2016年高考数学大题狂练：2016年高考数学大题限时狂练四：概率与

2016年高考数学大题限时狂练四：概率与统计

(推荐时间：70分钟)

1． （2015年新课标一卷19题）

某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量

yi?i?1,2,???,8?数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

年销售量/t620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元

x y w ??xi?1ni?x?2 ??i?1nwi?w ???2i?1nxi?x??yi?y???w?w??yii?1ni?y? 1469 108.8 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1n表中wi?xi，w??wi，

8i?1（Ⅰ）根据散点图判断，y?a?bx与y?c?dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为z?0.2y?x，根据（Ⅱ）的结果回答下

列问题：

（ⅰ）年宣传费x?49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据?u1,v1??u2,v2?，???，?un,vn?，其回归直线v????u的斜率和截

??距的最小二乘估计分别为???ui?1nni?u??vi?v?2??ui?u?i?1?u. ??v??，?

- 1 -

2． 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2003到2012

年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2003年编号为1,2004年编号为2，?，2012年编号为10.数据如下：

年份(x) 人数(y) 1 3 2 5 3 8 4 11 5 13 6 14 7 17 8 22 9 30 10 31 (1)从这10年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于15人的概率；

^

^

^

(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

3． 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个

11

题目，该学生答对A、B两题的概率分别为和，两题全部答对方可进入面试，面试要回

231

答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为，至少答对一题即可被聘用(假

2设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的)． (1)求该学生被公司聘用的概率；

(2)设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

- 2 -

4． 现有长分别为1 m、2 m、3 m的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的

编号)，从中随机抽取n根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9)．再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

(1)当n＝3时，记事件A＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)； (2)当n＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)，①求ξ的分布列；②令η＝－λξ＋λ＋1，E(η)>1，求实数λ的取值范围．

5． 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

空气质量 日均值(微克/立方米) 一级 35以下 二级 35～75 超标 75以上 2

某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

PM2.5日均值(微克/立方米)

(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

- 3 -

6． 某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次

在A或B处投篮，在A处投进一球得3分，在B处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种： 方案1：先在A处投一球，以后都在B处投； 方案2：都在B处投篮．

已知甲同学在A处投篮的命中率为0.4，在B处投篮的命中率为0.6. (1)甲同学若选择方案1，求X＝2时的概率； (2)甲同学若选择方案2，求X的分布列和期望；

(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．

答案精析

1． （2015年新课标一卷19题）

- 4 -

某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量

yi?i?1,2,???,8?数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

年销售量/t620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元

x y w ??xi?1ni?x?2 ??i?1nwi?w ???2i?1nxi?x??yi?y???w?w??yii?1ni?y? 1469 108.8 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1n表中wi?xi，w??wi，

8i?1（Ⅰ）根据散点图判断，y?a?bx与y?c?dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为z?0.2y?x，根据（Ⅱ）的结果回答下

列问题：

（ⅰ）年宣传费x?49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据?u1,v1??u2,v2?，???，?un,vn?，其回归直线v????u的斜率和截

??距的最小二乘估计分别为???ui?1nni?u??vi?v?2??ui?u?i?1?u. ??v??，?【答案】（Ⅰ）y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（Ⅱ）

?y?100.6?68x（Ⅲ）46.24

- 5 -

∴y关于x的回归方程为?y?100.6?68x.??6分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

2． 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2003到2012

- 6 -

年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2003年编号为1,2004年编号为2，?，2012年编号为10.数据如下：

年份(x) 人数(y) 1 3 2 5 3 8 4 11 5 13 6 14 7 17 8 22 9 30 10 31 (1)从这10年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于15人的概率；

^

^

^

(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

?? ?x－x??y－y??xy－nx y?b＝＝，?? ?x－x??x－nx?

?a＝y－bx.

nniiii^

i＝1i＝1

nn222

iii＝1^

i＝1

^

解 (1)设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A， C62

则P(A)＝1－2＝. C103

(2)由已知数据得x＝3，y＝8， 146－5×3×8则b＝＝2.6，

55－5×9

^^

2

a＝8－2.6×3＝0.2.

^

则线性回归方程为y＝2.6x＋0.2，

则第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值为|2.6×8＋0.2－22|＝1.

3． 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个

11

题目，该学生答对A、B两题的概率分别为和，两题全部答对方可进入面试，面试要回

231

答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为，至少答对一题即可被聘用(假

2设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的)． (1)求该学生被公司聘用的概率；

(2)设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解 设正确回答A、B、甲、乙各题分别为事件A、B、C、D，则

P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝P(D)＝. 121312

- 7 -

(1)该学生被公司聘用的概率为

P(AB)·[1－P(C D)]＝×?1－×?＝. 22

(2)由题意可知ξ的取值为0,1,2,3,4.

11?23?

1

1?1?8

P(ξ＝0)＝P(A B)＝·＝，

P(ξ＝1)＝P(AB)＋P(AB)＝·＋·＝， P(ξ＝2)＝P(AB)×P(C D)＝×××＝， P(ξ＝3)＝P(AB)[P(CD)＋P(CD)]

11?1111?1＝×?×＋×?＝， 23?2222?12

12

1111322241211123232

122133

P(ξ＝4)＝P(AB)P(CD)＝×××＝.

∴ξ的分布列为

ξ 0 1 31 1 22 1 243 1 124 1 2411123211224

P 11111∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.

32241224

4． 现有长分别为1 m、2 m、3 m的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的

编号)，从中随机抽取n根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9)．再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

(1)当n＝3时，记事件A＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)； (2)当n＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)，①求ξ的分布列；②令η＝－λξ＋λ＋1，E(η)>1，求实数λ的取值范围． C3C3C69

解 (1)事件A为随机事件，P(A)＝3＝. C914(2)①ξ可能的取值为2,3,4,5,6. C31

P(ξ＝2)＝2＝，

C912C3C31

P(ξ＝3)＝2＝，

C94C3＋C3C31

P(ξ＝4)＝＝， 2C93

2

11

112

121

2

- 8 -

C3C31

P(ξ＝5)＝2＝，

C94C31

P(ξ＝6)＝2＝. C912∴ξ的分布列为

ξ 2 1 123 1 44 1 35 1 46 1 122

11

P 11111②E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4.

1243412∵η＝－λξ＋λ＋1，

∴E(η)＝－λE(ξ)＋λ＋1＝－4λ＋λ＋1， 12

∵E(η)>1，∴－4λ＋λ＋1>1?0<λ<. 4

5． 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

空气质量 日均值(微克/立方米) 一级 35以下 二级 35～75 超标 75以上 2

2

2

某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

PM2.5日均值(微克/立方米)

(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

解 (1)从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A，

C1158

则P(A)＝1－3＝.

C1591

3

- 9 -

(2)ξ的可能值为0,1,2,3， C5C1024

P(ξ＝0)＝3＝，

C1591C5C1045

P(ξ＝1)＝3＝，

C1591C5C1020

P(ξ＝2)＝3＝，

C1591C5C102

P(ξ＝3)＝3＝.

C1591所以ξ的分布列为

ξ 0 24 91291

1 45 912 20 913 2 91515

30211203

P 2491

4591

2091

E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝1或E(ξ)＝3×＝1(超几何分布)．

6． 某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次

在A或B处投篮，在A处投进一球得3分，在B处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种： 方案1：先在A处投一球，以后都在B处投； 方案2：都在B处投篮．

已知甲同学在A处投篮的命中率为0.4，在B处投篮的命中率为0.6. (1)甲同学若选择方案1，求X＝2时的概率； (2)甲同学若选择方案2，求X的分布列和期望；

(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．

解 (1)在A处投篮命中记作事件A，不中记作A，在B处投篮命中记作事件B，不中记作B，

该同学选择方案1，测试结束后所得总分为2为事件ABB∪A BB，

则其概率P1＝P(ABB)＋P(A BB)＝(1－0.4)×0.6×(1－0.6)＋(1－0.4)×(1－0.6)×0.6＝0.288.

(2)该同学选择方案2，测试结束后，所得总分X所有可能取的值为0,2,4. 则P(X＝0)＝(1－0.6)(1－0.6)(1－0.6)＝0.064，

2

P(X＝2)＝C13×0.6×0.4＝0.288，

P(X＝4)＝0.6×0.6＋2×0.62×0.4＝0.648，

- 10 -

∴X的分布列是

X P 0 0.064 2 0.288 4 0.648 ∴E(X)＝0×0.064＋2×0.288＋4×0.648＝3.168. (3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P2，

P2＝P(A)＋P(ABB)＝0.4＋0.6×0.6×0.6＝0.616，

又选择方案2通过测试的概率P3＝0.648>0.616， 所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．

- 11 -

∴X的分布列是

X P 0 0.064 2 0.288 4 0.648 ∴E(X)＝0×0.064＋2×0.288＋4×0.648＝3.168. (3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P2，

P2＝P(A)＋P(ABB)＝0.4＋0.6×0.6×0.6＝0.616，

又选择方案2通过测试的概率P3＝0.648>0.616， 所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．

- 11 -

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