【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 倒数第4天立体几何 文

1 倒数第4天 立体几何

[保温特训]

1．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积

为________．

解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则依题意有4πR 33

＝43π，解得R ＝ 3.因为3a ＝2R ＝23，所以a ＝2.故该正方体的面积为6a 2＝24.

答案 24

2．一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的

等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3

.

解析 由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧高为5 cm ，高为4 cm ，所以所求容积为48 cm 3.

答案 48

3．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为

正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．

解析 如图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连

接DG 、CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32

， 所以S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24

， 所以V ＝V E -ADG ＋V F -BHC ＋V AGD -BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝23

. 答案 23

4．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：

①若l ?α，m ?α，l ∥β，m ∥β，则α

∥β；

②若l?α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；

③若α∥β，l∥α则l∥β；

④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.

其中真命题是______________(写出所有真命题的序号)．

解析①：只有当l与m相交时，才可证明α∥β；③：l可能在平面β内．

答案②④

5．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m⊥n，m⊥α，n?α则n∥α；

②若α⊥β，则α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；

③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；

④若n?α，m?β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．

其中，所有真命题的序号是________．

解析③错误，α，β相交或平行；④错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.

答案①②

6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：

①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；

②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；

③存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.

其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．

解析①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a，b在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因为a，b为异面直线，故a′，b为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．

答案①④

7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：

①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；

③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

上述命题中，所有真命题的序号是________．

解析若a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，即命题①不正确；若a⊥α，a⊥β，则α∥β，即命题②不正确；若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，即命题③不正确；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，即命题④正确，综上可得真命题的序号为④.

2

3 答案 ④

8．已知棱长为2的正方体，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________．

解析 以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，

一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2×13×????12×2×2×12×2＝23

. 答案 23

9．已知平面α，β，γ，直线l ，m 满足：α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，那么

①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.

由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．

解析 画图可知

①m ⊥β、③β⊥γ不一定成立．

答案 ②④

10．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，给

出下列命题： ①α∥β?l ⊥m ；②α⊥β?l ∥m ；③l ∥m ?

α⊥β；④l ⊥m ?α∥β.

其中正确命题的序号是________．

解析 α∥β?直线l ⊥平面β，由于直线m ?平面β，∴l ⊥m 故①正确；由l ∥m ，直线l ⊥平面α可推出直线m ⊥平面α，而直线m ?平面β，∴α⊥β故③正确．

答案 ①③

11．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，∠A 1AC ＝60°，AA 1＝AC ＝BC ＝1，A 1B ＝ 2.

(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1；

(2)如果D 为AB 的中点，求证：BC 1∥平面A 1CD .

证明 (1)在△A 1AC 中，∠A 1AC ＝60°，AA 1＝AC ＝1，∴A 1C

＝1，△A 1BC 中，BC ＝1，A 1C ＝1，A 1B ＝2，∴BC ⊥A 1C ，

又AA 1⊥BC ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，

∵BC ?平面A

1BC

，∴平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1.

4 (2)连接AC 1，交A 1C 于O ，连接DO ，则由D 为AB 中点，O 为A 1C 中点得，OD ∥BC 1，OD ?平面A 1DC ，BC 1?平面A 1DC ，

∴BC 1∥平面A 1DC .

12．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面EFGH 分别与BC ，CA ，AS ，

SB 交于点E ，F ，G ，H ，且SA ⊥平面EFGH ，SA ⊥AB ，EF ⊥

FG .

求证：(1)AB ∥平面EFGH ；

(2)GH ∥EF ；

(3)GH ⊥平面SAC .

证明 (1)因为SA ⊥平面EFGH ，GH ?平面EFGH ，

所以SA ⊥GH .

又因为SA ⊥AB ，SA ，AB ，GH 都在平面SAB 内，

所以AB ∥GH .

因为AB ?平面EFGH ，GH ?平面EFGH ，

所以AB ∥平面EFGH .

(2)因为AB ∥平面EFGH ，AB ?平面ABC ，

平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，

所以AB ∥EF .

又因为AB ∥GH ，所以GH ∥EF .

(3)因为SA ⊥平面EFGH ，SA ?平面SAC ，

所以平面EFGH ⊥平面SAC ，交线为FG .

因为GH ∥EF ，EF ⊥FG ，所以GH ⊥FG .

又因为GH ?平面EFGH ，

所以GH ⊥平面SAC .

13．如图a ，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 的中点，E 在BC 上，且

EF ∥AB .已知AB ＝AD ＝CE ＝2，沿线EF 把四边形CDFE 折起如图b ，使平面CDFE ⊥平面ABEF

.

(1)求证：AB ⊥平面BCE ；

(2)求三棱锥C -ADE 体积．

5 (1)证明 在题图a 中，EF ∥AB ，AB ⊥AD ，

∴EF ⊥AD ，在题图b 中，CE ⊥EF ，又平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，

CE ⊥平面ABEF ，AB ?平面ABEF ，∴CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE ∩CE ＝E ，∴AB ⊥平面BCE ；

(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，AF ⊥FE ，AF ?平面ABEF ，∴AF ⊥平面CDEF ，∴AF 为三棱锥A -CDE 的高，且AF ＝1，又∵AB ＝CE

＝2，∴S △CDE ＝12

×2×2＝2， ∴V C -ADE ＝13·S △CDE ·AF ＝13×2×1＝23

. [知识排查]

1．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球的半径为32

a . 2．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面

积之和，不能漏掉几何体的底面积．

3．立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线∥线?线∥面?面∥面，线⊥线?

线⊥面?面⊥面，这些转化各自的依据是什么？

4. 平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的

“不变量”与“不变性”．

5．立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，不能只“作”，“算”，而忽

视了“证”这一重要环节．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xlr1.html