2020一轮复习理科数学习题:直接证明与间接证明 Word版含解析
更新时间:2023-03-29 11:45:01 阅读量: 建筑文档 文档下载
第4节直接证明与间接证明
基础巩固(时间:30分钟)
1.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是( A )
(A)a>b>c (B)b>c>a
(C)c>a>b (D)a>c>b
解析:因为a=-=,
b=-=,
c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.故选A.
2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设( B )
(A)三个内角都不大于60°
(B)三个内角都大于60°
(C)三个内角至多有一个大于60°
(D)三个内角至多有两个大于60°
3.已知a>b>0,证明-<可选择的方法,以下最合理的是( B )
(A)综合法 (B)分析法 (C)类比法 (D)归纳法
解析:首先,排除C,D.然后,比较综合法、分析法.
我们选择分析法,欲证-<,只需证<+,即证a<b+(a-b)+2,只需证0<2.选B.
4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求
证<a”索的因应是( C )
(A)a-b>0 (B)a-c>0
(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0
解析:由题意知<a?b2-ac<3a2
?(a+c)2-ac<3a2
?a2+2ac+c2-ac-3a2<0
?-2a2+ac+c2<0
?2a2-ac-c2>0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下正确的是( D )
(A)①与②的假设都错误
(B)①与②的假设都正确
(C)①的假设正确;②的假设错误
(D)①的假设错误;②的假设正确
解析:反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以
①不正确;对于②,其假设正确.
6.(2017·山东青岛模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+( D )
(A)都大于2 (B)都小于2
(C)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2
解析:因为a>0,b>0,c>0,
所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.
7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是 .
答案:a,b都不能被5整除
8.+与2+的大小关系为.
解析:要比较+与2+的大小,
只需比较(+)2与(2+)2的大小,
只需比较6+7+2与8+5+4的大小,
只需比较与2的大小,
只需比较42与40的大小,
因为42>40,所以+>2+.
答案:+>2+
能力提升(时间:15分钟)
9.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( C )
(A)②③(B)①②③
(C)③ (D)③④⑤
解析:若a=,b=,则a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;
对于③,即a+b>2,
则a,b中至少有一个大于1,
反证法:假设a≤1且b≤1,
则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.选C.
10.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为( A )
(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B
(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A
解析:因为≥≥,
又f(x)=()x在R上是减函数,
所以f()≤f()≤f().
所以A≤B≤C.
11.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是.
解析:因为a+b-(a+b)
=(a-b)+(b-a)
=(-)(a-b)
=(-)2(+).
所以当a≥0,b≥0且a≠b时,
(-)2(+)>0.
所以a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.
答案:a≥0,b≥0且a≠b
12.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
求证:+=.
证明:要证+=,
即证+=3也就是+=1,
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需证c2+a2=ac+b2,
又△ABC三个内角A,B,C成等差数列,
故B=60°,
由余弦定理,得
b2=c2+a2-2accos 60°,
即b2=c2+a2-ac,
故c2+a2=ac+b2成立.
于是原等式成立.
13.设数列{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.
(1)求证:数列{S n}不是等比数列;
(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?
(1)证明:假设数列{S n}是等比数列,则=S1S3,
即(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),
因为a1≠0,
所以(1+q)2=1+q+q2,
即q=0,这与公比q≠0矛盾,
所以数列{S n}不是等比数列.
(2)解:当q=1时,S n=na1,故{S n}是等差数列;
当q≠1时,{S n}不是等差数列,
否则2S2=S1+S3,
即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
得q=0,这与公比q≠0矛盾.
综上,当q=1时,数列{S n}是等差数列;
当q≠1时,数列{S n}不是等差数列.
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