高等流体力学第一章(2)

1.6

速度分解定理

速度梯度张量M 为流体中一流体质点， ′为 M 点邻域内另一任意流体质点， M 如果速度场已知，则同一瞬时上述 M ′点对于 M 点的相对运动速度可计算如下：v v v v v v u u v u δu = δ x + δ y + δ z = δu i +δv j +δ w k x y z

v v v 式中 δu = u ′ u写成分量形式 u u u δu = δx + δy + δz x y z v v v δv = δx + δy + δz y z x δw = w δx + w δy + w δz z x y

上式用矩阵表示为， u x δu δv = v x δw w x u x v x w x u y v y w y

u y v y w y

u z v z w z

u u u δu = x δx + y δy + z δz v v v δ v = δx + δy + δz z x y δw = w δx + w δy + w δz x y z

δx δy δz

或

u i δu i = δx j x j

u z u i v z 或 x j w z

是一个二阶张量，称为速度梯度张量。

v 速度梯度张量也可表示成 u 一个标量的梯度是一个矢量，而一个矢量的梯度则是一个二阶 张量。

速度梯度张量分解为两个张量 ui 1 ui u j 1 ui u j = + + = s + aij x j xi 2 x j xi ij x j 2 u x 1 v u sij = + 2 x y 1 w u 2 x + z 1 u v + 2 y x v y 1 w v y + z 2 1 u w + 2 z x 1 v w + z y 2 w z

应相等，可表示为 s ij = s ji ,是一个对称张量。该张量描 述流体微团的变形运动，称应变率张量。

sij 只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对

1 ui u j aij = x j xi 2 0 1 v u a ij = 2 x y 1 w u 2 x z 1 u v 2 y x 0 1 w v y z 2 1 u w 2 z x 1 v w z y 2 0

a ij 只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为 a ij = a ji ,是一个反对

称张量。 该张量描述流体微团的旋转运动，称旋转张量。

旋转张量反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，

ω3 0 aij = ω 3 0 ω ω1 2 1 w v

ω2 -ω1 0 ω3 = 2 x y 1 v u

ω1 = ω 2 = 1 u w 2 y z 2 z x 这三个分量正好构成速度旋度的1 2

1 v ω = ×u 2 v

ω3 0 aij = ω 3 0 ω ω1 2

ω2 -ω1 0

a12 = ω3

a 23 = ω1 a31 = ω 2

a ij = ε ijk ω k v M M ′ 间的位移 δr 和旋转张量 以

a 相乘，v

v v v 1 v v a δ r = a δ x = ε δ x ω = δ r × ω = rot u × δ r ij j ijk j k 2在刚体的定点转动中，如果角速度为 ω ,则距定点距离 的旋转速度为

ω × δr , 比较知，ω = ×uv

v

v

v处 δr

1 v 2 速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2倍。

速度分解定理 1 u u j 1 u u j ui δ ui = δ xj = i + + i δ x j x 2 x x j 2 j xi j xi = sijδ x j + aijδ x j v 1 v v = s δ r + rot u × δ r 2上式以矢量形式可写为，

δu = δu D + δu R

v

v

v

δu D = s δr速度变化。

v

v

表示由于流体微团变形而产生的 M ′ 点相对于M点的

δ u R = rot u × δ r 表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 M ′点相对于M 点的速度变化。

v

1 2

v

v

1.7 应变率张量 正应变率分量

δ 取一由流体质点组成的线段元， rv v v δr = r ′ r

v

d v d v v v v v (δ r ) = ( r ′ r ) = u ′ u = δ u at at v v v u u u = δx+ δ y+ δz x y z

v 设某瞬时 δr 与x轴重合，则δr =δx iv v v v v v v w d v u u (δ r ) = δx= δx i + δx j+ δx k x x x x dt

δr

d u 2 v d v (δr ) = δx (δx) = δx dt dt x

u 1 d = (δx) x δx dt

同理 v 1 d = (δ y ) y δ y dt w 1 d = (δ z ) z δ z dt

应变率张量对角线分量分别是x,y,z轴线上的线段元 伸长率，称正应变率分量。

的相对

剪切应变率分量取流体质点组成的线元 δr1 、 r2 ,设在某一瞬时δr1 与x轴重合，而δr2 δ 与y轴重合，于是，

v

v

v

v

v v v v v d v u d v u v δ r1 = δ x i , δ r2 = δ y j , (δ r1 ) = δ x, (δ r2 ) = δ y dt x dt y u v d v v d v v δ r1 (δ r2 ) = δ xδ y, δ r2 (δ r1 ) = δ xδ y dt y dt x

v u d v v d + δ xδ y = (δ r1 δ r2 ) = (δ xδ y cos γ xy ) dt dt x y dγ xy d γ xy d = cos γ xy (δ xδ y ) δ xδ y sin γ xy = δ xδ y dt at ato 式中γ xy 是 x 轴与 y 轴之间的夹角， γ xy = 90 , cos γ xy = 0, sin γ xy =

1 , 于是，

1 v u 1 dγ xy + = 2 x y 2 dt

同理得，

1 u w 1 dγ zx + = 2 z x 2 dt1 w v 1 dγ zy + = 2 y z 2 dt 应变率张量非角线分量分别是平行于 x 与 y 轴，z 与 x 轴，y 与 z 轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值，称剪切 应变率分量。

体积应变率应变率张量对角线分量之和 u v w v sii = + + = div u x y z

sii 是一个标量，

取一流体团，体积为δv,外表面为 S,体积δv 的变化率等于通过封闭曲面 S 的速度通量，d v v (δv) = n uds dt S 1 d v v v (δv ) = lim 1 n uds = lim 1 div u dv lim δv→0 δv dt δv→0 δv S δv → 0 δ v δv

∫

∫

∫

= lim

1 v v δv div u = div u δv → 0 δ v

应变率张量三个对角线分量之和 积膨胀率。

sii 或速度的散度表示流体微元的相对体

1.8 速度环量和涡量 速度环量

v v Γ = u dl

∫

L

速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量，线积分沿逆时 针方向进行。

涡量v v = ×u i = ε ijk u j u k u j = x j x k x k v ei

涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍，

v v = 2ω

v 流场内处处 × u = 0 的流动称无旋流，或称势流。

v × u ≠ 0 的流动则称有旋流动。 涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比，而与流体微团重心围绕 某一参考中心作圆周运动的角速度无关。流动是否有旋与流体质点的 运动轨迹无关。一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零。

Stokes定理涡通量：

∫

v v v v ( × u ) n ds = n dsS

∫

S

Stokes定理：

∫

v v v v n ds = u dlS

∫

L

1.9 涡旋的运动学特性 涡管和微元涡管涡线，流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和 曲线在该点的切线方向相同。 涡管，在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线，在某瞬 时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面，称涡管。涡管 横截面无限小时称涡管元。

涡旋场是无源场矢量恒等式， v v = ( × u ) = 0 涡旋场内无源无汇。

涡管的运动学特性v 由 = 0 ,对图示涡管，ΣS2

∫

S1

v v nds = ∫

S2

v v nds

S1

推论：对一个确定的涡管，它的任一横截面上的涡通量是一个 常数。该常数称为涡管强度。 由Stokes定理

∫

S1

v v nds = Γ1

∫

S2

v v nds = Γ2

Γ1 = Γ2推论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。

涡线和涡管都不能在流体内部中断

由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在 流体内部中断。 如果发生中断

,则在中断处取封闭曲面，通过封闭曲面 的涡通量将不为零，与无源场事实相矛盾。 涡线和涡管只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其 头尾搭在固壁或自由面，或延伸至无穷远。

1.10 应力张量 应力矢量v F v pn = lim A→0 A下标 n 表示面元 A 的法线方向。

v v p n = p nv p n ,正侧流体对负侧流体的作用应力；

v p n ,负侧流体对正侧流体的作用应力。

应力矢量的投影v p n = (σ nn , σ nτ )

σ nn = p n nσ nτ =

v

v

v 2 ( p n )2 σ nn

( ) v p n = (σ nx , σ , σ nz ) nyv p x = σ xx , σ , σ xz xy应力的双下标表示法： 第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向， 第 2 个下标表示应力投影方向。

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