2012年东北三校第一次模拟考试（理科数学含答案）word版

哈 东

师大附中 北师大附中 2012年高三第一次联合模拟考试 辽宁省实验中学 理 科 数 学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设集合A?{x|?x?3x?0}，B?{x|x??1}，则A?B?（ ）

A．{x|?3?x??1} B．{x|?3?x?0} C．{x|x??1} D．{x|x?0} 2．已知

2x?1?yi，其中x，y是实数，i是叙述单位，则x+yi的共轭复数为（ ） 1?iA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i 3．直线x?ay?1?0与直线(a?1)x?2y?3?0互相垂直，则a的值为（ ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

2*4．“??1”是“数列an?n?2?n(n?N)为递增数列”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x2?y2?1的左焦点为F，P为椭圆上一点，其坐标为3，则|PF|（ ） 5．设椭圆4A．

1357 B． C． D． 2222aaa6．等差数列{an}中，a5?a6?4，则log2(21?22???210)?（ ）

A．10 B．20 C．40 D．2+log25

7．某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的k值是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）

11 B． 151212C． D．

23A．

????????9．在?ABC中，?BAC?60?，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则AE?AF?（ ）

A．

551015 B． C． D． 349835，sin(???)?，则cos?

5510．设?、?都是锐角，且cos??A．

2525 B． 25525252525或 D．或 255525C．11．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2?x)?f(2?x)，当x?[?2,0)时，

f(x)?(2x)?1，若在区间(?2,6)内的关于x的方程f(x)?loga(x?2)?0（a>0且a≠1）2恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A．(,1) B．(1,4) C．(1,8) D．(8,??) 12．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，?ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S—ABC的体积的最大值为（ ）

A．3 B．

14133 C． D． 323第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．由曲线y?2x2，直线y??4x?2，直线x?1围成的封闭图形的面积为__________。 14．如右图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为__________。

x2y215．存在两条直线x??m与双曲线2?2?1(a?0,b?0)aa相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。

16．已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x,y)为平面区域

?x?y?2??????????上的一个动点，则|OA?OM|的最小值是?x?1?y?2?__________。

三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知y?f(x)函数的图象是由y?sinx的图象经过如下三步变换得到的： ①将y?sinx的图象整体向左平移

?个单位； 61； 2②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍。 （1）求f(x)的周期和对称轴；

（2）在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)?2，c?1，ab?23，且a>b，求a，b的值

18．（本小题满分12分）

某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500) 单位：元）

（1）估计居民月收入在[1500，2000)的概率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500)的居民数X的分布和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD—A’B’C’D’，DD’⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD’=3AD，E、F分别是AB、D’E的中点。

（1）求证：DF⊥CE；

（2）求二面角A—EF—C的余弦值。

20．（本小题满分12分）

设点P是曲线C:x2=2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5。 4（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?1?xlnx。

a(1?x)（1）设a=1，讨论f(x)的单调性；

（2）若对任意x?(0,1)，f(x)??2，求实数a的取值范围。

请考生在22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）

选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB。 （1）证明：AC2=AD·AE （2）证明：FG∥AC

23．（本小题满分10分）

选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?点P（2,2），倾斜角???x?4cos?（?为参数），直线l经过

?y?4sin??3。

（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；

（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值。

24．（本小题满分10分）

选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)?|2x?1|?|x?3| （1）解不等式f(x)?4； （2）求函数y?f(x)的最小值。

理科数学参考答案

一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 11 D 12 D 二、填空题

13．

163 14．4?3 15．(2,??) 16．322 三、解答题 17．解：

（Ⅰ）由变换得f(x)?2sin??2x????6??. 所以T?2?2??； 由2x???k???62,k?Z，得对称轴为x?k?2??6,k?Z. （Ⅱ）由f(C)?2得sin(2C??6)?1，又C?(0,?)，可得C??6. 在?ABC中，根据余弦定理，有

c2?1?a2?b2?2abcos?226，即a?b?7， 联立ab?23，及a?b，可得 a?2,b?3. 18．解：

（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为0.0004?500?0.2． （Ⅱ）频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x，则

0.0002?500?0.0004?500?0.0005?(x?2000)?0.5， 解得x?2400． （Ⅲ）居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005?0.0003)?500?0.4.

由题意知，X～B(3,0.4)， 因此P(X?0)?C033?0.6?0.216，P(X?1)?C123?0.6?0.4?0.432，……3分 ……6分……8分分分……2分

……6分……8分

……10

……12

23P(X?2)?C3?0.6?0.42?0.288，P(X?3)?C3?0.43?0.064，

故随机变量X的分布列为

X 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 ……10分

P X的数学期望为E(X)?0?0.216?1?0.432?2?0.288?3?0.064?1.2.……12分

19．解：

（Ⅰ）AD?AE,?DAE?60??△DAE为等边三角形，设AD?1，则

DE?1,CE?3,CD?2,??DEC?90?， 即CE?DE． ……3分

?DD??底面ABCD， CE?平面ABCD， ?CE?DD'.

?'?CE?平面DDE??'CE?DD?CE?DF . ……6分 ??'?DF?平面DDE??DE?DD'?D??1?（Ⅱ）取AE中点H，则AD?AE?AB，又?DAE?60,所以△DAE为等边三角

2形.

则DH?AB，DH?CD.

分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD?1,

CE?DE则D(0,0,0),E(3131313,,0),A(,?,0),D'(0,0,3),F(,,),C(0,2,0), 2222442?????????313???33EF?(?,?,),AE?(0,1,0),CE?(,?,0)44222?? 设平面AEF的法向量为n1?(x,y,z)，

?313x?y?z?0??则?4 42?y?0???取n1?(23,0,1). ……8分 ???平面CEF的法向量为n2?(x,y,z)，

?313x?y?z?0???442则? ?3x?3y?0??22???取n2?(33,3,2). ……10分

cos??n21,nn1?n2???20?130n1?n213?4013. 所以二面角A?EF?C的余弦值为?13013. 20．解：

（Ⅰ）依题意知1?p2?54，解得p?12. 所以曲线C的方程为x2?y. （Ⅱ）由题意直线PQ的方程为：y?k(x?1)?1，则点M(1?1k,0) 联立方程组??y?k(x?1)?12?y?x2，消去y得x?kx?k?1?0

得Q(k?1,(k?1)2). 所以得直线QN的方程为y?(k?1)2??1k(x?k?1). 代入曲线y?x2，得x2?1kx?1?1k?(1?k)2?0. 解得N(1?1k?k,(1?k?1k)2). (1?k?1)2(11所以直线MN的斜率kMN?k?k???k)2. (1?1k?k)?(1?1kk)过点N的切线的斜率k'?2(1?k?1k).

(1?k?1由题意有?k)2k?2(1?k?1k). 解得k??1?52. 分 ……4分 ……6分 ……8分

……10分 ……12 故存在实数k?21．解：

?1?5使命题成立． ……12分 2（Ⅰ）a?1，f(x)?1?xlnx，定义域为(0,1)?(1,??)． 1?x1?x22lnx?2lnx1?xx． ……2分 f?(x)???(1?x)2(1?x)x(1?x)21?x2?(x?1)2设g(x)?2lnx?，则g?(x)?．2xx

因为x?0，g?(x)?0，所以g(x)在(0,??)上是减函数，又g(1)?0，于是

x?(0,1)，g(x)?0，f?(x)?0；x?(1,??)，g(x)?0，f?(x)?0．

所以f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1,??)． ……6分 （Ⅱ）由已知a?0，因为x?(0,1)，所以

1?xlnx?0． 1?x（1）当a?0时，f(x)?0．不合题意． ……8分 （2）当a?0时，x?(0,1)，由f(x)??2，可得lnx?2a(1?x)?0．

1?x2a(1?x)x2?(2?4a)x?1设h(x)?lnx?，则x?(0,1)，h(x)?0．h?(x)?．

1?xx(1?x)2设m(x)?x?(2?4a)x?1，方程m(x)?0的判别式??16a(a?1)． 若a?(0,1]，??0，m(x)?0，h?(x)?0，h(x)在(0,1)上是增函数，

又h(1)?0，所以x?(0,1)，h(x)?0． ……10分 若a?(1,??)，??0，m(0)?1?0，m(1)?4(1?a)?0，所以存在x0?(0,1)，使得m(x0)?0，对任意x?(x0,1)，m(x)?0，h?(x)?0，h(x)在(x0,1)上是减函数，又h(1)?0，所以x?(x0,1)，h(x)?0．不合题意．

综上，实数a的取值范围是(0,1]． ……12分 22．解：

2

（Ⅰ）∵AB是⊙O的一条切线，

22∴AB?AD?AE．又∵AC?AB，∴AC?AD?AE …… 5分

（Ⅱ）∵AC?AD?AE，∴

2ACAE?，又∵?DAC??CAE， ADAC∴?CAD∽?EAC ∴?ACD??AEC. 又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形， ∴?CFG??AEC ∴?ACD??CFG

∴FG//AC. 23．解：

（Ⅰ）圆的标准方程为x2?y2?16. ?x?2??x?2?1t直线l的参数方程为???tcos??3，即?2??（t为参数） y?2?tsin??y?2?3??3??2t??x?2?1t（Ⅱ）把直线的方程??2代入x2?y2?16，

???y?2?32t得(2?122t)?(2?32t)2?16，t2?2(3?1)t?8?0， 所以t1t2??8，即PA?PB=8． 24．解：

???x?4(x??1)?2（Ⅰ）f(x)?2x?1?x?3???3x?2(?1?x?3) ?2?x?4(x?3）??不等式f(x)?4等价于：

???x??1???1?x?3或??2或?2?x?3 ??x?4?4??3x?2?4?x?4?4 …… 10分

…… 5分

…… 10分……3分

解得：x??8或x?2

?不等式的解集为?x|x??8或x?2?. ……6分

（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数y?f(x)的最小值在x??此时f(x)min??

1处取得， 27. …… 10分 2

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