2019届高考理科数学一轮复习学案：第25讲 平面向量基本定理及坐标表示

第25讲 平面向量基本定理及坐标表示

课前双击巩固

1.平面向量的基本定理

如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2使 .其中,不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .

2.平面向量的坐标运算

(1)平面向量的坐标运算

(2)向量的坐标求法

已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则= , ||= .

3.

平面向量共线的坐标表示

设

a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),其中b ≠0,则a ∥b ?a=λb (λ∈R)?

. 常用结论

1.若a 与b 不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.

2.已知P 为线段AB 的中点,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则P 点坐标为,;已知△ABC 的顶点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则△ABC 的重心G 的坐标为

,.

题组一 常识题

1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.

2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为.

图4-25-1

3.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .

4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则

x+y= .

题组二常错题

◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.

5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,

-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,

能构成基底的组数为.

6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.

7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .

课堂考点探究

探究点一平面向量的基本定理

1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()

A.e1=(0,0),e2=(-1,2)

B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)

C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)

D.e1=,e2=(1,-2)

(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC

上一点,且=

λ,则λ的值为()

A.4

B.5

C.6

D.7

[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.

式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=

λ+

μ其中λ,μ∈R,

则λ+μ=()

A . B.2 C . D.

1

探究点二平面向量的坐标运算

2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()

A.(-2,-1)

B.(-1,2)

C.(-1,0)

D.(-2,1)

(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()

A.(-14,16)

B.(22,-11)

C.(6,1)

D.(2,4)

[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.

(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.

式题 (1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()

A.6

B.-6 C .-D .

(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()

A .

B .

C .

D .

探究点三平面向量共线的坐标表示

3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()

A.c=(k,k)

B.c=(-k,-k)

C.c=(k2+1,k2+1)

D.c=(k2-1,k2-1)

(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()

A .

B .-

C .

D .-

[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).

(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.

式题 (1)若A(-2,3),B(3,-2),

C,m三点共线,则m=()

A .

B .-C.-2 D.2

(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()

A.-2

B.2 C .-D .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xm9e.html