大学物理静电场中的导体和电介质习题答案（精）

第13章 静电场中的导体 和电介质 P70．

13．1 一带电量为q，半径为rA的金

属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将 A和B连接起来，则

A球的电势为多少？（设无穷远处电势为

零）

[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为

E= q4πε 0r 2

．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q

时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为 U= q4πε．

0rc

13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带

电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？ [解答]介质中的

电场强度和电位移是轴对称分布的．在

内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面 包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．

设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为 Φd=??S D?dS

=?SD?dS+?D?dS+?D?dS=2πrlD，

S1 S2

可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外．

电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外． 13．3 金属

球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球

心为r处有一点电 荷q，求球心o的电 势为多少？ 图14.3

[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为

U1 o=

q1-q1Q+q 4πε++

0r4πε0a4πε0b

13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C， 忽略边缘效应．求 （1）B、C

板上的电荷为多少？

图14.4

（2）A板电势为多少？

[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为 q1 = σ1S和q2 = σ2S，

在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程

q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C间的场强为 E2 = σ2/ε0．

设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则 ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 σ1d1 = σ2d2． ③ 解联立方程①和③得

σ1 = qd2/S(d1 + d2)，

所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为

ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9/36π，

因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B板和C板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)．

13．5 一无限大均匀带电平面A，带

电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？ [解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得 q1 + q2 = 0． ①

虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为

σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S， 它们产生的场强大小分别为

E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生 P

的场强向左，取向右的方向 为正，可得 图14.5

E1 - E2 – E = 0， 即 σ1 - σ2 – σ = 0，

或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．

13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为

120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？

[解答]由于左板接 地，所以σ图14.6

1 = 0．

由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．

由于两板带等量异号的电荷，所以

σ2 = -σ3．

两板之间的场强为 E = σ3/ε0，

而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为 σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)， σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．

13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间 电容可用公式C=4πε0R2 RR表示．

2-1

（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2） [证明]方法一：并联电容法．在 外球外面再接一个 半径为R3大外球

壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为 C1

121=4πε0

1/R1/R=4πεRR0 1-2R2-R1

外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电 容为 C2=4πε1 1/R． 2-1/R3

外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 C=CR2

1+C2=4πεR10 R+4πε0R2 2-R1 =4πε2

0R2R． 2-R1

方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为 qq`4πε+ 0R2 4πε=0， 0R1

因此感应电荷为

q`=- R1 Rq． 2

根据高斯定理可得两球壳之间的场强为

E=

q`4πε2=-R1q2 ， 0r4πε0R2r

负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．

取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为 R1 R1 U=

l=R?E?d2 R?Edr 2 R1 = - R1q R?(2

4πε2 )dr 0R2r =

R1q4πε(1-1 )=(R2-R1)qR2 0R2R1R24πε02 球面间的电容为 C=qU=4πε2 0R2 R．

2-R1

13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？

[解答]球形电容器的电容为 C=4πε1

-1/R=4πεR1R20 1/R0．

12R2-R1

对于半球来说，由于相对面积减少了一 半，所以电容也减少一半： Cπε0R1R2 1= 2R．

2-R1

当电容器中充满介质时，电容为： C2πε0εrR1R2 2= RR．

2-1

由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：

C=C2πε0(1+εr)R1R2 1+C2= R．

2-R1

13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容． [解答]假设在

两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电 容分别为

C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2． 总电容的倒数为

1=1+1

=d1+d2=ε2d1+ε1d2CCε， 1C2ε1Sε2Sε12S 总电容为 C=ε1ε2S ε．

2d1+ε1d2

13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求： （1）两极的电势差U；

（2）介质中的电场强度E、电位移D； （3）电容C，它是真空时电容的多少倍？

[解答]介质中

的电场强度和电位移是轴对称分布 的．在内外半径之 间作一个半径为r、

长为l的圆柱形高

斯面，侧面为S0，上下两底面分别为 S1和S2．通过高斯面的电位移通量为

Φd=??S D?dS

=?SD?dS+?D?dS+1 ?SD?dS=2πrlD，

S2

高斯面包围的自由电荷为 q = λl， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr， 方向垂直中心轴向外．

电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外． 取一条电力线为积分路径，电势差为 R2

U=?E?dl=?Edr?λ L L = dR1 2πεrr = λ

2πεlnR2R． 1 电容为 C= q2πεl U=

ln(R． 2/R1)

在真空时的电容为 Cq

2πε0l0= U=

ln(R， 2/R1)

所以倍数为C/C0 = ε/ε0．

13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：

（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．

[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为 Φd=蜒?SD?dS=

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