2012年高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆6. 若P0(x0,y0)在椭圆

是

x0xa23. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若P0(x0,y0)在双曲线6. 若P0(x0,y0)在双曲线

x0xa2xaxa2222??yby2222?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

x0xa2?y0yb2?1.

xaxa2222??ybyb2222?1上，则过P0的椭圆的切线方程是

?y0yb2?1.

切点弦P1P2的直线方程是7. 双曲线

xa22bx0xa2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

?y0yb2?1.

?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

?yb22?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，

2?22y0yb2?1.

则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?bcot12?2.

7. 椭圆

xa?yb22?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点

28. 双曲线

角形的面积为S?FPF?btan12?2.

?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0) 2b当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

a2x2?y28. 椭圆

?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式： 2ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

x2y2当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是双曲线

xa229. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P

和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆

即KAB??xa22222?yb22?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

bx0ay02222?yb22?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??ba22，

KOM?KAB?bx0ay0，即KAB?xa22。

bx0ay02。 xaxa2212. 若P0(x0,y0)在双曲线

ybyb22?yb?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

12. 若P0(x0,y0)在椭圆

??1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

xa22x0xa2?22y0yb?2?x0a?22?y0b2x0x2.

a2?y0yb2?x0a22?y0b22. xa22222213. 若P0(x0,y0)在椭圆

??1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是?ybx0xa2y0yb213. 若P0(x0,y0)在双曲线

.

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

?yb22?x0xa2?y0yb2.

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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

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9. 过椭圆

xa22?y22轴于P，则10. 已知椭圆

xab|PF|yb22?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x?e2椭 圆

1. 椭圆

xa22|MN|22.

?yb22??1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时

xa22A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2. 过椭圆

xa22?yb22?1.

P(x0,0), 则?a?baxa222?x0?22a?ba22.

?yb22?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

bx0ay02211. 设P点是椭圆?yb?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则

则直线BC有定向且kBC?xa22（常数）.

(1)|PF1||PF2|?2b21?cos?xa22.(2) S?PFF?btan122?2.

3. 若P为椭圆?yb22?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,

?tan12. 设A、B是椭圆?yb22?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,

2ab|cos?|a?ccos?2222?PF2F1??，则

a?ca?c?2cot?2.

?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2.(2)

4. 设椭圆

xa22?yb222ab2222?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2

sin?sin??sin?b?acot?.

中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

?ca?e.

13. 已知椭圆

xa22?yb22?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交

于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

5. 若椭圆

xa22?yb22?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤

2?1时，可在

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 本套试卷由：www.0839bx.cn 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为椭圆

xa22?yb22?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7. 椭圆

22(x?x0)a222?(y?y0)b22?1与直线A?x2B?y0?C有公共点的充要条件是

Aa?Bb?(Ax0?By0?C).

28. 已知椭圆

1|OP|2xa22?yb222?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）1a2?1|OQ|??1b2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为

22

4ab2222a?b;（3）S?OPQ的最小值是

ab2222a?b.

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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

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9. 过双曲线

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂

|PF||MN|?e2直平分线交x轴于P，则10. 已知双曲线

xa22.

双曲线

1. 双曲线

xa22?yb22?yb22?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相

a?ba22?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于

xa22P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2. 过双曲线

xa22?yb22?1.

交于点P(x0,0), 则x0?11. 设P点是双曲线

xa22或x0??a?ba22.

?yb22?yb222?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

bx0ay022（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，?1.(2) S?PFF?bcot12B,C两点，则直线BC有定向且kBC??xa22（常数）.

则(1)|PF1||PF2|?2bxa222?21?cos??yb22.

12. 设A、B是双曲线?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,

2ab|cos?||a?ccos?|22223. 若P为双曲线?yb22（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?1?tan?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?.

?PF2F1??，则

c?ac?a?2cot?2（或

c?ac?a?tan?2cot?2）.

(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?xa2222ab2222b?acot?.

4. 设双曲线

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

sin??(sin??sin?)13. 已知双曲线?yb22?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与

在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

?ca?e.

双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线

5. 若双曲线

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为双曲线

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线

22xa222?2yb22?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是

2Aa?Bb?C.

8. 已知双曲线（1）

1|OP|2xa22?yb22?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ. 1a2?1|OQ|2??1b2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为

22

4ab2222b?a;（3）S?OPQ的最小值是

ab2222b?a.

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