辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第11章 统计与概

\辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第11章 统计与概率精炼

试题 新人教A版 \

【知识图解】

简

单

随

机

抽

样

1

统计 总体 抽样 分析 估计 系统抽样 分层抽样 样本分布 样本特征数 相关系数 总体分布 总体特征数 相关系数 概率分布 独立性 必然事件 概 率 随机事件 不可能事件 随机变量 数字特征 随机现象 条件概率 事件独立性 数学期望 方 差 古典概型 概 率 应 用 几何概型 概率 等可能事件 互斥、对立事件

【方法点拨】

1、 准确理解公式和区分各种不同的概念

正确使用概率的加法公式与乘法公式、随机变量的数学期望与方差的计算公式.注意事件的独立性与互斥性是两个不同的概念，古典概型与几何概型都是等可能事件，对立事件一定是互斥事件，反之却未必成立. 2、 掌握抽象的方法

抽象分为简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样.系统抽样适用于总体较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况. 3、 学会利用样本和样本的特征数去估计总体

会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自特点，特别注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距；会计算样本数据平均数、方差（标准差），利用样本的平均数可以估计总体的平均数，利用样本的方差估计总体的稳定程度.

第1课 抽样方法

【考点导读】

1. 抽样方法分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.

2 .系统抽样适用于总体个数较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况. 【基础练习】

1．为了了解全校900名高一学生的身高情况，从中抽取90名学生进行测量，下列说法正确的是 ④ . ①总体是900 ②个体是每个学生 ③样本是90名学生 ④样本容量是90 2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为 120 . 3．高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的同学留下进行交流，这里运用的是 系统 抽样法.

4．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 50

5.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，?，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，?，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为 0795 ． 【范例解析】

例1：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

2

分析 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法.

解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，?，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径.

解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，?99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本. 点评 从以上两种方法可以看出，当总体个数较少时用两种方法都可以，当样本总数较多时，方法2优于方法1.

例2、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，??，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.

分析 按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号.

解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,??，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，??，288，293.

点评 系统抽样可按事先规定的规则抽取样本. 本题采用的规则是第一组随机抽取的学生编号为k，那么第m组抽取的学生编号为k+5(m-1).

例3：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.

分析 采用分层抽样的方法. 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：

（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.

（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×3/15=60（人），300×2/15=40（人），300×5/15=100（人），300×2/15=40（人），300×3/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人. （3）将300人组到一起，即得到一个样本.

点评 分层抽样在日常生活中应用广泛，其抽取样本的步骤尤为重要，应牢记按照相应的比例去抽取. 【反馈演练】

1. 一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 0.1 .

2．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 2 个.

①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；

④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等. 3．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为 ①②③④ .

①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性.

4．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型

3

销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 分层抽样法，简单随机抽样法 . 5.下列抽样中不是系统抽样的是 ③ .

①.从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后i0?5，i0?10（超过15则从1再数起）号入样；

②.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；

③.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止； ④.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相同）座位号为14的观众留下座谈．

6．为了解初一学生的身体发育情况，打算在初一年级10个班的某两个班按男女生比例抽取样本，正确的 抽样方法是 ③ .

①随机抽样 ②分层抽样 ③先用抽签法，再用分层抽样 ④先用分层抽样，再用随机数表法 7．写出下列各题的抽样过程 (1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本.

(2)某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行.

(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下： 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？ 解：(1)①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号； ②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；

③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402 ④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕 (2)采取系统抽样 189÷21＝9，所以将189人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9人组成样本 (3)采取分层抽样 总人数为12000人，12000÷60＝200，

2345456739261072?11?145人，＝22?167人，＝19?余126，＝5?余72人 200200200200所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱 的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人

第2课 总体分布的估计

【考点导读】

1．掌握频率分布直方图、折线图表与茎叶图的做法，体会它们各自的特点. 2．会用频率分布直方图、折线图表与茎叶图对总体分布规律进行估计. 【基础练习】

1．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为60，0.25，则n的值是 240 2．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是 ③

①总体容量越大，估计越精确 ②总体容量越小，估计越精确

4

③样本容量越大，估计越精确 ④样本容量越小，估计越精确 3． 已知某工厂工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示 （以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么工人生产 零件的平均个数及生产的零件个数超过130的比例分别是 120.5与10％ .

10 78

11 02223666778 12 0012234466788 13 0234

4．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是 14和0.14 . 频率 5． 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率

0.4

分布直方图如图所示，则时速在?50,60?的汽

车大约有 60 辆.

0.2

0.1

0 40 50 60 70 80 时速

【范例解析】

例1．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）79.5~89.5这一组的频数、频率分别是多少？

（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）. 解：（1）频率为：0.025?10?0.25，频数：60?0.25?15

（2）0.015?10?0.025?10?0.03?10?0.005?10?0.75.

例2．在参加世界杯足球赛的32支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄为25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.填写下面的频率分布表，据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多？占总数的百分之几？并画出频率分布直方图．

解： (1)

分组

频数 频率 5

(2)

分组 ［20.5,22.5) ［22.5,24.5 ［24.5,26.5) ［26.5,28.5) ［28.5,30.5］ 合计 ［20.5,22.5) ［22.5,24.5) ［24.5,26.5) ［26.5,28.5) ［28.5,30.5］ 合计 2 3 8 4 3 20 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1 0.2

0.1

0.075

0.05

频率 组距 频数 频率 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 年龄

（3）估计全体队员在24.5～26.5处人数最多，占总数的百分之四十. 【反馈演练】

1．对于样本频率直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是 ④

①频率分布直方图与总体密度曲线无关 ②频率分布直方图就是总体密度曲线 ③样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线

④如果样本容量无限增大,分组的组距无限的减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线 2．在某餐厅内抽取100人,其中有30人在15岁以下,35人在16至25岁,25人在26至45岁,10人在46岁

以上,则数 0．35 是16到25岁人员占总体分布的 ②

① 概率 ②频率 ③ 累计频率 ④ 频数

3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12． 设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则a, b, c的大小关系为 c?b?a

4.已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12则频率为0.3的范围是 ( 2 )

?1??5.5,7.5? ?2??7.5,9.5? ?3??9.5,11.5? ?4??11.5,13.5?

5.已知10个数据如下：63，65，67，69，66，64，66, 64, 65，68.根据这些数据制作频率直方图，其 中[64.5, 66.5)这组所对应矩形的高为 0.2 6．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三有280人，以每人被抽取的频率为0.2，向该 中学抽取一个样本容量为n的样本，则n= 200

7. 一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下: ?10,20?,2; ?20,30?, 3 ; ?30,40?, 4 ;

6

?40,50?, 5 ; ?50,60?, 4 ; ?60,70?, 2 .则样本在区间 ???,50?上的频率为__ 0.7 ___ 8．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000]的频率为 0.3 频率/组距 人数(人) 20 0 001 0 2400 2700 3000 3300 3600 3900 15 10 5 体重 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)

(第8题)

(第9题)

9．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时

间的数据，结果用右上面的条形图表示． 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9小时

10.从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：

甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512； 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514. (1).画出上述数据茎叶图；

(2).试比较分析甲、乙两台机器生产零件的情况. 8 50 7 解（1）用指标的两位数作茎，然后作茎叶图： 87632 51 024668 （2）从图中可以看出，甲机器生产零件的指标

876422052 013468

分布大致对称，指标平均在520左右，中位数

43 53 02 和众数均为522；乙机器生产零件的指标分布为

大致对称，指标平均在520左右，中位数和众数 分别为520和516，总的来看，甲机器生产的零 件的指标略大些..

点评 注意作茎叶图时，茎可以放两位数.

第3课 总体特征数的估计

【考点导读】

理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差，使学生掌握通过合理抽样对总体稳定性作出科学的估计的思想. 【基础练习】

1．已知数据x1，x2，?，xn的平均数为x?5，则数据3x1?7，3x2?7，?，3xn?7的平均数为 22 . 2．若M个数的平均数是X, N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是

2

MX?NYM?N2

3．数据a1，a2，a3，?，an的方差为σ，则数据2a1，2a2，2a3，?，2an的方差为 4σ . 4．已知同一总体的两个样本，甲的样本方差为确的是 ④ .

①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小 【范例解析】

例1.下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及众数.试分析一

7

12?1，乙的样本方差为3?2，则下列说法正

下该班级学习情况.

男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94；

女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97. 解：17名男生成绩的平均值是72.9分，中位数是73分，众数为55和68.

20名女生成绩的平均值是80.3分，中位数是82分，众数为73，80和82. 从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩.

例2.为了比较甲，乙两位射击运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了10次测验，测得他们的环数如下： 环数 10 9 8 7 6 5 甲（次） 3 2 1 2 0 2 乙（次） 2 2 2 2 2 0 试根据以上数据，判断他们谁更优秀.

解：x甲=8,x乙=8, S甲2=3.4,S乙2=2, 所以乙更优秀

例3．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品， 称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110． （1）这种抽样方法是哪一种方法？

（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：（1）采用的方法是：系统抽样； （2）x甲?（102?101?99?98?103?98?99）?100；

171x乙?（110?115?90?85?75?115?110）?100；

71S2甲?（4?1?1?4?9?4?1）?3.42857；

71S2乙?（100?225?100?225?625?225?100）?228.57

7∴ S2甲?S2乙 故甲车间产品比较稳定．

点评 以样本估计总体，在生产生活经常用到，发现问题，解决问题，从而更好地指导实践. 【反馈演练】

1. 下列说法中，正确的是 ④ .

① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率 ②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

③数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半 ④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

2．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S1= 13.2，S2=26．26，则 ① .

①甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐 ②乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐 ③甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐

8

2

2

④不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度 3 ．已知样本为101 ,98, 102, 100, 99，则样本标准差为 2 4 .某班45人，一次数学考试，班级均分72分.已知不及格人数为5人，他们的平均成绩是52分，则及格学生的平均分为 74 .5分 .

5．高三年级1000名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了100名学生的试卷（满分为150分），成绩记录如下： 成绩3 4 5 6 7 8 9 10 （分） 人数 6 8 10 15 15 35 8 3 求样本平均数和样本方差． 解：x?6?3?8?4?10?5?15?6?15?7?35?8?8?9?3?10=6.77

100s2?1[6?(3?x)2?8?(4?x)2?10?(5?x)2?15?(6?x)2 60 ?15?(7?x)2?35?(8?x)2?8?(9?x)2?3?(10?x)2]=3.1171

6．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下： 机床甲 10 9.8 10 10.2 机床乙 10.1 10 9.9 10 如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.

22解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为x1、s1；机床乙的平均数、方差分别为x2、s2.

x1?10?9.8?10?10.210.1?10?9.9?10?10，x2??10

44∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：

1s12?[(10?10)2?(9.8?10)2?(10?10)2?(10.2?10)2]?0.02

412s2?[(10?10)2?(10.1?10)2?(10?10)2?(9.9?10)2]?0.005

422∵s1，∴机床乙的零件质量更符合要求. ?s2

第4课 案例分析

【考点导读】

1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用.

【基础练习】

??0.7x?0.1 1．根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是 y

9

x -1 -1 0 0 1 1 2 1 y ??bx?a表示的直线必经过的一个定点是 (x,y) 2．线性回归方程y3．设有一个直线回归方程为 y?2?1.5x ,则变量x 增加一个单位时 ③ .

① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位 ③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位 4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ③ .

①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系 ③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系 5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是 ③ . ①|r|越大，相关程度越大

②|r|??0,???，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大

③|r|?1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 【范例解析】

例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系． 解：（1）2×2的列联表

性别 休闲方式 女 男 总计 （2）假设“休闲方式与性别无关” 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124 ??124?(43?33?27?21)2?6.201 计算 ??70?54?64?602因为?2?5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的， 即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.

点评 对两个变量相关性的研究，可先计算?的值，并根据临界表进行估计与判断.

例3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得如下数据： 零件数x (个) 加工时间y(分) (1) y与x是否具有线性相关关系？

(2) 如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 据此估计加工200个零件所用时间为多少？

解：（1）r?0.998.查表可得0.05和n-2相关系数临界r0.05?0.632， 由r?r0.05知y与x具有线性相关关系. （2）回归直线方程为 ?y?0.668x?54.96 （3）估计加工200个零件所用时间189分.

10

210 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122

【反馈演练】

1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ . ①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积 ③正n边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高

2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且 利用线性回归方法，求得回归直线分布为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观察数据的平均值 恰好相等都为s，对变量y的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是 ① . ①直线l1和l2有交点（s,t） ②直线l1和l2相交，但是交点未必是（s,t） ③ 直线l1和l2平行 ④ 直线l1和l2必定重合

3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .

①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长 ③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量 4．对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y的估计值为 390 .

5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

性别 专业 男 女 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据 50?(13?20?10?7)2表中的数据，得到??因为?2?3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，?4.844，

23?27?20?302非统计专业 13 7 统计专业 10 20 那么这种判断出错的可能性为 5% .

6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根

据独立性假设检验的方法， 不能 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能） 晕机 不晕机 合计 男性 23 32 55 女性 9 25 34 合计 32 57 89 7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？

患心脏病 未患心脏病 合计 每一晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1355 1379 合计 54 1579 1633 解：提出假设H0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得

1633?(30?1355?24?224)2???68.03. 当H0成立时，?2?6.635的概率为1%，而这时

54?1579?254?13792?2?68.03?6.635,所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.

第5课 古典概型

【考点导读】

1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.

2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现

11

的可能性相等. 【基础练习】

1. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心的频率10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455 m n （1）填写表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率. 解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.

（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89. 点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是 随机 事件 （必然、随机、不可能） 3．下列说法正确的是 ③ .

①任一事件的概率总在（0.1）内 ②不可能事件的概率不一定为0 ③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对 4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是

3 8

5. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为

2 5【范例解析】

例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?

解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，

正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；

（2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.

例2. 抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率；

（2）出现两个4点的概率.

解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元 素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.

12

y654321O123456x （1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=

61?. 366（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以

P（B）=

1. 36点评 在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式

P(A)?事件A包含基本事件的个数m

基本事件的总数n变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少；

（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；

点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.

解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．

3． 109（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故P(B)?．

10（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故P(A)?点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.

例3. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两 次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品， 右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=

42= 63

【反馈演练】

1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 . 分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为

9=0.9，所以中靶的概率约为0.9． 1013

解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．

2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 . 3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6 路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的 概率等于

2 53 84.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是

5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是 6. 从1，2，3，?，9这9个数字中任取2个数字，

3 105 184（2）2个数字之和为偶数的概率为

9（1）2个数字都是奇数的概率为

7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率是

8 151 29．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是

7 1010. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：

（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率. 解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.

红红黄蓝红红黄黄蓝红蓝黄蓝红红黄蓝红黄黄黄蓝红蓝黄蓝红红黄蓝红蓝黄黄蓝红蓝黄蓝

31?. 27962?. （2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P（B）=

279（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有1×3=3个，故P（A）=

11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时 掷一次.

（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有

14

多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种

61?. 366（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，不同的结果，即概率为

出现12的只有一种情况，概率为

1.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，361）五种情况，所以其概率为

5. 3612.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有

33

10×10×10=10种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=8种，

83因此，P(A)= 3=0.512．

10（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=

第6课几何概型

【考点导读】

1．了解几何概型的基本特点. 2．会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】

1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004

12. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是

33. 在1万 km的海域中有40 km的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率

1是 2504. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则

4所投的点落入小正方形内的概率是 .

9yAT2

2

3367?． 720152cm3cm

O(第5题) x 15

(第4题)

5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率

1是 .

6【范例解析】

例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率. （2）过直角顶点C在?ACB内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

CAC?AC2??. ABAB2C B AMC'B

'A M

(2)

1800?45067.5030?67.5 于是P（AM＜AC）?? (2) 在AB上截取AC′=AC,?ACC?02904点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用

几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.

例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）

(1)

(r,a]的长度=

[0,a]的长度a?r=

a2a r M

例3.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

o 解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l?x?y.

则实验的全部结果可构成集合??(x,y)0?x?l,0?y?l,0?x?y?l，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合A???x,y?x?y?????1ll?,y?,x?? 222?l 16

0 l

1?l???SA2?12??2?? 所求的概率为P(A)?lS?42点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域； （3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算. 【反馈演练】

11. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是

32．若x可以在x?1?3的条件下任意取值，则x是负数的概率是 2/3 .

3.在区间??1,?1?上任取两实数a,b，则二次方程x+2ax+b=0的两根都为实数的概率1/2 .

2224. 如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与

1a3131a，高为b，2b1a2向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为

512a

8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?

(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯

解：总的时间长度为30?5?40?75秒，设红灯为事件A，黄灯为事件B， （1）出现红灯的概率P(A)?构成事件A的时间长度302??

总的时间长度755构成事件B的时间长度51??

总的时间长度7515（2）出现黄灯的概率P(B)?（3）不是红灯的概率P(A)?1?P(A)?1?23? 55

9. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影

17

第7课 互斥事件及其概率

【考点导读】

1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立. 2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算.

【基础练习】

1.两个事件互斥是这两个事件对立的 必要不充分 条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充

分 也不必要）

2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ③ . ①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球 ③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球

3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是 ④ . ①3个都是正品 ②至少有1个是次品 ③ 3个都是次品 ④至少有1个是正品

4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是 0.38 .

5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% . 【范例解析】

例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件. （1）恰好有1件次品恰好有2件次品； （2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品； （4）至少有1件次品和全是正品.

解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件 点评 解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.

例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）少于7环的概率. 解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为

18

P=0.21+0.23=0.44. （2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03. 例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：

（1） 取出1球是红球或黑球的概率；

（2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率.

解：记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任取一球为绿球}，

5421,P(A2)?,P(A3)?,P(A4)? 12121212543?? （1）P?A1?A2??P(A1)?P(A2)?1212411（2）P?A1?A2?A3??P(A1)?P(A2)?P(A3)?

12111?） （或P?A1?A2?A3??1?P(A4)?1?1212则P(A1)?点评 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式

（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用. 【反馈演练】

1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生. 解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生） 2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

1 23．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 0.96 . 4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是

115，乙获胜的概率是，则是 ② . 236 ①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率

5．如果事件A，B互斥，那么 ② . ①A?B是必然事件 ②A?B是必然事件 ③ A与B互斥 ④A与B独立 6. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是

2 37.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是

7 8 19

8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是

1， 7从中取出2粒都是白子的概率是

1217，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 35359.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡 的概率为

5 810.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求： （1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）至少两个人分配到同一个房间的概率. 答案 （1）

15； （2）. 1681，得到黑 311. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为球或黄球的概率是多少？

55，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是 1212

20

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