上海交通大学物理竞赛试题解答

第八届上海交通大学大学生物理竞赛

试题及参考答案

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第一试

1，一雨滴的初始质量为m0，在重力的影响下，由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积：

dm?kmv dt式中k为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻力。

答：由变质量的运动方程：

(m?dm)(v?dv)?mv?udm?mgdt，此处u?0

dmdvv?m?mgdtdtdm??kmvdt

dv?kmv2?m?mgdtdv??g?kv2dt?速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变化。

2，考虑一个平面，一条直线把平面分为左右两边，质点在两边的势能分别为Ul和Ur，当一个质点以速率v斜入射并通过这条直线时，方向如何变化？

答：设左右两边分界线为直线l，粒子运动速度与l的法线夹角为?l。当粒子经过l后，速度为vr ，与法线夹角?r。 平行于界面动量不变：

mvsin?l?mvrsin?r

机械能守恒：

121mv?Ul?mvr2?Ur 22由此解出：

vr?vsin?l2(Ul?Ur)?v2m2(Ul?Ur)?v2 m?2?arcsin()

3，一个理想成像的薄凸透镜，一个直的傍轴物体，与主光轴有一定倾斜角，它的像是直的还是弯的？

（1） 请回答此问题并根据成像公式给出严格的数学证明。（只需在平面坐标下

证明）

（2） 你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么？

答：（1）设y轴为凸透镜，焦距f ，物所在直线方程为y=kx+b (x<0)。由成像公

111式：??，且物处于y轴左侧，有

uvf111???xx'fy'x'??y?xx'x'?y'?y??(kx?b)

xx11?y'?(k?b(?)x'x'fb?y'?(k?)x'?bf

所以，像所在曲线方程y'?(k?b)x'?b仍为直线，所以成像是直的。 f（2）假设一束光通过此物体所有点，即沿着此物体传播，那么此光线的折射光线仍然要沿着像上个点传播。由于折射后光仍是直线传播，所以成像必须是直的。

4，已知哈雷彗星的周期为76年，试估计其轨道的长半轴。

答：由开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与周期平方成正比。 用a,T表示哈雷彗星轨道的半长轴和周期，用a0,T0表示地球轨道的半长轴和周期。则：

a3a0?22TT0?a?3376years?a01year

?a?17.94Au1Au?1.49?1011m?a?2.67?1012m本题只要估计合理即可。

如果了解光从太阳射到地球大概要8分钟，对Au的数量级估计是不会错的。

5，一质点在xy平面运动，受力

?CF?e?

r?其中r为离开原点的距离，e?为横向（垂直于位移矢量r）单位矢量。试分析此

力对质点的做功情况，这个力是保守力还是非保守力？

答：在平面极坐标下：

c????F?0r r? ??rd??ds?drr做功W：

W??F?ds?0?cd??c??

l此力做功仅和角度有关，??为路径绕过原点的角度。

沿一条包围原点的闭合路径做功，则W?2??c?0,所以F不能沿任何闭合路径

做功为零，所以F不是保守力。

6，水的定压比热容为4.186kJ/(kg?K)，可近似看成与温度无关。（a）在恒压条件下，0oC的1.0kg水突然与100oC的热库接触，当水达到100oC时，求水和热库的总熵变。（b）在恒压条件下，如果0oC的1.0kg水先与50oC的热库接触，平衡后再与100oC的热库接触，求整个系统的熵变。

附注：熵的定义：熵是一个状态函数，记作S，它在状态1、2之间的差值定义为：

?S?S2?S1??21dQ(沿可逆过程) T

答：(a)对水:Q?Cp(T?T0)

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