2017年北京市丰台区高三年级二模数学（理）试题及答案

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）

数 学（理科）

2017. 05

（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项．

1.已知集合A?x1?x?4, B?xx?2，那么AUB? （A）(2,4)

（B）(2,4]

（C）[1,+?)

（D）(2,+?)

????2.下列函数中，既是偶函数又是(0,+?)上的增函数的是 （A）y??x3 （C）y?x

12

?4

（B）y?2

x

（D）y?log3(?x)

3. 在极坐标系中，点(2,)到直线?cos???sin??1?0的距离等于 （A）

2 2 （B）2 （C）32 2 （D）2

4. 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y??212x的是

（A）x?

y24?1 （B）

x24?y?1

2（C）

y24?x?1 （D）y?22x24?1

5. 已知向量a?(（A）

4π31，)，b?(3，b的夹角为 ?1)，则a，22π （B）

32π3π

2（C）

2 （D）

11116. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为则该几何体最大的侧面的面积为 （A）1 （C）3

（B）2 （D）2

正视图侧视图正方形，

俯视图7. S(A)表示集合A中所有元素的和，且A??1,2,3,4,5?，若S(A)能被3整除，则符合条件的非

空集合A的个数是 （A）10

（B）11

（C）12

（D）13

8. 血药浓度（PlasmaConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是 ．．．①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 （A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数3?4i对应的点的坐标为．

i?10.执行右图所示的程序框图，若输入x的值为6，则输出的x值为．

11.点A从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B的坐标是

(?35,45),记?AOB??,则sin2?=． ?y?1，12.若x，y满足?

?y?x?1，且z?x2?y2的最大值为10，

??

x?y?m，则m?．

13.已知函数f (x)的定义域为R.当x?0时，f(x)?ln(?x)?x；当

时，

f(?x)??f(x)；当x?1时，f(x?2)?f(x)，则f(8)? ．

14.已知O为△ABC的外心，且BOuur??BAuur??BCuur.

①若?C?90?，则???? ；

②若?ABC?60?，则???的最大值为 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

在锐角△ABC中，2asinB?b.

?e?x?e（Ⅰ）求∠A的大小；

（Ⅱ）求3sinB?cos(C?)的最大值.

6?

16.（本小题共13分）

某社区超市购进了A,B,C,D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15

?,15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）位顾客（记为ai,i?1,2,3,：

顾 客 产 品 A B C D a1 1 1 a2 1 1 a3 a4 1 1 1 1 a5 1 a6 1 1 a7 1 a8 1 1 1 a9 1 a10 a11 a12 a13 a14 a15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；

（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X， 求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）

17.（本小题共14分）

60?，如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB?2AD?2，?DAB?60四边形CDEF为正方形，平面CDEF?平面ABCD.

（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF； （Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；

?（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF?平面HAD？若存在，求存在，说明理由.

18.（本小题共13分）

已知函数f(x)?ex?alnx?a.

（Ⅰ）当a?e时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

a（Ⅱ）证明：对于?a?(0,e)，f(x)在区间(,1)上有极小值，且极小值大于0.

eAGDCEFFH的值；若不HCB

19.（本小题共14分）

3已知椭圆E的右焦点与抛物线y2?4x的焦点重合，点M(1,)在椭圆E上.

2（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P(?4,0)，直线y?kx?1与椭圆E交于A,B两点，若直线PA,PB均与圆x2?y2?r2(r?0)相切，求k的值.

20.（本小题共13分）

若无穷数列?an?满足：?k?N*，对于?n?n0(n0?N*)，都有an?k?an?d（其中d为常数），则称?an?具有性质“P(k,n0,d)”.

（Ⅰ）若?an?具有性质“P(3,2,0)”，且a2?3，a4?5，a6?a7?a8?18，求a3；

（Ⅱ）若无穷数列?bn?是等差数列，无穷数列?cn?是公比为正数的等比数列，b1?c3?2，

b3?c1?8，an?bn?cn，判断?an?是否具有性质“P(2,1,0)”，并说明理由；

（Ⅲ）设?an?既具有性质“P(i,2,d1)”，又具有性质“P(j,2,d2)”，其中i，j?N*，i?j，i,j互质，求证：?an?具有性质“P(j?i,i?2,

j?id1)”. i（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习

高三数学（理科）参考答案及评分参考

2017．05

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

?3)10．011．?9．(4，24 25

12．413．2?ln214．

12 ； 23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得2sinAsinB?sinB， ..………………2分 因为0?B?π，所以sinB?0，从而2sinA?1， ..………………3分

所以sinA?1. 2因为锐角△ABC，

所以A?

π

. ..………………6分 6

π（Ⅱ）因为3sinB?cos(C?)=3sinB?cos(A?C)..………………7分

6=3sinB?cosB ..………………9分

ππ=2sin(B+) ..………………11分当B?时，

63π3sinB?cos(C?)有最大值2，

6π与锐角△ABC矛盾，故3sinB?cos(C?)无最大值 ..………………13分

6

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

?， .………………3分 ????????????（件）

?? 答：产品A的月销售量约为3000件. .………………4分

???..………………5分???

（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P?X可取0，2，4，6 ， .………………6分 ??361?23P(X=?)?()??， P(X=2)?C3()?，

?????????5433272322P(X=4)?C3()?， P(X=6)?()?， ????????? 所以X的分布列为： X P

0 ? ???2 36 ???4 54 ???6 27 ???.………………8分

所以

E(X)?0?836542745018?2??4??6???. ..……………10分 1251251251251255 （Ⅲ）产品D . ……………13分

17.（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：由已知得EF//CD，且EF=CD.

因为ABCD为等腰梯形，所以有BG//CD. 因为G是棱AB的中点，所以BG=CD． 所以EF//BG，且EF=BG， 故四边形EFBG为平行四边形, 所以

EG//FB. ………………2分

因为FB?平面BDF，EG?平面BDF， 所以EG//平面

BDF． ………………4分

解：（Ⅱ）因为四边形CDEF为正方形，所以ED?DC.

因为平面CDEF?平面ABCD， 平面CDEF?平面ABCD?DC，

EzFDE?平面CDEF，

所以ED?平面ABCD.

在△ABD中，因为?DAB?60?，AB?2AD?2， 所以由余弦定理，得BD?3， 所

xADCBGy以

A?． ………………5分

在等腰梯形ABCD中，可得DC?CB?1. 如图,以D为原点，以DA，DB，DE所在直线分别为x,y,z轴，

建立空间坐系， ………………6分

标

13,1) ， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，E(0,0,1)，B(0,3,0)，F(?,22????????????13,1)，DB?(0,3,0). 所以AE?(?1,0,1)，DF?(?,22?????n?DB?0，?设平面BDF的法向量为n?(x,y,z)，由?????………………7分

??n?DF?0.?所以?3y?0??13，取z?1，则x?2,y?0，得n?2(01,)??2x?2y?z?0分

设直线AE与平面BDF所成的角为?，

???则sin??cos????AE?,n?????AE?AE??n?n，

所以AE与平面BDF所成的角的正弦值为

1010. ………………10分 （Ⅲ）线段FC上不存在点H，使平面BDF?平面HAD．证明如下：分

假设线段FC上存在点H，设H(?132,2,t)(0?t?1)， 则????DH??(?132,2,t)． ???设平面HAD的法向量为m?(a,b,c)，由??DA??m??????0, ???m?DH?0.?所以?a?0??1， ??2a?32b?tc?0取c?1，则a?0,b??23t，得m?(0,?23t,1)． 分

要使平面BDF?平面HAD，只需

m?n?0， ………………13分

． ………………8

?1010………………9分 ………………11 ………………12 2t?0?1?1?0，此方程无解． 3所以线段FC上不存在点

即2?0? ………………14分 HA．D

18.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，…………………1分

H，使平面?BDF平面

e因为a?e，所以f(x)?ex?e(lnx?1)，所以f?(x)?ex?. …………………2

x分

因为f(1)?0，f?(1)?0，…………………3分

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?0. …………………4分

（Ⅱ） 因为0?a?e,所以f?(x)?数. …………………5分

aa因为f?()?ee?e?0，f?(1)?e?a?0，…………………6分

ex?eaa在区间(,1)上是单调递增函xe所ex0?ax0以

?x0?(ae,,1使)得

. = 0 …………………7分

a所以?x?(,x0)，f?(x)?0；?x?(x0,1)，f?(x)?0，…………………8分

ea故f(x)在(,x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，…………………9分

e所以f(x)有极小值f(x0). …………………10分

a因为ex0??0,

x0所以f(x0)=ex0?a(lnx0?1)?a(1?lnx0?1). …………………11分 x01a设g(x)=a(?lnx?1)，x?(,1)，

xe则g?(x)?a(?11a(1?x)，………………12分 ?)??x2xx2所以g?(x)?0，

a即g(x)在(,1)上单调递减，所以g(x)?g(1)?0，

e即f(x0)?0，所以函数f(x)的极小值大于0．………………13分

19.（本小题共14分）

解：（Ⅰ） 因为抛物线y2?4x的焦点坐标为(1,0),所以c?1,..………………1分

所以2a? 即a?2.因为b2?a2?c2?4?1?3，

33?()2?22?4，..………………3分 22x2y2 所以椭圆E的方程为??1...………………5分

43（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，

因为直线PA, PB与圆x2?y2?r2(r?0)相切，

所以kAP?kBP?0，..………………7分

即

y1y2??0， x1?4x2?4y1(x2?4)?y2(x1?4)?0，

(x1?4)(x2?4)通分得

所以(kx1?1)(x2?4)?(kx2?1)(x1?4)?0，

整理，得2kx1x2?(4k?1)(x1?x2)?8?0. ① ..………………9分 ?x2y2?1，??联立?4得(3?4k2)x2?8kx?8?0， 3?y?kx?1，? 所以x1?x2??代入①，得 k?1...………………14分

8k8，..………………11分 ,xx??12223?4k3?4k

20.（本小题共13分）

解 ：（Ⅰ）因为?an?具有性质“P(3,2,0)”，所以an?3?an?0，n?2.

由a2?3，得a5?a8?3，由a4?5，得a7?5. ..………………2

分

a6?a?a?因为，所718a3?10. ..………………4分

以

a6?10，即

（Ⅱ）“P(2,1,0)”. ..………………5?an?不具有性质分

设等差数列?bn?的公差为d，由 b1?2，b3?8，

2d?8?2?6得，所以bn?3n?1. ..………………6分

d?3，故

设等比数列?cn?的公比为q，由 c3?2，c1?8， 得q2?11，又q?0，所以q?，故cn?24?n， ..………………742分

所以ann?3n?1?24?.

若?an?具有性质“P(2,1,0)”，则an?2?an?0，n?1. 因为a2?9，a4?12，所以a2?a4， 故

?an?不具有“P(2,1,0)”. ..………………8分

（Ⅲ）因为?an?具有性质“P(i,2,d1)”，所以an?i?an?d1，n?2.①

因为?an?具有性质“P(j,2,d2)”，所以an?j?an?d2，n?2.② 因为i,j?N*，i?j，i,j互质，

所以由①得am?ji?am?jd1；由②，得am?ij?am?id2， 分

所

以

am?jd1?am?id2dj2?id1. ..………………10分

②-①，得an?j?an?i?d2?d1?j?iid1，n?2， 分

所

以

aj?in???a?id1n?i?2， ..………………12分

所

以

?an?具有“P(j?i,i?2,j?iid1)”. ..………………13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）

性质

..………………9

即

..………………11j，

性质

， i

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