2022年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学(理)之工程数学

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2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学（理）之工程数学—线性代数考研冲刺狂

背五套题（一） ............................................................................................................................ 2 2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学（理）之工程数学—线性代数考研冲刺狂

背五套题（二） .......................................................................................................................... 10 2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学（理）之工程数学—线性代数考研冲刺狂

背五套题（三） .......................................................................................................................... 17 2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学（理）之工程数学—线性代数考研冲刺狂

背五套题（四） .......................................................................................................................... 25 2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学（理）之工程数学—线性代数考研冲刺狂

背五套题（五） (34)

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第 2 页，共 40 页 2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学（理）之工程数学—线性代数考

研冲刺狂背五套题（一）

说明：本套狂背五套题按照考研侧重点和出题难度，严格筛选提取了历年考试高频核心试题及重点题型，更突出针对性和实战性，适用于考研冲刺最后狂背。

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一、解答题

1． 设三阶方阵A 、B

满足

其中E 为三阶单位矩阵.

若求行列

式的值. 【答案】

由矩阵

知则

.可逆.

又

故

即

所以

即

而

故

2． 已知A 是3阶矩阵，

是3维非零列向量，若令

（Ⅰ）证明

：

线性无关； （Ⅱ

）设

求 【答案】

（Ⅰ）由且非零可知，是A 的个同特征值的特征向量，

故

线性无关.

又

令

即

由线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

即

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线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

故

3． 设B

是

矩阵

逆其中E 是n 阶单位矩阵.

（I

）证明 （II

）证明

（III

）若且A 可对角化，

求行列式

【答案】⑴

（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1.又存在可逆矩阵p ,

使或1.

4．

设二次型

记

（1）证明二次型f

对应的矩阵为

（2

）若

正交且均为单位向量，证明f

在正交变换下的标准形为

【答案】（1）由题意知，

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故二次型

/对应的矩阵为 （2）证明

：设，由于

则

所以

为矩阵对应特征值

的特征向量；

所以

为矩阵对应特征值

的特征向量

； 而矩阵A 的秩

所以

也是矩阵的一个特征值

；

故f

在正交变换下的标准形为

二、计算题

5． 验证

，

，

为

的一个基，

并把用这个基线性表示.

【答案】

因

据此可知，

从而

故

是一个基；

用此基线性表示式为

，

6． 设A 为三阶矩阵，

求

【答案】因故A 可逆.于是由

及

得

两端取行列式得

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