Ⅱ称为流函数法。

3　数值模拟结果

本文利用2种模型,分别模拟了Re=10,10情

况下的圆柱绕流情况。

5

在Re=10情况下,对于镜像法,取N=36,Δt=0105,Tmax=25。对于流函数法,取N=128,Δt=0105,Tmax=25。这里均是指无因次化后的计算步长

6

5

和总时间,计算所得的涡元分布如图2和图3所示,受力系数及功率谱如图4和图5所示。在镜像法中,在个人计算机上运算500个时间步用时90min,尾流中涡元数目达到10,计算所得的平均阻力系数为1112,St=01195;在流函数法中,用时88min,所得平均阻尼系数为1142,St=01234。

在Re=10情况下,计算参数保持不变。计算所得的涡元分布如图6和图7所示,受力系数及功率谱

6

4

2　数值模拟方法

上述两模型的数值计算步骤基本一致,可以分为离散涡的生成、涡的对流、涡的粘性扩散、涡数目的控制和涡消除及计算受力等步骤。

离散涡的生成过程是通过满足物面条件来实现的。如果将物面等分成N等分,通过边界条件可以得到N个线性方程组。同时,流场中的涡量必须守恒,即对每一时间步,流场内的点涡环量总和必须等于0,即

N

Nv

i

Γ∑

i=1

+

Γ∑

j=1

j

=0。(21)

图2　镜像法模拟所得尾流涡元分布

Fig12　Wakevisualizationforimagemethod

因此,求解N个新生成点涡的方程个数为N+1,

12

114 舰　船　科　学　技　术

验结果

[9]

第32

卷

的比较如表1所示

。

表1　与其他试验和数值模拟结果的比较

Tab.1　Comparedwithotherresults

Re=106

CD

St

Re=105

CD

St

Achenbach

(试验)

Smithandstansby

(数值)

0.750.700.6941.33

0.260.2340.234

Blevins(试验)Musttoetal(数值)

1.201.221.121.42

0.190.220.1950.234

镜像法流函数法

镜像法流函数法

如图8和图9所示。计算结果与其他数值模拟和实

由表1可知,镜像法的精度更令人满意,其流场

12

　第5期陈　伟,等:

二维圆柱绕流的离散涡数值模拟

其实验结果是CD=1110,St=0120。

115

计算表明,流函数法模型在雷诺数为10左右时

能较准确地模拟圆柱绕流流场。在边界层和涡量分布函数的处理上,还需要对流函数模型进行完善。

5

4　结　语

2,并对大雷诺数条件下。给出了模拟所得的尾流点涡分布情况,以及圆柱在涡的泄放过程中的受力情况。结果表明,离散涡方法在处理高雷诺数流动时具有概念简单,计算效率高,易于编程实现等优点。镜像法适合的雷诺数范围较流函数范围要大,而且计算结果更加精确。2种模型相比较发现,为提高流函

图9　流函数法模拟得到的受力系数时程曲线和

升力系数的功率谱

Fig19　Timehistoryofforcecoefficientsandpowerspectrum

oftheliftingcoefficientforstreamfunctionmethod

数方法的精度和适应范围,还需要进一步研究涡量分布函数的选取以及边界层的准确处理问题。

的解析度比流函数法高很多,流函数法流场中涡元数目是镜像法的一半,维持在5000以下,这是镜像法模拟结果好于流函数法的原因之一。另外,较短的采样周期也会带来误差。

下面用流函数法计算雷诺数为10时的情况,计算取来流012,圆柱直径012,计算时间步长取011,所得结果如图10所示。所得阻尼系数为1114,St=01195。这与Roshko(1961)的实验结果

[10]4

参考文献:

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FREGONESIRA.StanfordUniversity,JournalofFluidand

吻合良好,

图10　流函数法模拟所得尾流涡元分布和

受力系数时程曲线

Fig110　Wakevisualizationandtimehistoryofforce

coefficientusingstreamfunctionmethod

Numericalsimulationofflowaroundelasticallymounted

InternationalJournalofOffshoreandPolar

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xo01.html