大学物理 1-1 质点运动的描述

有关质点运动的描述

1-1

质点运动的描述

本章首先借助矢量语言对质点的运动给予简洁而完备的描述， 然后利用微积分求解质点的运动学方程； 最终解决运动学中的两类问题。

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质点运动的描述

一1

参考系

质点

参考系 为描述物体运动而选的标准物.

2 质点 物体大小和形状的变化对其运动的影 物体能否抽象为质点，视具体情况而定. 响可忽略时的理想模型.地球 太阳

地——日间距： 1.5 ×108 km 地球半径： 6.37 × 103 km

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二

1 位置矢量 r大小： r

位置矢量

运动方程yy

位移 r

r xi yj zk

*P

x y z2 2

2

z

o xz cos r

x

方向：x cos r

zy cos r

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质点运动的描述

2

运动方程 r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) kx x (t )

分量式 y y (t )z z (t )

yy (t )

r (t )

Px (t )

从上式中消 去参数 t 得质点 的轨迹方程.

oz (t )

z

x

有关质点运动的描述

rA x A i y A j , rB x B i y B j , r rB r A ( x B x A )i ( y B y A ) j

3 平面运动:

位移 r

1-1y

质点运动的描述

A r rA rBxB xA

yB yA

B

o

x

r xi yj zk r x y z2 2 25

三维运动:

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质点运动的描述 s'

4 路程( s ) 从P1到P2:

yP 1

路程 s P1 P2位移与路程的区别 (1) 两点间位移是唯 z 一的. (2) 一般情况 Δ r s .O

r

s

P2

r ( t1 )

r (t 2 )

P1 ( x 1 , y 1 , z 1 )P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )

x

(3) 位移是矢量，路程是标量.6

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质点运动的描述

注意 , , r r r

yP 1

r r2

P2

的意义不同. r xi yj zk r x y z2 2 2

r1O

r

z2 2 2

x

Δr

x2 y2 z2 r r

2

2

2

x1 y 1 z 1

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三

速度

1-1y

质点运动的描述B r (t t )

1 平均速度 在 t 时间内，质点 位移为

s

r

A r r (t t ) r (t ) r (t ) x x i y j o x y r i j v xi v y j v t t t

v v xi v y j

vx vy

2

28

有关质点运动的描述

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质点运动的描述

2 瞬时速度(简称速度) v lim r t dt dx d y v i j dt dt v xi v y j t 0

dr

y

vy

v vx

o

x

若质点在三维空间中运动，其速度 v v xi v y j vzk2 3

v v

v x v y vz

29

有关质点运动的描述

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质点运动的描述

当 t 0 时, d

r d s dr ds v et dt dt

( r s)

速度方向 速度大小 速度 v 的值

切线向前v ds dt

速率

平均速度大小? 平均速率10

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质点运动的描述

讨论质点作曲线运动，判断下列说法的正误。 r r r r

s r

s r

s r

当 t 0 时,

d r ds

dr ds11

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质点运动的描述

讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于位矢 r ( x , y ) 的 y 端点处，其速度大小为 (A) (C) 注意dr dt d r dt

(B)

dr dtdx dt

r (t )x

o)2

x ( dy dt )2

(D) ( dr dt dr dt

dr dt

ds dt12

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质点运动的描述

例1

设质点的运动方程为 r (t ) x (t ) i y (t ) j ,

其中

x ( t ) 1 . 0 t 2 . 0,

y ( t ) 0 . 25 t 2 . 0,2

式中x,y的单位为m(米), t 的单位为s(秒),(1)求 t 3 s 时的速度. (2)作出质点的运动轨迹图.13

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质点运动的描述

已知：x ( t ) 1 . 0 t 2 . 0, y ( t ) 0 . 25 t 2 2 . 0, 解 (1) 由题意可得vx dx dt 1 . 0, v y dy dt 0 .5 t

t 3 s 时速度为 v 1 . 0 i 1 . 5 j

速度 v 与 x 轴之间的夹角 arctan1 .5 1 .014

56 . 3

o

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质点运动的描述

(2)运动方程

x ( t ) 1 . 0 t 2 . 0,

y ( t ) 0 . 25 t 2 . 0,22

消去参数 t 可得轨迹方程为y 0 . 25 x轨迹图t 4 s t 2 s

x 3 .0y/mt 4s

6 4 2t 0

t 2s

x/m

-6 -4 -2

0

2

4

615

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质点运动的描述

例2 如图A、B y 两物体由一长为 l 的 B 刚性细杆相连，A、B l 两物体可在光滑轨道 A 上滑行.如物体 A以 o x v 恒定的速率 v 向左滑 行, 当 6 0 时, 物体B的速率为多少？

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质点运动的描述

解

x y2

2

l

2

yB

两边求导得2x dx dt 2y dy dt 0

lA v

o

x

v A v xi vB vy j

vx vy

dx dtdy dt

v

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质点运动的描述

即 vB

dy dt

x dx y dt

yB

dy x dx j j dt y dtdx v

lA v

dt v B v tan j

o

x

当 60 时， vB = 1.73 vo

v B 沿 y 轴正向18

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1-1 质点运动的描述 例: 恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度。 解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向

右, y 轴竖直向下, 如图所示。 u

ol

xl x y19

hh

x

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1-1 质点运动的描述 设小船到坐标原点的距离为l , 任意时刻小船到岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2 两边对时间t 求导数, 得 dx dl2x 2l dtdl dt u

dtdl dt 0

拉动纤绳的速率, 纤绳在缩短, 故

;

dx dt

vl x

是小船向岸边移动的速

率。x h x2 2

v

u

u

负号表示沿x 轴反方向。20

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质点运动的描述

四

加速度y

反映速度大小和 方向随时间变化快慢 的物理量 1 平均加速度 a v t

vAA B

vB

O

x vA v vB21

a 与 v 同方向

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xlue.html