《狭义相对论》精典习题

狭义相对论

1. 理解同时性的相对性 2. 理解时间膨胀、长度收缩的概念 会判断原时、静长 3. 掌握洛伦兹变换公式

第1 题. 已知： S 系同一点 x 发生两个事件， 间隔为 t =4s,在 S 系此两个事件间隔为 t = 5s。 求：(1) S 系对S 系的速度u (2) S 系中两个事件的空间间隔 l’ 【解】 (1) t = 4s, t = 5s。

u t t 1 2 c解得

2

u t 2 4 2 1 2 ( ) ( ) t 5 c2

3 u c 5

(2)求在 S 系中这两个事件的空间间隔 l’

3 方法 一. x 点的速度为 u c 5 S S t 1 x1 -u-u x x1 S

x x x x

S-u

t2 x2 x

-u

3 8 l t ( u) 5 s c 3c( s ) 9 10 m 5有时不写，c 仅代表数值 4

方法 二. 由洛仑兹变换求 洛仑兹变换是解决相对论时空问题的主要依据。 用它解决问题时经常把以知条件化为“事件” (即明确时间和空间的坐标)。

S’系 S系 设： 事件1 (x, t1) (x1 ’, t1’) 事件2 (x, t2) (x2 ’, t2’) 按题意： Δ x 0, Δ t 4, Δ t 5 在 S 系中这两个事件的空间间隔 l’:

l x x1 2

x u t 1 u2 c 2

3 0 5 c 4s 2

1 ( 3 5) (结果相同)5

9 10 m8

第2 题. 列车静长为 l0 ,以速度u 沿车身方向相对地面运动。若在车尾 B 处发一闪光，此闪光经车头A 处的反射镜反射后回到车尾 B。在地面参考系测量： 闪光从B 到车头A 的时间为 Δ t1, 从 A返回车尾 B 所需的时间为 Δ t 2 。 关于 Δ t1 、Δ t 2 ,有下述两种解法，请判断正误。

S S u

B

A6

S S u

B甲的解法：

A

在地面参考系测量，光速是c, 车速是 u ,所以 光向 A 运动，与车的相对速度为 (c-u) , 返回 B 的过程，与车的相对运动为 (c+u) ,

l0 l0 Δ t1 , Δ t2 对不对？ c u c u【答】错。 因为,他没有考虑 运动车厢的长度缩短。7

S S u

B

A

乙的解法： 在地面测量， 车长为运动长，应缩短；而光速不变，故有

l0 Δ t1 Δ t 2 , c【答】错。

1 u 1 2 c2

对不对？

因为他没有考虑 光和车在同一地面参考系中的 相对运动。8

【解】 正确做法： 方法一. 长度缩短 + 相对运动 都考虑到 车长为 l 0 / 。 车头(与闪光同向而行)行程 u Δ t1 , 在 Δ t1时间内，闪光的行程 c Δ t1 l0 c Δ t1 u Δ t1

l0 u 2 l0 Δ t1 1 2 ( c u) c ( c u)

c u l0 c u c

同理，车尾与返程光闪光相向而行，故有 l0 c u l0 l0 c Δ t 2 u Δ t 2 t 2 (c u) c u c 9

方法二. 直接由洛仑兹变换 l0 在车参考系： 光往 Δ x1 l0 , Δ t1 ; c l0 光返 Δ x

l0 , Δ t 2 ; 2 c 在地面参考系(用逆变换):

u Δ x1 l 0 ul 0 Δ t1 (Δ t1 ) ( 2 ) 2 c c cl0 u (1 ) c c c 2 l0 u (1 ) 2 2 c u c c c u l0 c u c

l0 u 同理， Δ t 2 (1 ) c c

c u l0 (结果相同) c u c10

第 3 题. 飞船以0.6c 沿地面接收站与飞船连线 方向向外飞行，飞船上的光源以 T0 = 4s 的 周期向地球发 光脉冲。 u 求：地面接收站 接收到的 脉冲周期。接收站

讨论：

1 u 1 2 c2

1 0 .6 c 1 c 2

1.25

甲说：

飞船上的发生器先后两次发出脉冲是在同一地点， 应是原时， 所以，地面测量周期为 4 1.25=5s. 对不对？11

乙说： 地面上的接收站相继两次接收脉冲是在同一地点， 这才是原时， 所以。接收周期应为 4 /1.25=3.2s. 他们两人谁对？ 【答】 他们两人都不对。

因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件 与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件 不是简单的原时与两地时的关系。 正确做法如下：12

【解】 地面参考系： 直接由洛仑兹变换 接收站 接收到的 脉冲周期 应是相继两次脉冲到达接收站的时间差

uu t x1 , t1 x2 , t 2 飞船相继两次发出脉冲(两事件)的时间差接收站

u Δ t (Δ t 2 Δ x ) T0 c飞船相继两次发出脉冲的空间距离 Δ x u13 t Δ

T0

0

uu t x1 , t1 x2 , t 2 相继两次脉冲先后到达接收站的时间差 (即地面接收站所测量的周期)接收站

u Δx u T Δt Δ t (1 ) T0 1 c c c c u c 0.6c 1.6c T0 T0 4 8s c u c 0.6c 0.4c

讨论： 当星星远离我们而去时，我们接收到的光的 周期也会变大，频率 变小，即波长会变长，这 称为红移现象。(宇宙大爆炸论的重要依据) 14

如果飞船接近接收站结果又怎样？

u地面参考系： 相继两次发出脉冲仍有接收站

u tx2 , t 2 x1 , t1

u Δ t (Δ t 2 Δ x ) T0 c

相继两次脉冲先后到达接收站的时间差

Δx u c u T Δt Δ t (1 ) T0 2 s c u c c 波源远离我们而去时，周期变大，频率 变小； 波源向我们接近时，周期变小，频率 变大。这对机械波也是这样，称为“多普勒效应”。 15

第 4 题. 如图所示，S系中的观察者有一根米尺 固定 在x 轴上，两端各有一手枪。 S’系中的 x’ 轴上固定有 另一根长尺，当它从米尺旁边经过时， S 系中的观察 者同时扳动两枪，使子弹在 S’系中 的尺上打出两个记 号。问：在S’系中记号间距 x2 - x1 与1m比，长还是短？【解】有人说， S’系中的 长尺， 从米尺旁边经过， S 所以，它是动

长， 记号间距 x2 - x1 应比1m短。对不对？

S

ux1 x1

运动长尺1m 的尺

x2 x2

u

x x

t1

t2 = t116

方法一.定性分析： t2 = t1 按同时性的 相对性的 重要规律， 得 t2 < t1 (先) (后)

S -u

长尺 1m

x2 t2’

x 2 t2

x

S -u

x1 t1 x 1 t1 1m

x2 t2 x

(x x1) 1 m 2

方法二。 由洛仑兹变换 定量计算：17

在S’系中看

S

u

t ’1 x 1 运动长尺 1m 的尺

x2 - x1 是固定 长尺上两弹痕 S 间的距离。

t’2 x2 x2

u x x

x1

x x1 2

x2 ut 2 1 u2 / c 2 x u t 1 u / c2 2

t1

x1 ut1 1 u2 / c 2 x 1 u / c2 2

t2 = t1 1m是动长。

1m 1 u c2 218

我们知道，在S系中测运动棒的长度，必须同时测 它两端的坐标， t 2 t1 0 有

x x1 2

x2 ut 2

1 u2 / c 2

x1 ut1

1 u2 / c 2

x2 x1

1 u2 / c 2

我们也知道，若在S’系中的 x’1 处和 x’2处，于某时 刻同时发生了两个事件， t 2 t1 0 有 x ut 2 x1 ut1 x x1 2 2 x2 x1 1 u2 / c 2 1 u2 / c 2 1 u2 / c 2 两式关系正好相反，有时特易混淆。 共同规律：若两个事件在某一参考系中是同时 发生的，则在这个参考系中这两个事件之间 的距离比在其他参考系中的距离短。 19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xlxi.html