数学物理方法习题
更新时间:2023-05-18 11:03:01 阅读量: 实用文档 文档下载
复变函数
周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开: 傅里叶级数展开:kπ x kπ x 实数形式:f ( x) = a0 + ∑ (ak cos ) + bk sin l l k =1 1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ 2l l 1 l kπ ξ ak = ∫ f (ξ ) cos dξ l l l 1 l kπ ξ bk = ∫ f (ξ ) sin dξ l l l∞
复数形式:f ( x) = ck =
k = ∞ l
∑c ek
∞
i
kπ x l
1 ∫ l f (ξ )e 2l
i
kπ ξ l
dξ
复变函数
周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开: 傅里叶级数展开:奇函数的傅里叶展开:只含正弦项 奇函数的傅里叶展开:只含正弦项kπ x 2 l kπ ξ f ( x) = ∑ bk sin , bk = ∫ f (ξ ) sin dξ 0 l l l k =1∞
偶函数的傅里叶展开:只含余弦项 偶函数的傅里叶展开:只含余弦项 2, k = 0 kπ x 2 l kπξ f ( x) = a0 + ∑ ak cos , ak = ∫0 f (ξ )cos l dξ , δ k = 1, k ≠ 0 δkl l k =1 ∞
定义在有限 定义在有限区间(0,l):延拓成周期函数 有限区间(0,l 延拓成周期函数
要求 f (0) = f (l ) = 0 延拓成奇的周期函数 要求 f ' (0) = f ' (l ) = 0 延拓成偶的周期函数
复变函数
必备的高等数学知识: 必备的高等数学知识: 高等数学知识微积分: 三角函数有关的积分 微积分:与三角函数有关的积分 三角函数自身: 三角函数自身:
1 sin k x dx = cos k x |b = ... a ∫a kb
∫
b
a
cos k x dx =
1 sin k x |b = ... a k
三角函数之积:积化和差 三角函数之积:1 ∫a sin α x cos k x dx = ∫a 2 [sin(α + k ) x + sin(α k ) x]dx = ... b b1 ∫a cos α x sin k x dx = ∫a 2 [sin(α + k ) x sin(α k ) x]dx = ... b b1 ∫a cos α x cos k x dx = ∫a 2 [cos(α + k ) x + cos(α k ) x]dx = ... b b 1 ∫a sin α x sin k x dx = ∫a ( 2 )[cos(α + k ) x cos(α k ) x]dx = ...b b
复变函数
必备的高等数学知识: 必备的高等数学知识: 高等数学知识微积分: 三角函数有关的积分 微积分:与三角函数有关的积分 多项式与三角函数之积:分部积分 多项式与三角函数之积:b 1 1 1 b ∫a x sin kxdx = ∫a x( k cos kx)′dx = k x cos kx |a ∫a ( k )cos kxdx = ... b b b1 1 1 b ∫a x cos kxdx = ∫a x( k sin kx)′dx = k x sin kx |a ∫a k sin kxdx = ... b b
b 1 1 2 1 b x sin k x dx = ∫ x ( cos k x)′dx = x cos k x |a ∫ ( ) cos k x ( x 2 )′dx ∫a a a k k k 1 2 2 b b = x cos k x |a + ∫ x cos k xdx = ... k k a b b b1 1 2 2 1 ′dx = x 2 sin k x |b ∫ sin k x ( x 2 )′dx a ∫a x cos k xdx = ∫a x ( k sin k x) a k k 1 2 2 b b = x sin k x |a ∫ x sin k xdx = ... k k a b 2 b 2
复变函数
周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开: 傅里叶级数展开:例:P.92, 5.(1)题 例:P.92, 5.(1)题 cos αx, 0 < x < π f ( x) = x = 0, x = π 0,∞
有限区间 需要延拓 奇的周期函数:T 奇的周期函数:T=2ππ∫1
应展开为傅里叶正弦 应展开为傅里
叶正弦级数: 正弦级数:f ( x) = ∑ bk sin kx, bk =k =1
2
π
0
f (ξ ) sin kξ dξπ
bk =
π∫
2
π
0
cos αξ sin kξ dξ =
π∫
0
[sin( k + α )ξ + sin( k α )ξ ]dξπ
1 cos( k + α )ξ cos( k α )ξ = [ + ] π k +α k α 0 1
1 1 1 = [cos( k + α )π 1] [cos( k α )π 1] π k +α π k α
复变函数
周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开: 傅里叶级数展开:续上页:cos(k + α )π = cos kπ cos απ sin kπ sin απ = ( 1) k cos απ cos(k α )π = cos kπ cos απ + sin kπ sin απ = ( 1) k cos απ
故:1 1 1 bk = [cos(k + α )π 1] [cos(k α )π 1] π k +α π k α 1 1 1 = ( + )[( 1) k cos απ 1] π k +α k α 2k = [( 1) k +1 cos απ + 1] π (k 2 α 2 ) 1
k f ( x) = ∑ 2 [( 1) k +1 cos απ + 1] sin kx π k =1 (k α 2 )
2
∞
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:输运方程、稳定场方程 泛定方程:波动方程、 定解问题: 边界条件:三种类型 定解条件: 初始条件:
泛定方程的导出: 确定研究物理量 微元分析 偏微分方程
常见的三类泛定方程: 常见的三类泛定方程:波动方程: 输运方程: 稳定场方程: utt a 2 u = f ( x, y, z , t ) ut a 2 u = f ( x, y, z , t ) a 2 u = f ( x, y, z , t )
双曲型 抛物型 椭圆型
“二阶 线性 偏微分方程”?“齐次 方程”? 偏微分方程” 方程”
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:常见的三类边界条件: 常见的三类边界条件:第一类: u ( x, y, z , t ) |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t ) 第二类: u n |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t ) 第三类: (u + Hun ) |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t )
“齐次 边界条件”? 边界条件” 初始条件: u |t =0 = ( x, y, z ) 对于波动方程,需要两个初始条件: ut |t =0 = ψ ( x, y, z )
对于输运方程,仅需一个初始条件:u |t =0 = ( x, y, z )对于稳定场方程,无需初始条件
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】弦的振动 1. P179,第1题:无限长、自由振动 P179,第1 泛定方程: “自由” utt a 2u xx = 0 ( ∞ < x < ∞, t > 0) 边界条件:“无限长” 没有边界条件 定解条件: 初始条件:“初始位移” u |t =0 = ( x) “初始速度” ut |t =0 = a ′( x)
2. P201,第1题:有限长、自由振动 P201,第1 泛定方程:“自由” utt a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) 边界条件:“两端固定” u | x =0 = u | x =l = 0 定解条件: 初始条件:“初始静止” ut |t =0 = 0, “初始位
移” u |t =0 = ?
复变函数
受力平衡 T1 cos α1 = T2 cos α 2 , T1 sin α1 + T2 sin α 2 = F0 h很小 α i 很小 cos α i ≈ 1, sin α i ≈ α i ≈ tan α i , i = 1,2 h h l ∴T1 = T2 = T , F0 = T (tan α1 + tan α 2 ) = T ( + ) = Th x0 l x0 x0 (l x0 ) F0 x0 (l x0 ) 则: = h T l ∴当0 < x < x0时,u ( x,0) = x tan α1 = x h F0 l x0 = x x0 T l
h F0 x0 当x0 < x < l时,u ( x,0) = (l x) tan α 2 = (l x) (l x) = (l x0 ) T l 即初始位移应表示为: F0 l x0 T l x, u |t =0 = F0 x0 (l x), T l 0 < x ≤ x0 x0 < x < l0
F0
α1u x
α2h x0
T1
T2
u x
l
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】弦的振动 3. 振动的几种常见边界条件:“端点固定” u |x = a = 0 (弦、杆) “端点自由” un |x = a = u x |x = a = 0 (弦、杆) “端点受力” un |x = a = ±u x |x = a = f (t ) / YS (杆) 其中:a = 0 或 l 当 a = 0时“±”取“ ” 当 a = l 时“±”取“+” n 0 l nx
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】杆的纵振动 1. P161,第2题:端点受力,第二类边界条件 P161,第2杆端点受杨氏弹性力与其形变的关系为:YS u n | x = a = f (t ) 其中 f (t )的正方向为端点的外法线方向,则: YSu x | x =0 = YSun | x =0 = F0 , YSu x | x =l = YSun | x =l = F0 (注:本题答案有误,请认真阅读第156页内容)
2. P179,第6题:半无限长、延拓 P179,第6 泛定方程:“端点外不受力” utt a 2u xx = 0 (0 < x < ∞, t > 0) 初始: u |t =0 = ( x), ut |t =0 = ψ ( x) ( x > 0) 定解条件: f (t ) F (t ) A sin ωt 边界:“一端受力” u x | x =0 = YS = YS = YS
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】杆的纵振动 3. P201,第4题:初始长度收缩 P201,第4 泛定方程:“自由” utt a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) 边界条件:“放手” u x | x =0 = u x | x =l = 0 定解条件: 初始条件:“初始静止” ut |t =0 = 0, “初始位移” u |t =0 = ? u:伸长量,均匀杆 均匀收缩,x = l / 2点不动 l/2 l l l (1 2ε ) l 单位长度收缩为: = = 2ε 0 l l 2ε (l / 2 x), 0 < x < l / 2 ∴ u |t =0 = = 2ε (l / 2 x), 0 < x < l l 2ε ( x 2 ), l / 2 < x < l
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】杆的纵振动 4. 边界条件 or 初始条件: 初始条件:“从 t = 0 时刻开始在 x = l 端施加纵向作用力 F (t )” 边界条件:u x | x =l = F (t ) / YS (t ≥ 0) “在 x = l 端原先施加有恒定纵向力 F,在 t = 0时刻撤掉” 初始条件:u |t =0
= ?u:伸长量,均匀杆 均匀伸长,x = 0点不动 l F 单位长度收缩为: = (胡克定律) l YS 0 l Fx ∴ u |t =0 = x= , 0≤ x≤l l YS
l
xF
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】热传导 1. P161,第3题:端点有热流,第二类边界条件 P161,第3杆端点热流与边界条件的关系为: kun | x = a = f (t ) 其中f (t )的正方向为端点的外法线方向,即流出,则: ku x | x =0 = kun | x =0 = f (t ) = q0 , ku x | x =l = kun | x =l = f (t ) = q0
即ku x | x =0 = q0, x | x =l = q0 ku
2. P201,第2题:输运方程、一个初始条件 P201,第2 泛定方程: ut a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) 边界条件:u | x =0 = u | x =l = 0 定解条件: 初始条件:u |t =0 = bx(l x) / l 2
复变函数
数学物理定解问题的 翻译” 数学物理定解问题的“翻译”: P152,第5 P152,第5题:热传导方程、非齐次 热传导,温度u(x,t),热量守恒定律、 热传导,温度u(x,t),热量守恒定律、热传导定律
q = k ucρ (u |t + dt u |t ) Sdx = (κux |x + dx κux |x )Sdt + F ( x, t )Sdxdt u |t + dt u |t ux |x + dx ux |x cρ =κ + F ( x, t ) dt dx c ρ ut = κ (u xx + u yy + u zz ) + F ( x, t ), 本问题中,显然F = F (t )dQ ∵ = β Q, ∴ Q = Q0e β t dt Q(t + dt ) Q(t ) dQ c ρ ut = k u = k u dt dt c ρ ut k u = β Q = Q0 β e β t
S
x x+dx
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】稳定分布:拉普拉斯方程 稳定分布: 1. P202,第17题:圆域,极坐标 P202,第17题:圆域,极坐标 1 1 2u 1 u 1 2u + 2 2 泛定方程: u = u ρρ + u ρ + 2 uφφ = 0 = 2 + ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ 定解条件: 边界条件:u |φ = 0 = u |φ =π = 0, u |ρ = ρ0 = u0 初始条件:不需要
2. 换成圆环?换成球壳?
球坐标
圆环:方程不变,边界条件改变,如 u |ρ = ρ1 = u1 , u |ρ = ρ 2 = u2 球壳:球坐标,球对称,方程改变 u = 1 2 u (r )=0 2 r r r 边界条件改变,如 u |r = r1 = u1 , u |r = r2 = u 2
复变函数
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:学会“翻译” 学会“翻译”: 定解问题 = 泛定方程 + 定解条件(边界、初始) 定解条件(边界、初始) 物理分析:微元分析、受力平衡、守恒定律等 物理分析:微元分析、受力平衡、守恒定律等
常见的三类泛定方程 常见的三类泛定方程: 三类泛定方程: 波动方程、输运方程、稳定场方程 波动方程、输运方程、 特征判断:最高阶数、是否线性、是否齐次 特征判断:最高阶数、是否线性、
常见的三类边界条件 常见的三类边界条件: 三类
边界条件: 第一类、第二类、第三类 第一类、第二类、 特征判断:是否齐次 特征判断:
非直角坐标: 非直角坐标: 极坐标、球坐标 极坐标、 算符的表示 算符的表示
方程所需的初始条件 方程所需的初始条件: 初始条件:
波动(2)、输运(1)、稳定场(0) 输运( 稳定场( 波动( )、输运 )、稳定场
复变函数
数学物理定解问题的求解方法 数学物理定解问题的求解方法: 求解方法:行波法(达朗贝尔公式): 行波法(达朗贝尔公式): 公式 物理意义:分别沿正、 物理意义:分别沿正、反方向传播的行波 适用:无界空间一维齐次波动方程 适用: 半无界情形:延拓(满足初始条件) 半无界情形:延拓(满足初始条件)
分离变数法: 分离变数法: 基本思路:分解为几个常微分方程;本征值问题 基本思路:分解为几个常微分方程; 分两种情况: 分两种情况: 1. 本征解是三角函数的情形:直角坐标、极坐标 本征解是三角函数的情形:直角坐标、 三角函数的情形 主要步骤: 主要步骤:分离变数 本征解 叠加解 定系数 非齐次问题的解决思路:齐次化(特解、叠加) 非齐次问题的解决思路:齐次化(特解、叠加) 傅里叶级数展开(系数公式、常用积分) 傅里叶级数展开(系数公式、常用积分) 展开
复变函数
必备的高等数学知识: 必备的高等数学知识: 高等数学知识常微分方程: 常微分方程: 齐次方程:一元、二元;通解 齐次方程:一元、二元;
T ′ + kT = 0 T (t ) = Ce k t , k ≥ 0 A1 cos k x + B1 sin k x, k > 0 X ′′ + k X = 0 A2 x + B2 , k =0 A3e | k | x + B3e |k | x , k <0 换成 T 也一样! 非齐次方程:特解 + 通解 非齐次方程: T ′′ + k T = f (t )T = T1 + T2 T1′′+ k T1 = f (t ) T1 特解 T2′′ + k T2 = 0, T2 通解
复变函数
达朗贝尔公式、行波法 达朗贝尔公式、行波法 :一维齐次波动方程的通解 一维齐次波动方程的通解: 通解:utt a 2u xx = 0 ( ∞ < x < ∞, t > 0) u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x at )
无界空间一维波动方程的达朗贝尔 无界空间一维波动方程的达朗贝尔公式: 达朗贝尔公式:+ at 1 1 x +at u ( x, t ) = [ ( x + at ) + ( x at )] + ∫x at ψ (ξ )dξ 2 2a
物理意义: 物理意义:x + at 项:表示沿 x 轴反方向传播的波 x at 项:表示沿 x 轴正方向传播的波
用途:解某些 用途:解某些数理方程(行波法) 某些数理方程(行波法)
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