现代控制理论 第1章习题解答

《现代控制理论》第1章习题解答

1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：

??Ax?Bux

y?Cx?Du线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A，B，C和D中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A，B，C和

D中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，

而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。

1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:

传递函数模型（经典控制理论） 仅适用于线性定常系统 用于系统的外部描述 基于频域分析

1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？

答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n阶传递函数

状态空间模型（现代控制理论） 适用于线性、非线性和时变系统 用于系统的内部描述 基于时域分析 bn?1sn?1?bn?2sn?2???b1s?b0G(s)??d， nn?1s?an?1s???a1s?a0分别有

?1?0??00?????????x⑴ 能控标准型： ??0?0?????a0?a1???y??b0b1???0??1???????0?x⑵ 能观标准型： ????????0???y??0

01?0?a2bn?20??0??0??0???????x????u???

?1??0????an?1???1??bn?1?x?du?0?00?01?0???0?10?0?a0??b0??b??a1??1???????u?a2?x?? ???b?n?2??b??an?1???n?1???du1?x1

??p10?0??1???0p?0??1?2?x??x???u???????? ????⑶ 对角线标准型： ??????00?p?1?n?????y??c1c2?cn?x?du式中的p1,p2,?,pn和c1,c2,?,cn可由下式给出，

bn?1sn?1?bn?2sn?2???b1s?b0cnc1c2G(s)??d??????d

sn?an?1sn?1???a1s?a0s?p1s?p2s?pn能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。

能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？

答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。

1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D不等

于零，其参数如何确定？

答: 当传递函数G(s)的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D不等于零。

转移项D的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数

bnsn?bn?1sn?1???b1s?b0 G(s)?nn?1s?an?1s???a1s?a0 可得：

cn?1sn?1???c1s?c0G(s)?n?d n?1s?an?1s???a1s?a0由此得到的d就是状态空间实现中的直接转移项D。

1.6 在例1.2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，

试问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？ 答: 将图1.12中的两个环节调换后的系统方块图为： 图中，

ub(s)m1a(s)y112?3，b(s)?bs?b1s?b0。 22a(s)s?a2s?a1s?a0

2

由于s?3y相当于对y作3次积分，故

a0y1可用如下的状态变量图表示： ?ma(s)m??a1??a2??y

2 b作2次微分，故因为sb相当于对

m?b(s)可用如下的状态变量图表示: uddtb2

因此，两个环节调换后的系统状态变量图为

进一步简化，可得系统状态变量图为

a0b0b1uddtddtb1mb0uddtddtddtb1b2m?a0?a1??a2??yb0ub2??x1?a1?x2?a2?x3y 3

??x1，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为 ??x2，?取y?x3，yy?0???1x???0y?[0两个环节调换前的状态空间模型是：

0?a0??b0?0?a1?x??b1?u???

1?a2????b2??01]x10??0?0??x??0?u???0x01????

????a0?a1?a2???1??y?[b0b1b2]x显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。 1.7 已知系统的传递函数

Y(s)s?6?2 U(s)s?5s?6试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。 答： 系统的能控标准形为:

??01??0???x???x??1?u?6?5???? ??y?61x??? 系统的能观标准形为:

???0?6??6???x?x???1?5??1?u???? ??y?01x????1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，

u2x2x1u1

图1.18 二阶水槽装置图

该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：

4

u1u2b2s?a2x2b1s?a1x1

图1.19 二阶水槽系统的方块图

试确定其状态空间模型。

答：图1.19中两个环节的状态空间模型分别为:

?2??a2x2?b2u2?x 和 ?y?x2?2又因为u?u1?x2，所以

?1??a1x1?b1u?x ?y?x1??1??a1x1?b1x2?b1u1 x?2??a2x2?b2u2 xy?x1

进一步将其写成向量矩阵的形式，可得：

?1???a1?x?x???0??2??b1??x1??b10??u1? ?????????a2??x2??0b2??u2??x1?y??10???

?x2?1.9 考虑以下单输入单输出系统:

?y???6???11y??6y?6u y试求该系统状态空间模型的对角线标准形。 答： 由微分方程可得:

G(s)?其中，

c3c1c266????

s3?6s2?11s?6(s?1)(s?2)(s?3)s?1s?2s?36?3

s??1(s?2)(s?3)6c2?lim??6

s??2(s?1)(s?3)6c3?lim?3

s??3(s?1)(s?2)c1?lim故该系统状态空间模型的对角线标准形为:

?1???100??x1??1??x?x?2???0?20??x2???1?u ??????????3?0?3??x???0???x3????1???x1??

y??3?63??x?2???x3??

5

1.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:

??(t)?4y?(t)?3y(t)?u??(t)?6u?(t)?8u(t) y试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；

（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。

答: （1）由微分方程可得:

s2?6s?82s?5G(s)?2?1?2

s?4s?3s?4s?3记

G1(s)?c1c22s?52s?5???，

s2?4s?3(s?1)(s?3)s?1s?3其中，

2s?532s?51?，c2?lim?。

s??1s?3s??3s?122从输入通道直接到输出通道上的放大系数d?1，由此可得:

?1???10??x1??1??x?????u ?x??????2??0?3??x2??1?c1?lim?31??x1?y????x??u 22???2??1???10??31?（2） 由于A??，，，D?1，因此 C?B???????22??0?3??1?G(s)?C(sI?A)?1B?D??1?3(s?1)(s?2)??21.50.5??1s?1s?31??s?30??1???1??1 s?1?2???0??? 1.11 已知系统的传递函数为

G(s)?2s?5

(s?3)(s?5)（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将G(s)重新写成下述形式：

G(s)?每一个环节的状态空间模型分别为：

12s?5? s?3s?5?2??5x2?u1?x??y??5x2?2u1

?1??3x1?u?x 和 ?y?x1?1又因为y1?u1， 所以

?1??3x1?u?x ???x2?x1?5x2y?2x1?5x2

6

因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：

?1???30??x1??1??x?x???1?5??x???0?u ???2????2???x?y??2?5??1?

?x2?对应的状态变量图为：

2u?1x??3x1?2x?? x25?y5

（2）将G(s)重新写成下述形式：

G(S)?每一个环节的状态空间模型分别为：

?0.52.5? s?3s?5?1??3x1?0.5u?x ?y?x?11?2??5x2?2.5u?x ??y2?x2又由于

?1??3x1?0.5u?x ???x2??5x2?2.5uy?y1?y2?x1?x2

因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：

?1???30??x1???0.5??x?x???0?5??x???2.5?u ???2????2???x?y??11??1?

?x2?对应的状态变量图为：

2.50.5??1x??3x1yu?2x??5x2

7

??Ax?Bu,y?Cx，写出该系统的特征多项式和传递1.12 已知系统的状态空间模型为x函数矩阵。

答: 系统的特征多项式为det(sI?A)， 传递函数为G(s)?C(sI?A)?1B。

1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟

一？

答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。

??Ax?Bu,y?Cx，写出其对偶状态空间模型。 1.14 已知系统的状态空间模型为x答: 其对偶状态空间模型为:

??AT~?~xx?CTu ?T~?y?Bx1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？

??Ax?Bu?x答: 对于互为对偶的 ? 与

y?Cx???AT~?~xx?CTu，它们对应的特征多项式分别为?T~y?Bx?det(sI?A)和det(sI?AT)。由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两

个状态空间模型具有相同的特征多项式。 它们对应的传递函数分别为

C(sI?A)?BG1(s)?C(sI?A)B?

det(sI?A)?1BT(sI?AT)?CTG2(s)?B(sI?A)C?

det(sI?AT)TT?1TT由于det(sI?A)?det(sI?A)，C(sI?A)B???T?BT(sI?AT)?CT，故对偶状态空间模

型之间的传递函数关系为G1(s)?G2(s)T，即互为转置。 1.16 考虑由以下状态空间模型描述的系统:

1??0?0??x???x??1?u

?6?5????y?[11]x试求其传递函数。 答: 由于

G(s)?C(sI?A)?1B?D?C(sI?A)?1B

?s?51?1?1 (sI?A)???s(s?5)?6??6s?故

8

G(s)?s?51??0?11s?1 ?11???(s?1)?????22s(s?5)?6s?5s?6??6s??1?s?5s?61.17 给定系统的状态空间模型:

?0???0x????1?1y???0求系统的传递函数矩阵。

10??00??10?u?43?x??????1?2???01??

00?u01?? 答: 系统的传递函数为G(s)?C(sI?A)?1B。由于

(sI?A)?1因此，

0??s?1???0s?4?3???1s?2??1??1?s2?6s?11s?23?1??2?3?3s?2s3s ??2s?6s?11s?3?2?s?4?s?1s?4s???G(s)?C(sI?A)?1B

?s2?6s?11s?23??00?100???1???2?3?3s?2s3s10????? s?6s2?11s?3?001??2??s?4?s?1s?4s??01?????3??s?21?3?? 2s?6s2?11s?3??s?1s?4s?1.18 试用MATLAB软件求出下列传递函数的状态空间实现:

10s2?47s?160G(s)?3 2s?14s?56s?160 答: 执行以下的m-文件：

num=[0 10 47 160]; den=[1 14 56 160]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

得到：

??14?56?160??1??， B??0?， C??1047160?， D?0

A??100??????10??0??0??由此可知：

?1???14?56?160??x1??1??x?x??x???0?u ?2???100?????2?????3?10??x???0???x3????0?? 9

?x1??

y??1047160??x2????x3??1.19 试用MATLAB软件求以下系统的传递函数:

?1??010??x1??0??x??????x???1?ux??1?102?????2?????x?3????100????x3???x1?y?[100]??x?2???x3?? 答: 执行以下m-文件：

A=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0];

B=[0;1;0];

C=[1 0 0]; D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

可得：

num = 0 0 1.0000 0 den = 1.0000 1.0000 1.0000 0

因此，系统的传递函数为

G(s)?ss3?s2?s1.20 试用MATLAB软件求以下系统的传递函数:

???x1??210??x1??0?x?????2?020x???1??x??????2??3???013????x3????0?x1?y?[001]??x?2???x3??答: 执行以下的m-文件：

A=[2 1 0;0 2 0;0 1 3]; B=[0 1;1 0;0 1]; C=[0 0 1]; D=[0 0];

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) 可得要求的两个传递函数是

10

??0??

1?0???u1?1????u?2?

Y(s)s?2 ?3U1(s)s?7s2?16s?12Y(s)s2?4s?4 ?32U2(s)s?7s?16s?12??Ax?Bu,y?Cx，1.21 已知系统的状态空间模型为x取线性变换阵为P，且x?Px，

写出线性变换后的状态空间模型。

??Ax?Bu,y?Cx，得 答: 把x?Px代入x??APx?BuPxy?CPx因此，线性变换后的等价状态空间模型为：

??P?1APx?P?1Buxy?CPx

1.22 线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。 答: 假设系统的状态空间模型为

??Ax?Buxy?Cx?Du经过线性变换x?Tx后，系统的状态模型变为：

??Ax?Buxy?Cx?Du其中，

A?TAT?1，B?TB，C?CT?1，D?D

由于

det(sI?A)?det(sI?TAT?1)?det(sTT?1?TAT?1)?det(T)det(sI?A)det(T?1)?det(sI?A)故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。 1.23 已知以下微分方程描述了系统的动态特性:

????2y?u y?3y?，写出系统的状态方程； （1） 选择状态变量x1?y,x2?y（2） 根据（1）的结果，由以下的状态变换:

x1?x1?x2x2??x1?2x2?可得 答: (1) 由x1?y,x2?y

确定新的状态变量x1,x2，试写出关于新状态变量x1,x2的状态空间模型。

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?1?x2?x??2??3x2?2x1?u ?x?y?x1?写成矩阵向量形式，可得

?1??0??x1??x1??0?????u??????????x2???2?3??x2??1? ?x?y??10??1??x???2?? (2) 由于x1?x1?x2,x2??x1?2x2，即

?x1??11??x1??x????1?2??x?

??2??2??容易验证这是一个等价线性变换，故可得

?1???10??x1??1???x????????x????1?u0?2x??2????2??? ??y??11??x1??x???2??1.24 给定系统

1??0?0??x???x??d?u?a?b???? y??100?x试确定参数a,b和d的值，以使得该系统模型能等价地转换成以下的对角型

??30??1????zz???1?u0?1???? y???55?z答: 由对角型状态空间模型可知

G(s)??551010???2 s?3s?1(s?3)(s?1)s?4s?3G(s)?10d

s2?bs?a而从原状态空间模型则可得传递函数

由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，故经比较系数可得：

a?3b?4 d?11.25 已知系统的传递函数为

s2?s?2G(s)?3

s?2s2?2s

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试用部分分式法求其状态空间实现。（由于存在复数极点，可导出模态标准型实现） 答: 用部分分式法分解传递函数

s2?s?2s2?s?2s2?s?2 G(s)?3??22s?2s?2ss(s?2s?2)s(s?1?j)(s?1?j)所以p1?0,p2??1?j,p3??1?j

根据公式ci?limG(s)(s?pi)可得

x?pic1?1，c2?所以传递函数的一个状态空间实现为

1?1，c3? 2j2j??x1??1???x???1?u??2???j????x3????1???1??000?x?x?2???0?1?j0?????3?0?1??x???0?x1??11???y??1???x2?2j2j????x3??A=[0 0 0;0 -1-i 0;0 0 -1+i]; B=[1;1;1];

C=[1 -0.5*i 0.5*i]; D=0;

使用MATLAB函数canon(A,B,C,D)可导出模态标准型。执行以下的m-文件：

[Ab,Bb,Cb,Db,P]=canon(A,B,C,D,'companion') 可得

?0?(t)??1x???0y(t)??100??1??0?u(t)0?2?x(t)???? ??1?2?0????12? 13

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