广西桂林市2017届高三数学5月全程模拟考试试题理

广西桂林市2017届高三数学5月全程模拟考试试题 理

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

第Ⅰ卷 （选择题 60分）

一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.） 1．已知集合A?{0,1,2}，B?{x|x2?5x?4?0}，则A??CRB?的真子集个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 2．设复数z满足z?1?1?3i，则z?（ ） z?2A. 5 B. 5 C. 2 D. 2 3．在等比数列{an}中,若公比q=4,S3=21,则该数列的通项公式an= ( ) A. 4n?1 B. 4

n

C. 3

n D. 3n?1

?????????????4．若单位向量e1，e2的夹角为，则向量e1?2e2与向量e1的夹角为（ ）

3????A. B. C. D. 23465．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人

对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）

A. 24 B. 32 C. 48 D. 84

6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（ ） A. 66 B. 33 C. 16 D. 8

??的图象向左平移?（??0）?7．若将函数个单位，

f?x??cos?2x??6??所得图象关于原点对称，则?最小时，tan??（ ） A. ?3 B. 333 C. ?3 D. 3 底面

水面

8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( ) A. 36?cm2 B. 64?cm2 C. 80?cm2 D. 100?cm2

1

9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am (0?a?12),不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u?f?a?（单位：m2）的图象大致是（ ）

2210．已知双曲线C:x?y?1与双曲线C2:x?y?1(a?0,b?0)的离心率相同，且双曲线C2的左、右

1a2b26222焦点分别为F1,F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM?MF2，S?OMF2?83，则双曲线C2的实轴长为（ ）

A. 4 B. 43 C. 8 D. 83 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 2016 B. C. 4 D. 7 3 3212．已知函数f?x??xlnx?x?x?a?（a?R），若存在x??1,2?，使得??2??f?x??xf??x?成立，则实

数a的取值范围是（ ）

A. ?9,??? B. ?3,??? C. ??4????2???2,?? D. ?3,???

?第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设实数x,y满足约束条件??x?y??1目标函数

?x?y?4?y?a?z?3x?2y的最小值为?4，则z的最大值为

__________．

14．已知数列?an?满足a1?a2?1，an?2?an?1?1，则a6?a5的值为______．

an?1an15．关于圆周率?，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验。受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计?的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m，最后再根据统计数m来估计?的值.假如统计结果是m=56，那么可以估计??__________.（用分数表示）

2

16．已知从圆C：?x?1?2??y?2?2?2外一点P?x1,y1?向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM?PO，则当PM取得最小值时点P的坐标为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

??，在?ABC中，角A，B，C17．（本小题满分12分）已知函数f?x??4sinxsin?x? ??3??的对边分别为a，b，c. （Ⅰ）当x??0,??时，求函数f?x?的取值范围；

??2??（Ⅱ）若对任意的x?R都有f?x??f?A?，b?2，c?4，点D是边BC的中点，求AD的值.

????

18．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表： 质量指标值m 等级 m?185 三等品 185?m?205 二等品 m?205 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：

（Ⅰ）根据以上抽样调查数据 ，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产

品90%”的规定？

（Ⅱ）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽

取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；

（III）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值

X近似满足X~N?218,140?，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约

提升了多少？

19．（本小题满分12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA?底

1EA?1． 2（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一

面ABCD，FD//EA，且FD?与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

条直线

3

（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值； 20．（本小题满分12分）如图所示，在?ABC中，AB的中点为O,且OA?1，点D在AB的延长线

1AB.固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，2并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线?.以AB所在直线为x轴，O为坐标原

上，且BD?点如图所示建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求曲线?的方程； （Ⅱ）设动直线l交曲线?于E、F两点，且以EF直径的圆经过点O，求?OEF面积的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知f?x??x2?2axlnx?2ax?为

??12x，其中a?R. 2（Ⅰ）若a?0，且曲线f?x?在x?t处的切线l过原点，求直线l的方程； （Ⅱ）求f?x?的极值；

（Ⅲ）若函数f?x?有两个极值点x1，x2(x1?x2)，证明f?x1??f?x2??12a?3a. 2

请考生在22，23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：3x?y?4?0，曲线C2：??x?cos?（?为参数），以坐?y?1?sin?标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；

?x?tcos?（Ⅱ）曲线C3：?（t为参数，t?0，0????）分别交C1，C2于A，B两点，当?取何

2?y?tsin?值时，OBOA取得最大值.

4

23．（选修4－5：不等式选讲） 已知函数f?x??x?1． (Ⅰ) 解不等式f?x?8??10?f?x?；

(Ⅱ) 若x?1，y?1，求证：f?y??x?f?y?．

?2??x?桂林中学2017届高三理科数学考试答案

5

一、选择题: 题号 选项 1 B 2 B 3 A 4 A 5 A 6 A 7 B 8 B 9 B 10 D 11 A 12 C 21．【解析】集合A=?0,1,2?,集合B={x|x所以eRB?{x|x?1 或?5x?4?0}?x{|?1x?,4}x?4},A??eRB???0,1?,真子集有?,?0?,?1? ,共3个,选B.

2．【解析】由z?1?1?3i，得z?1?z?2?3zi?6i，即z?2?i，则z?5，故选B.

z?23．【解析】设等比数列{an}的首项为a1,由公比q=4,S3=21得,

所以a1=1,则an=4. 选A.

n-1

=21,

??????????????e4．【解析】e1?e2?1?1?cos??1，所以，所以夹角为，1?2e2??e11?1cose?2e,e???0?????????????121232e1?2e2?e1e1?2e2?e1????????选A.

5．【解析】首先安排文科学生，文科两个班的学生有A32种安排方法，然后安排理科学生，理科的学

12212生有A2种安排方法，利用乘法原理可得，不同的安排方法的种数为A3?A2?A2?A2?24 种.

本题选择A选项. 6．【解析】初始值n?4,x?2，程序运行过程如下：v?2,

i?4,v?2?2?3?7;i?2,v?14?2?16;

i?1,v?16?2?1?33;i?0,v?33?2?0?66;

i??1跳出循环，输出v的值为66,故选A.

7．【解析】函数向左平移后得到y?cos?2x?2??π?，其图像关于原点对称为奇函数，故2??π?kπ?π，???6?62即??kπ?π，?26min?ππ3,tan?663.故选B

8．【解析】 由题意得，设求和三棱柱的上底面的三个焦点分别为A,B,C,设截面圆的半径为r，因为上底面是边长为12的正三角形，则r?23，设求的半径为R，根据球的性质可得

R2??R?2??23?R?4，所以球的表面积为S?4?R2?4??42?64?cm2，故选B。

9．【解析】设AD长为x，则CD长为16?x，又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a?x?12，则矩形ABCD的面积为x?16?x?

6

2??2当0?a?8时，当且仅当x?8时，S?64 当8?a?12时，S?a?16?a?,

8,0?a?8?,分段画出函数图形可得其形状与B接近，故选B. S???a?16?a?,8?a?1210．【解析】由题不妨可设

?b?M?t,t?,F2?c,0??a?，由题意可得c?a2?62?63，则b?1，

a31，即t?83331t11t，所以1?1?????1，即t?c代入1c?M?t,t?,kOM?,kMF2??4233t?c3?33t?c?tc?48中可得c?8，所以8?a2，则2a?83，应选答案?a?433D。

11. 【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是正方体去两个相同的三棱锥（虚线表示的部分），因为正方体的体积是V?2?2?2?8，每个小的三棱锥的体积

112V1???2?2?1?，则三视图所代表的几何体的体积

323220，应选答案A。 V2?8?2??33

12．【解析】由f?x??xf??x?得?f?x??'?0,设g?x????x??f?x??lnx?x1?，使得2?x?a?，则存在x???,2??2?g'?x??0成立，即g'?x??1?2?x?a??0成立.所以a?x11?成立又?x恒成立，所以a???x??2x?2x?min11?x?2?x?2x2x2当且仅当1?x即x?2x22取等号.所以a?2,故选C.

13．【解析】可行域如图：移项有y?3x?1z，斜率大于1，所以在M处z最

22小，N处z最大，联立??y?x?1，得M?a?1,a?，有3?a?1??2a??4，

y?a?得a??1，故N?5,?1?,zmax?3?5?2???1??17 14．【解析】由题{aan?1}为等差数列，即n?1?1?n?1?n，所以an?1?nan?an??n?1?!，所以

anana6?a5?5!?4!?96.

15．【解析】由题意，200对都小于1的正实数对（x,y），满足{0?x?10?y?10?x?1，对应图形面积为1，两个

数能与1构成钝角三角形的三边的数对（x,y）满足x2?y2?1且{0?y?1，对应图形的面积为x?y?1?1? ，42 7

因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m=56，所以【答案】56?178 。??,???200422578 252216．【解析】如图所示, 圆C：圆心C??1,2?,?x?1???y?2??2，半径r?2,因为PM?PO,所以PO?r2?PC(C为圆心,r为圆的半径),所以x12?y12?2??x1?1???y1?2?,即

22222x1?4y1?3?0.要使PM最小,只要PO最小即可.当直线PO垂直于直线2x?4y?3?0时,即直线PO的方程为2x?y?0时,PM最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标??17．【解析】（1）f?x??2sin2x?23sinxcosx??33?.【答案】?33? ,???,?105???105??6???，当x??0,??3sin2x?cos2x?1?2sin?2x??1????2??时，2x??????,5??，sin?2x??????1,1?，所以f?x???0,3?；

?????6?6??2??66??（2）由对任意的x?R都有f?x??f?A?得：2A??6??2?A??，

3????????????????????????由AD2?1AB2?2AB?AC?AC2?1?c2?b2?2cbcosA??1?c2?b2?cb??7，所以AD?7. 4??4418．【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200?0.300?0.260?0.090?0.025?0.875，由于该估计值小于0.90，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定.

（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1

211121C4C1?C3C4C13件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率P?C3?. 4C87（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为

170?0.025?180?0.1?190?0.2?200?0.3?210?0.26?220?0.09?230?0.025

?200.4

“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X~N?218,140?，则E?X??218. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6 19．【解析】（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即求．如图所示：

（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A?0,0,0?，

为所为y 8

E?0,0,2?，B?2,0,0?，C?2,2,0?，F?0,2,1?，∴

????????????EC??2,2,?2?，EB??2,0,?2?，EF??0,2,?1?，

设平面ECF的法向量为n??x,y,z?，得

?2x?2y?2z?0,取y?1，得平面ECF的一个法向量{2y?z?0,为

?n??1,1,2?，设直线EB与平面ECF所成的角为?，

∴sin??cosn,EB???????23． ?643AC的

20．【解析】（Ⅰ）依题意得AB?2,BD?1，设动圆M与边延长线相切于T1，与边BC相切于T2， 则

AD?AT1,BD?BT2,CT1?CT2

所以AD?BD?AT1?BT2?AC?CT1?BT2

?AC?CT1?CT2?AC?BC?AB?2BD?4?AB?2所

长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的C轨迹?是以A,B为焦点，

以点两个

x2y2顶点.则曲线?的方程为??1?y?0?. 43由于曲线?要挖去长轴两个顶点，所以直线OE,OF斜率存在且不为0，所以可设直线

OE:y?kx,OF:y??y?kx211x,E?x1,y1?,F?x2,y2? k12k212k21212222由{2得,，同理可得：,；所以y?x?x?y?122222223?4k3k?43?4k3k?43x?4y?12OE2?121?k23?4k2??，OF2?121?k23k?42?? 又OE?OF，所以S2?OEF21?k2122令t?k?1， ?OEOF?36?2243k?44k?3??2????则t?1且k2?t?1，所以S2?OEF?36??3k2?1?k??4??4k222t2 ?36??3t?1??4t?1??3?11??36???36?2?1??1?49?11??3?4?????????t??t?4?t2?

又0??1，所以

1t?49?11?49???????1242?4?t2，所以

9

?11???12?11?24949????4?t2?4，所以14449??36?1?11?49????4?t2?2?3，所以12?S?OEF?3，所以?OEF面积的7取值范围为?12,3?. ??7??【法二】依题意得直线l斜率不为0，且直线EF不过椭圆的顶点，则可设直线l：x?my?n，且

m??23。设E?x1,y1?,F?x2,y2?，又以EF为直径的圆经过点O，则OE?OF， 所以x1x2?y2y1?0①

由{x?my?n得?3m2?4?y2?6mny?3n2?12?0，

3x2?4y2?12则y1?y6mn3m2?4,y3n2?12 2??1y2?3m2?4且??36m2n2?4?3m2?4??3n2?12???48?n2?3m2?4??0，所以n2?3m2?4?0②

又2x1x2??my1?n??my2?n??m2y1y2?mn?y1?y3m2n2?12m2??n2?3m2?4?6m2n23m2?4?n2 ?4n2?12m2 代入①得：7n2?12m2?12?0，所以n23m2?4?12?m2?1?， 7代入②得：?9m2?16?0恒成立所以m2?0且m2?43. 又EF?1?m2y?y?1?m2?48?n2?3m2?4???；

12?3m2?4?43?1?m2??n2?3m2?43m2?4点O到直线l的距离为d?n，

1?m2所以S?2?3m2?4??OEF?1?EF?d?1?43?1?m2?n22?3m2?4?n1?m2 2?23??n?n2?3m2?4??m2?1??9m2?16?23m2?4?127???12?1?m 3m2?4?279m4?24m2?16（Ⅰ）当m2?0时，S12?OEF?7； （Ⅱ）当m2?0且m2?43时， S12?OEF?7?1?m2121， 9m4?24m2?16?7?1?9m2?16m2?24又9m2?16m2?24，当且仅当m2?43时取“?”，所以9m2?16m2?24，

10

所以0?149， 11，所以1?1???16169m2?2?24489m2?2?2448mm17，所以12?S； 综合（1），（2）知12?S. ?3??OEF?OEF?377169m2?2?2443m所以1?1?21．【解析】（Ⅰ）当a?0时，f?x??x2lnx?12x，f??x??2xlnx， 2所以切线l的斜率k?f??t??2tlnt，又直线l过原点，所以k?f?t?t1?tlnt?t，

2由2tlnt?tlnt?111. t得lnt??，t?22e所以k?f??x1?1?，故切线的方程为，即x?ey?0. ly?????ee?e?（Ⅱ）由f?x??x2?2axlnx?2ax???12x，可得f??x???2x?2a?lnx， 2①当a?0时f??x??0?x?1，f??x??0?0?x?1，f?x?在?1,???上单调递增，在?0,1?上单调递减，

f?x?在x?1时取到极小值，且f?1??2a?1，f?x?没有极大值； 2②当0?a?1时f??x??0?x?1或0?x?a，f??x??0?a?x?1.f?x?在?0,a?，?1,???上单调递增，在?a,1?上单调递减，f?x?在x?a时取到极大值， 且f?a???a2lna?132a，f?x?在x?1时取到极小值，且f?1??2a?；

22③当a?1时f??x??0恒成立，f?x?在???,???上单调递增，f?x?没有极大值也没有极小值； ④当a?1时f??x??0?x?a或0?x?1，f??x??0?1?x?a，f?x?在?0,1?，?a,???上单调递增，

在?1,a?上单调递减，f?x?在x?a时取到极小值，且f?a???a2lna?3a2.f?x?在x?1时取到极大2值，且f?1??2a?1. 2综上可得，当a?0时，f?x?在x?1时取到极小值2a?当0?a?1时，f?x?在x?a时取到极大值?a2lna?1，f?x?没有极大值； 2321a，在x?1时取到极小值2a?； 22 11

当a?1时，f?x?没有极大值也没有极小值；当a?1时，f?x?在x?a时取到极小值?a2lna?在x?1时取到极大值2a?32a.21. 2（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a?0且a?1时，f?x?有两个极值f?x?点x1，x2， 且f?x1??f?x2??f?a??f?1???a2lna?3a2?2a?1. 22所以f?x1??f?x2???1a2?3a???a2lna?a?1??a2?lna?1?1?，

??2??2???a?设g?a??lna?1?1，则g??a??1?aa1a?1所以g?2，2aa ?a?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增，

由a?0且a?1可得

g?a??g?1??0，所以

f1?12????x1??f?x2????a2?lna?1???0，即?a?3a??2??a?f?x1??f?x2??12a?3a. 222．【解析】（Ⅰ）因为x??cos?，y??sin?，x2?y2??2，

C1的极坐标方程为

23?cos???sin??4?0，C2的普通方程为x??y?1??1，即

2x2?y2?2y?0，对应极坐标方程为??2sin?.

（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为???（??0，0????1?OBOA?2）设A??1,??，B??2,??，则，

所

以

43cos??sin??，

?2?2sin?1??3??3c4?21?2?4?1?s?i?n??so?is?n??1????，又??，?sn??oi??ns?2i?2cs?220??1?124?6?????6?2???6?5?，

6所以当2?????，即??62?33时，OB取得最大值. OA423．【解析】（Ⅰ）原不等式即为x?9?10?x?1．当x??9时，则?x?9?10?x?1，解得x??10；当?9?x??1时，则x?9?10?x?1，此时不成立；当x??1时，则x?9?10?x?1，解得x?0．所以原不等式的解集为{x|x??10或x?0}． （Ⅱ）要证f则?y?1?x22?y???y?，即y?1x?f?2??x?xy，只需证明y?1?1|2xx． y?1|2x有

??y?xx42?2?x2?y?1??y?x2x42??2?x2y?2xy?x?y?2xy?xx4???x2?x42y2 12

?1?x??x?22?y2x4?．

2因为x|21，|y|2?1，则?y?1???2xy?xx42?21?x??x??22?y2x4??0，

所以?y?1?x22?y?x??22，原不等式得证．

x4

13

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