2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数：第3章第21讲 数列的应用

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数列与函数、不等 式知识的综合应用【例1】 Sn 已知数列 an 的前n项和为Sn,点(n, )在直 n 1 11 线y= x+ 上.数列 bn 满足：bn+2-2bn+1 2 2 +bn=0(n N* ),且b3=11,前9项和为153.

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1 求数列 an ,bn 的通项公式； 3 ,数列 cn 的 2 设cn= 2an 11 2bn 1 k 前n项和为Tn,求使不等式Tn 对一切 57 n N*都成立的最大正整数k的值.

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Sn 1 11 【解析】1 因为点(n, )在直线y= x+ 上， n 2 2 Sn 1 11 1 2 11 所以 = n+ ,即S n= n + n, n 2 2 2 2 从而得an=S n-S n-1=n+5. 因为bn+2-2bn+1+bn=0(n N* ), 所以bn+2-bn+1=bn+1-bn= =b2-b1. 所以数列 bn 是等差数列. 因为b3=11,它的前9项和为153,设公差为d, 9 8 则b1+2d=11,9b1+ d=153, 2 解得b1=5,d=3.所以bn=3n+2.

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3 2 由 1 得，cn= 2an 11 2bn 1 1 1 1 1 = = ( ) 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn=c1+c2+c3+ +cn 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- )+ ( - )+ ( - )+ + 2 3 2 3 5 2 5 7 1 1 1 1 1 ( - )= (1- ) 2 2n 1 2n 1 2 2n 1

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1 1 因为Tn= (1- )在n N*上是单调递增的， 2 2n 1 1 所以Tn的最小值为T1= . 3 k 因为不等式Tn> 对一切n N*都成立， 57 k 1 所以 < ,所以k<19. 57 3 所以最大正整数k的值为18.

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(1)利用通项与前n项和的关系求数列{an}的 通项公式；由等差中项可知{bn}是等差数列，由 题意可以求出首项和公差，进而求出通项公式； (2)使不等式Tn>k/57对一切n∈N*都成立，此 题中的不等式给出的形式就是右边含参数k,左 边是关于n的函数关系，即本身已经分离了参数， 所以只要(Tn)min> k/57,只要直接求有关数列的 最值.判定数列的单调性，可以由其对应函数的 图象判定，也可以比较数列中第n+1项与第n项 的大小判定.

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【变式练习】 1 (2010 苏州市高考信息卷) 设f x =x3,等差数列 an 中，a3=7,a1+ a2+a3= ,记Sn=f ( 3 an 1 ).令bn=an S n,数 12 1 列{ 的前n项和为Tn . bn 1 2 求证：Tn . 3

1 求 an 的通项公式与Sn;

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【解析】1 设数列 an 的公差为d . 由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12, 解得a1=1,d=3,所以an=3n-2. 因为f x =x 3,所以S n=f ( 3 an 1 )=an+1=3n+1.

2 证明：因为bn=an Sn=(3n-2)(3n+1),1 1 1 1 1 所以 = = ( ), bn (3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1 1 1 1 所以Tn= (1- ) . 3 3n 1 3

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数列中的探索性 问题【例2】 各项均为正数的数列 an 的前n项和为S n, 1 2 1 S n= an+ an (n N* ). 4 2 1 求an;

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an n为奇数 2 令bn= b n为偶数 ,

cn=b2n+4 (n N* ), n 2 求 cn 的前n项和Tn;

3 令bn= qan+ ( 、q为常数，q 0且q 1),cn=3+n+(b1+b2+ +bn ).是否存在实数对 ( ,q),使得数列 cn 成等比数列？若存在， 求出实数对( ,q)及数列 cn 的通项公式；若 不存在，请说明理由.

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1 2 1 1 2 1 【解析】1 a1=S1= a1 + a1 a1 + a1 0. 4 2 4 2 因为a1 0,所以a1=2; 1 2 1 1 2 1 当n 2时，an=S n-S n-1= an+ an- an 1 - an 1 , 4 2 4 2 1 2 2 1 (an-an 1 ) (an an 1 ) 0, 4 2 即(an+an-1 )(an-an-1-2)=0. 因为an 0,所以an-an-1=2, 所以 an 为等差数列， 所以an=2n(n N* ).

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2 c1=b6=b3=a3=6,c2=b8=b4=b2=b1=a1=2. 当n 3时，cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1 =a2n-2+1=2n-1+2, 此时，Tn=8+(22+2)+(23+2)+ +(2 n-1+2) =2n+2n; 6(n 1) 所以Tn= n . 2 +2n(n 2且n N*)

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3 cn=3+n+ q2

q (1 q )2 2n

1 q

2

+ n

=3+ - +( +1)n. 2 2 1 q 1 q2 q 1 0 3+ 2 令 1 q 3. +1 0 q 2

q2n 2

3 3 n+1 所以存在( ,q)=(-1, ),cn=4 ( ) . 2 4

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应用递推公式时要注意下标是 正整数，即要注意n的取值范围；对 等差数列和等比数列的通项公式和 前n项求和公式的特征要熟练掌握并 且能够应用.本题(3)也可以从特殊 到一般，先由c1 ,c2 ,c3 成等比数列， 求出(λ,q),再代入检验.

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【变式练习2】 已知数列 an 是公差为d的等差数列，它的 前n项和为Sn;等比数列 bn 的前n项和为Tn . 1 1 4 若a1= ,S4=2S2+4,b2= ,T2= ,是否 2 9 9 存在n N*,使得Sn+Tn=2010?若存在，求 出来；若不存在，说明理由.

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【解析】由S 4=2 S 2+4, 得4a1+6d=4a1+2d+4,解得d=1. 1 n(n 1) n2 又a1= ,所以S n=na1+ d= ; 2 2 2 1 4 1 由b2= ,T2= ,得b1= , 9 9 3 1 所以等比数列 bn 的公比q= , 3 1 1 (1 n ) 3 3 = 1 (1 1 ). 所以Tn= 1 2 3n 1 3

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若存在n N*,使得S n+Tn=2010, 1 代入化简得n - n =4019, 3 显然n N*时无解，即不存在n N*,2

使得S n+Tn=2010,

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