双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计

《数学模型与实验》课程论文

姓 名 论文题目 学 号 学院、专业 最便捷联系电话 Email Q Q 论文分数

教师填写: 双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计 数计学院 数学与应用数学

双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计

摘要

随着社会经济的高速发展人们的生活水平不断地提高，人们的住房也是越来越好，住房的薄壳屋盖的制作、造型设计在随着科技的发展而在不断地改进，由原来的砖瓦改变为双曲抛物面，钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点，在厂房、商场、影剧院等民用建筑广泛应用，本文就是研究双曲抛物面薄壳屋盖的特点，通过模型假设预应力钢筋理想化为一维的直线. 利用双曲抛物面是直纹面的特点来了解双曲抛物面薄壳屋盖的各个特点以及假设圆柱形预应力钢筋的模型来了解双曲抛物面薄壳屋盖的特点，从而研究双曲抛物面薄壳屋盖进一步来了解双曲抛物面得的一些特点，从而扩充我 们的几何知识。通过上述模型来展示其是一种实用、美观的屋盖造型。 关键词：双曲抛物面 直母线 锚固面 预应力钢筋

1 问题的背景

在人们日常生活中住房问题是一个比较重要的问题，如何使得我们的住房比较舒服，在随着社会的发展也是越来越重要，现在许多的人们都在追求使得自己的生活过的舒服，住房美观实用，在过去的瓦房到现在的平房的改变，屋盖的制作、造型设计也在不断地 创新。如何使得我们的屋盖即能实用、又能美观的屋盖造型。

2 问题的重述

现在大多数屋盖都采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑. 其数学表示由下面两个曲面 和 以及平面 围成的空间区域构成.

2??x?2y????fx???fy??+ ?b?2??a???x?a,y?bz2(x,y)??2?y????+ ?fx?fy??b?2???a?x?a??,?a???x??a,y?b

z1(x,y)?z2(x,y)?? 其中的参数, 例如, 可以是

fx?0.6 m; fy?0.26 m; a?1.48 m; b?8.25 m; ?=0.025 m; ?=0.11 m.

把直径为6 mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线 的临近处从原点(0,0,0)往左右

两边沿马鞍面的两族直母线配筋, 然后再浇注混凝土或树脂1. 就上述单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方法 解决以下问题： 【1】（1）：把预应力钢筋理想化为一维的直线. 利用双曲抛物面是直纹面的特点, 把预

应力钢筋安置在两族直母线处, 即在跨中端面处抛物线 上的点处安放两族直母线钢筋. 并固定(锚固)在过原点的直母线与平面 ( )相交的点处与该直母线垂直的锚固面上. 通过模型的求解来求解以下几个问题:

a. 能安排多少根过点 的直母线钢筋. 写出这些空间直线的方程, 并 图示之.

b. 写出锚固面的方程, 并写出直母线和锚固面的交点的表示式. c. 求出直母线之间的交点的表示式.

d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋.

e. 根据前面的数据以及 , 具体计算a – d.

f. 编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件). （2）；如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线，请通过模型的求解来求解以下几个问题：,

a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在 临近的哪些点处. 写出这些 中心轴线的方程, 并图示之.

b. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式.

c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交. 它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投 是可以相交的, 写出交点的表示式. 计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离, 要尽可能小(最好为零). d. 编制一个通用的程序(软件).

3 模型的假设

（1）：假设能把预应力钢筋理想化为一维的直线。 （2）:假设每个屋盖都是双曲抛物面薄壳。 （3）:假设问题所给数计都是相当精确的。 （4）：圆柱形预应力钢筋都是没有弯曲的。 （5）：假设圆柱形预应力钢筋不会产生形变。

4模型符号说明

n3n4nn21 ， ， ，为平面的法向量

nu，

nv，

mu，

mv为直线的方向向量

u，v参数

r预应力钢筋半径

A，B代换量

a,b,fx,fy,?,l1,?为已知参量

x，y，z为未知数

k1,k2,c1为未知参量

5 模型的分析和求解

通过假设把预应力钢筋理想化为一维的直线，则几何知识可知单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题。

2??k?x??k?x,fx?????a?????的直母线钢筋. 写出这些空间直线的方程。 a. 能安排多少根过点

由题目中所给的

xy?z2(x,y)?fx()2?fy()2?,(x?a,y?b)ab2 我们对

双曲抛物面薄壳屋盖进行简化，暂时忽略其厚度，就是对其的正中间的截面进行分析。

设：

xyz?fx()2?fy()2ab

为计算简便我们令

b2a22B?A?fyfx，

2将其为为标准型来研究， 得：

x2y2z?2?2AB

由于预应力钢筋安置在两族直母线处，所以我们需求出双曲抛物面的两族直母线的表达

式。

x2y2xyxyz?2?2?(?)(?)ABABAB

xyxy??u??v 令AB 令 AB

xyxy??z?(?)uz?(?)v????ABAB??xy???u?x?y?v?AB?AB 得：? 得：?

在空间中我们无法得出问题的答案，所以我们需要将两族的直母线投影到x?y平面上，于是我们需要验证同族直母线的投影是互相平行的，从两族的直母线的表达式中我

们不难发现两族的直母线是由两个面相交得到的，则直母线的方向向量就由这两个平面的法相量的向量积得到。 1．求U族直母线的方向向量:

?1:?11xyn1?(,?,0)??u?0ABAB， 其法相量为 ?uuuun2?(,,?1)x?y?z?0ABAB ，其法相量为

?2:??ij???11n3?n1?n2??ABuuAB

?112un3?(,,)BAAB U族直母线的方向向量：

?k1?1?2u?0?i?j?kBAAB?1

2．求V族直母线的方向向量：

?1:?xy11??v?0n1?(,,0)ABAB， 其法相量为： ?vvvvx?y?z?0n2?(,,?1)ABAB ， 其法相量为：

?2:??ij???11n3?n1?n2?ABvv?AB

?112vn3?(?,,?)BAAB V族直母线的方向向量：

?k1?1?2v?0??i?j?kBAAB?1

由所求的两族直母线的方向向量可知在x?y平面上，同族的直母线的投影是互相平行的。我们选取其中的一族作为研究的对象，在这里我们选取U族进行研究。

在x?y平面上的投影直母线的方向向量为：

?112un3?(,,)BAAB

则在x?y平面上的投影的斜率为：

1Bk?A?1AB

由斜率我们可以为建立方程投影的方程为:

y?Bx?n1A

图（1） 图（2）

由图（1）可知并非同一族的直母线都可以安置预应力钢筋的。只有能在两端固定的直母线才可以，又由图（2）可知过矩形顶点的直母线的投影的方程所过的点为（a,b）。求出该边上的直线后，求出其在x轴上的截距，用该截距除以之间的间距?x，便可算出原点一边的所用的预应力钢筋的数目，而将一边的钢筋数目乘2加1，便是一个族所具有的预应力钢筋的数目，由图形的对称性可知，所有的钢筋数目为一个族的两倍。 取点（a,b）得：

Bn1?b?aA

则直线方程为：

BBy?x?(b?a)AA 当y?0时，在x轴上的截距为：

a?AbB

已知每一条母线之间的间隔为?x：

Ab??a??B?m????x???? 则一共可安放过点

(k?x,fx(k?x2))a的直母线钢筋数为：

Ab??a??B??2n?4???x????

由于两族直母线过空间点

(k?x,0,fx(k?x2))a（k?0,?1,...,?m，m已知），便将点带入

两族直母线的表达式中，可求的u,v，于是便得到了这些安放的直母线钢筋的方程。

xyxy??z?(?)uz?(?)v????ABAB??xyxyk?x2????u??v(k?x,0,fx())??a 将点带入?AB 和 ?AB中，

得：

u?kfxA?xfxA?xv?ka2，a2

则：

U族中安放的直母线钢筋的方程为：

xyfxA?x?z?(?)k??ABa2(k?0,?1,...,?m)?fA?xxy???kxa2?AB ?

V族中安放的直母线钢筋的方程：

xyfxA?x?z?(?)k??ABa2(k?0,?1,...,?m)?fA?xxy???kxa2?AB ?

b. 写出锚固面的方程, 并写出直母线和锚固面的交点的表示式.

已知锚固面是与过原点(0,0,0)的直母线互相垂直的，由此我们可知锚固面的法相量便是该直母线的方向向量。又知该直母线与平面y??b?l1相交，而该交点也在锚固面上，这样就不难求出锚固面的方程。 过原点(0,0,0)的直母线方程：

B??y?xA?? ?z?0

A((?b?l1),?b?l1,0) 直母线与平面y??b?l1的交点为：B

11(,,0) 根据锚固面的法向量为过(0,0,0)U族的直母线的方向向量BA设锚固面的方

程为：

11x?y?D?0A B

当

x?A(?b?l1),y??b?l1B时，得：

1?A?D???2(?b?l1)?(?b?l1)?A?B?

则锚固面的方程：

111?A?x?y??2(?b?l1)?(?b?l1)??0AA?B? B

为求直母线与锚固面的交点，只需将直母线的方程与锚固面的方程联立即可。

U族直母线与锚固面的交点的表达式：

?xyfxA?xz?(?)k?2ABa?fxA?x?xy(k?0,?1,...,?m)???k2ABa??111?A?x?y?(?b?l)?(?b?l)?011?2??AA?B? ?B V族直母线与锚固面的交点的表达式：

?xyfxA?xz?(?)k?2ABa?fxA?x?xy??k(k?0,?1,...,?m)?2a?AB?111?A?x?y?(?b?l)?(?b?l)11??0?2?BABA?? ?

c. 求出直母线之间的交点的表示式.

我们知道同族的直母线之间是不可能相交的，只可能是异族的直母线才可能有交点。为求直母线之间的交点，可先求出其在x?y平面上的投影方程之间的交点坐标，又因为直母线之间的交点满足双曲抛物面的方程，便可将之前求出的x,y带入双曲抛物面的方程中，这样就可以求出直母线之间的交点。 我们可以设U族直母线投影的方程为：

By?x?n1A 由于投影方程过点(k1?x,0)，带入上述方程中得：

得方程：

BBy?x?k1?x,(k1?0,?1,...,?m)AA

同理设V族直母线投影的方程为：

n1??Bk1?xA

由于投影方程过点(k2?x,0)，带入上述方程中得：

得方程：

BBy??x?k2?x,(k?0,?1,...,?m)AA

两方程联立得

BB?x??y?x?k?xx?(k1?k2)1????AA2??(k1,k2?0,?1,...,?m)?BBB?x?y??x?k?x?y?(k2?k1)2??AA?2A ? x2y2z?2?2AB，将上述求的的x,y带入，则交点坐标为： 以知

?xB?x?x222((k1?k2),(k2?k1),2(k1?k2)),(k1,k2?0,?1,...,?m)2A2A 2

n2?Bk2?xA

y??Bx?n2A

d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋. 要求直母线和锚固面的法线之间的夹角，我们已知的是锚固面的法相量，还知道各族的直母线的方向向量，根据解析几何中求两直线的夹角的公式，就不难求出直母线和锚固面的法线之间的夹角。

11(,,0) 已知锚固面的法向量为BA

112u(,,)BAAB 1．U族直母线的方向向量为，根据公式得：

cos??

11?fA?xB2A2,(u?kx2,k?0,?1,...,?m)a114u211???B2A2ABB2A2

(?112v,,?)BAAB，根据公式得：

2．V族直母线的方向向量为

?cos??

11?fA?xB2A2,(v?kx2,k?0,?1,...,?m)a114v211???B2A2ABB2A2

e.当?x?0.1 m时，其a,b,c,d的结果是：

a: 钢筋条数：

A?a/A?b/B?2*[]?1?11?x

2?4*[A*?a/A?b/B?]?22?x

?669726181?????8250*15,?20,0???

?669726181????8250*15,20,0??和b: 交点为：?

226?669726?515?181?????x?*y????0?165?8250153720???? ?226?669726?515?181??x???*y????0??165?825015?37?20?

?669726181??669726181???????8250*15,20,0??8250*15,?20,0??和?? 交点为：?C:

AB?(k1?k2),(k1?k2),z?x,y???20?20?37165??*(k1?k2),*(k1?k2),4k1k2???4026? ?10015

?x,y,z?x,y??????d:

?mu?nu?arccos?m?n?uuarccos??arccos??arccos?????0.27774258958634140.0771409460695714?0.0021830901092387u2

mv?nv???mv?nv??0.27774258958634140.0771409460695714?0.0021830901092387v2

f:给出一些简单的计算程序： 求U族直母线的方向向量:

?1:?11xyn1?(,?,0)??u?0ABAB， 其法相量为 ?uuuun2?(,,?1)x?y?z?0ABAB ，其法相量为

?2:

??ij???11n3?n1?n2??ABuuAB

?112un3?(,,)BAAB U族直母线的方向向量：

?k1?1?2u?0?i?j?kBAAB?1

2．求V族直母线的方向向量：

?1:?xy11??v?0n1?(,,0)ABAB， 其法相量为： ?vvvvx?y?z?0n2?(,,?1)ABAB ， 其法相量为：

?2:??ij???11n3?n1?n2?ABvv?AB

?112vn3?(?,,?)BAAB V族直母线的方向向量：

?k1?1?2v?0??i?j?kBAAB?1

由所求的两族直母线的方向向量可知在x?y平面上，同族的直母线的投影是互相平行的。我们选取其中的一族作为研究的对象，在这里我们选取U族进行研究。

在x?y平面上的投影直母线的方向向量为：

?112un3?(,,)BAAB

则在x?y平面上的投影的斜率为：

1Bk?A?1AB

由斜率我们可以为建立方程投影的方程为:

y?Bx?n1A

图（1） 图（2）

由图（1）可知并非同一族的直母线都可以安置预应力钢筋的。只有能在两端固定的直母线才可以，又由图（2）可知过矩形顶点的直母线的投影的方程所过的点为（a,b）。求出该边上的直线后，求出其在x轴上的截距，用该截距除以之间的间距?x，便可算出原点一边的所用的预应力钢筋的数目，而将一边的钢筋数目乘2加1，便是一个族所具有的预应力钢筋的数目，由图形的对称性可知，所有的钢筋数目为一个族的两倍。 取点（a,b）得：

Bn1?b?aA

则直线方程为：

BBy?x?(b?a)AA 当y?0时，在x轴上的截距为：

a?AbB

已知每一条母线之间的间隔为?x：

Ab??a???Bm????x???? 则一共可安放过点

(k?x,fx(k?x2))a的直母线钢筋数为：

Ab??a???Bn?4???2?x????

1.2 当圆柱形预应力钢筋不能简化为直线。

?x?z?fx???a?临近的哪些点处. 写出这些中a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在心轴线的方程。

2?x?xz?fx??(k?x,0,fx()2)?a?,则其坐标为a 假设圆柱形预应力是直线的话，则中心轴线经过由于预应力钢筋的半径无法忽略，所以其中心轴便相当于经过平移后形成一条新的抛物线上的点，平移后其方向向量没有改变。假设平移后的坐标为(p,0,q)，原有坐标与现有坐标的关系为：

2fxk?x?p?k?x???12?k?x2a)?q?fx(a??k?x22?(p?k?x)2?(q?fx())a? 2 设平移后U族，V族的直母线经过的坐标为：(p,0,q) 两个族的方向向量：

112u112v(,,)(?,,?)BAABBAABU族的方向向量： V族的方向向量：

因为中心轴方程经过点(p,0,q)，根据直线的标准方程可知： U族的中心轴方程为：

x?pyz?p??112uAAB BV族的中心轴方程为：

x?pyz?q??112v??AAB Bb. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式.

要求出中心轴线和锚固面的交点只需要将两个方程联立即可。 U族中心轴与锚固面的交点的表示式：

?x?pyz?q?1?1?2u?AAB?B?111?A?x?y?(?b?l)?(?b?l)?0?112??AA?B??B

V族中心轴与锚固面的交点的表示式：

z?q?x?py???112v???AAB?B?111?A?x?y?(?b?l)?(?b?l)?0?112??AA?B??B

c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交。它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投影是可以相交的,计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离,要尽可能小(最好为零)。

要求两根圆柱形预应力钢筋之间的距离，便是要求空间中两根直线之间的距离，根据解析几何中计算两直线的距离的公式，我们可以求出两根圆形预应力钢筋之间的距离，但是还要减去两圆柱形预应力钢筋的半径r。

设U族经过的点为：?p1,0,q1?，V族经过的点为?p2,0,q2?

112v112u(?,,?)(,,)BAABBAAB U族方向向量，V族方向向量

根据公式得：

d?p1?p21B1?B20q1?q212uAAB12v?AAB11B?B11??BB2

两个半圆柱形预应力钢筋之间的距离为： s12u2uAAB?AB12v2v??AABAB1A1A 2?d?2r

6 模型评价

模型的优点： （1）：模型通过一些合理的假设将模型简化，使得模型更加的简单，易解决问题。 （2）：模型更加全面介绍双曲抛物面和直母线的一些特性而且使得模型更模型给出了一些数计，让读者能过更加清楚的了解一些有关双曲抛物面性质。

（3）:模型给出了一些简单的程序使得以后碰到相同的问题能够大概算出结果。 模型的缺点： （1）：计算存在一些误差，使得结果不够精确。 （2）：模型只能解决一些简单的问题；不能解决一些俄复杂的问题。

（3）:模型只能给出一些简单的计算程序和一些简单的双曲抛物面性质和一些关系式。 【参考文献】： 【1】《数学分析》 华东师范大学数学系编 高等教育出版社。北京：2010年6月第4版 【2】《解析几何》 任明明，张世金编 中国时代经济出版社。2007年5月 【3】《数学模型》 姜启源编著 北京：高等教育出版社．2003年 【4】《运筹学》（第三版）甘应爱等编著 北京：清华大学出版社，2005年 【5】《数学模型引论》唐焕文，贺明峰编著 北京： 高等教育出版社．2005年 【6】《最优化方法》何坚勇编著 北京：清华大学出版社．2007年

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xmi7.html