数学物理方法习题

复变函数

周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开： 傅里叶级数展开：kπ x kπ x 实数形式：f ( x) = a0 + ∑ (ak cos ) + bk sin l l k =1 1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ 2l l 1 l kπ ξ ak = ∫ f (ξ ) cos dξ l l l 1 l kπ ξ bk = ∫ f (ξ ) sin dξ l l l∞

复数形式：f ( x) = ck =

k = ∞ l

∑c ek

∞

i

kπ x l

1 ∫ l f (ξ )e 2l

i

kπ ξ l

dξ

复变函数

周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开： 傅里叶级数展开：奇函数的傅里叶展开：只含正弦项 奇函数的傅里叶展开：只含正弦项kπ x 2 l kπ ξ f ( x) = ∑ bk sin , bk = ∫ f (ξ ) sin dξ 0 l l l k =1∞

偶函数的傅里叶展开：只含余弦项 偶函数的傅里叶展开：只含余弦项 2, k = 0 kπ x 2 l kπξ f ( x) = a0 + ∑ ak cos , ak = ∫0 f (ξ )cos l dξ , δ k = 1, k ≠ 0 δkl l k =1 ∞

定义在有限 定义在有限区间(0,l):延拓成周期函数 有限区间(0,l 延拓成周期函数

要求 f (0) = f (l ) = 0 延拓成奇的周期函数 要求 f ' (0) = f ' (l ) = 0 延拓成偶的周期函数

复变函数

必备的高等数学知识： 必备的高等数学知识： 高等数学知识微积分： 三角函数有关的积分 微积分：与三角函数有关的积分 三角函数自身： 三角函数自身：

1 sin k x dx = cos k x |b = ... a ∫a kb

∫

b

a

cos k x dx =

1 sin k x |b = ... a k

三角函数之积：积化和差 三角函数之积：1 ∫a sin α x cos k x dx = ∫a 2 [sin(α + k ) x + sin(α k ) x]dx = ... b b1 ∫a cos α x sin k x dx = ∫a 2 [sin(α + k ) x sin(α k ) x]dx = ... b b1 ∫a cos α x cos k x dx = ∫a 2 [cos(α + k ) x + cos(α k ) x]dx = ... b b 1 ∫a sin α x sin k x dx = ∫a ( 2 )[cos(α + k ) x cos(α k ) x]dx = ...b b

复变函数

必备的高等数学知识： 必备的高等数学知识： 高等数学知识微积分： 三角函数有关的积分 微积分：与三角函数有关的积分 多项式与三角函数之积：分部积分 多项式与三角函数之积：b 1 1 1 b ∫a x sin kxdx = ∫a x( k cos kx)′dx = k x cos kx |a ∫a ( k )cos kxdx = ... b b b1 1 1 b ∫a x cos kxdx = ∫a x( k sin kx)′dx = k x sin kx |a ∫a k sin kxdx = ... b b

b 1 1 2 1 b x sin k x dx = ∫ x ( cos k x)′dx = x cos k x |a ∫ ( ) cos k x ( x 2 )′dx ∫a a a k k k 1 2 2 b b = x cos k x |a + ∫ x cos k xdx = ... k k a b b b1 1 2 2 1 ′dx = x 2 sin k x |b ∫ sin k x ( x 2 )′dx a ∫a x cos k xdx = ∫a x ( k sin k x) a k k 1 2 2 b b = x sin k x |a ∫ x sin k xdx = ... k k a b 2 b 2

复变函数

周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开： 傅里叶级数展开：例：P.92, 5.(1)题 例：P.92, 5.(1)题 cos αx, 0 < x < π f ( x) = x = 0, x = π 0,∞

有限区间 需要延拓 奇的周期函数：T 奇的周期函数：T=2ππ∫1

应展开为傅里叶正弦 应展开为傅里

叶正弦级数： 正弦级数：f ( x) = ∑ bk sin kx, bk =k =1

2

π

0

f (ξ ) sin kξ dξπ

bk =

π∫

2

π

0

cos αξ sin kξ dξ =

π∫

0

[sin( k + α )ξ + sin( k α )ξ ]dξπ

1 cos( k + α )ξ cos( k α )ξ = [ + ] π k +α k α 0 1

1 1 1 = [cos( k + α )π 1] [cos( k α )π 1] π k +α π k α

复变函数

周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开： 傅里叶级数展开：续上页：cos(k + α )π = cos kπ cos απ sin kπ sin απ = ( 1) k cos απ cos(k α )π = cos kπ cos απ + sin kπ sin απ = ( 1) k cos απ

故：1 1 1 bk = [cos(k + α )π 1] [cos(k α )π 1] π k +α π k α 1 1 1 = ( + )[( 1) k cos απ 1] π k +α k α 2k = [( 1) k +1 cos απ + 1] π (k 2 α 2 ) 1

k f ( x) = ∑ 2 [( 1) k +1 cos απ + 1] sin kx π k =1 (k α 2 )

2

∞

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:输运方程、稳定场方程 泛定方程：波动方程、 定解问题： 边界条件：三种类型 定解条件： 初始条件：

泛定方程的导出： 确定研究物理量 微元分析 偏微分方程

常见的三类泛定方程： 常见的三类泛定方程：波动方程： 输运方程： 稳定场方程： utt a 2 u = f ( x, y, z , t ) ut a 2 u = f ( x, y, z , t ) a 2 u = f ( x, y, z , t )

双曲型 抛物型 椭圆型

“二阶 线性 偏微分方程”?“齐次 方程”? 偏微分方程” 方程”

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:常见的三类边界条件： 常见的三类边界条件：第一类： u ( x, y, z , t ) |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t ) 第二类： u n |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t ) 第三类： (u + Hun ) |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t )

“齐次 边界条件”? 边界条件” 初始条件： u |t =0 = ( x, y, z ) 对于波动方程，需要两个初始条件： ut |t =0 = ψ ( x, y, z )

对于输运方程，仅需一个初始条件：u |t =0 = ( x, y, z )对于稳定场方程，无需初始条件

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】弦的振动 1. P179,第1题：无限长、自由振动 P179,第1 泛定方程： “自由” utt a 2u xx = 0 ( ∞ < x < ∞, t > 0) 边界条件：“无限长” 没有边界条件 定解条件： 初始条件：“初始位移” u |t =0 = ( x) “初始速度” ut |t =0 = a ′( x)

2. P201,第1题：有限长、自由振动 P201,第1 泛定方程：“自由” utt a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) 边界条件：“两端固定” u | x =0 = u | x =l = 0 定解条件： 初始条件：“初始静止” ut |t =0 = 0, “初始位

移” u |t =0 = ?

复变函数

受力平衡 T1 cos α1 = T2 cos α 2 , T1 sin α1 + T2 sin α 2 = F0 h很小 α i 很小 cos α i ≈ 1, sin α i ≈ α i ≈ tan α i , i = 1,2 h h l ∴T1 = T2 = T , F0 = T (tan α1 + tan α 2 ) = T ( + ) = Th x0 l x0 x0 (l x0 ) F0 x0 (l x0 ) 则： = h T l ∴当0 < x < x0时，u ( x,0) = x tan α1 = x h F0 l x0 = x x0 T l

h F0 x0 当x0 < x < l时，u ( x,0) = (l x) tan α 2 = (l x) (l x) = (l x0 ) T l 即初始位移应表示为： F0 l x0 T l x, u |t =0 = F0 x0 (l x), T l 0 < x ≤ x0 x0 < x < l0

F0

α1u x

α2h x0

T1

T2

u x

l

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】弦的振动 3. 振动的几种常见边界条件：“端点固定” u |x = a = 0 (弦、杆) “端点自由” un |x = a = u x |x = a = 0 (弦、杆) “端点受力” un |x = a = ±u x |x = a = f (t ) / YS (杆) 其中：a = 0 或 l 当 a = 0时“±”取“ ” 当 a = l 时“±”取“+” n 0 l nx

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】杆的纵振动 1. P161,第2题：端点受力，第二类边界条件 P161,第2杆端点受杨氏弹性力与其形变的关系为：YS u n | x = a = f (t ) 其中 f (t )的正方向为端点的外法线方向，则： YSu x | x =0 = YSun | x =0 = F0 , YSu x | x =l = YSun | x =l = F0 (注：本题答案有误，请认真阅读第156页内容)

2. P179,第6题：半无限长、延拓 P179,第6 泛定方程：“端点外不受力” utt a 2u xx = 0 (0 < x < ∞, t > 0) 初始： u |t =0 = ( x), ut |t =0 = ψ ( x) ( x > 0) 定解条件： f (t ) F (t ) A sin ωt 边界：“一端受力” u x | x =0 = YS = YS = YS

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】杆的纵振动 3. P201,第4题：初始长度收缩 P201,第4 泛定方程：“自由” utt a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) 边界条件：“放手” u x | x =0 = u x | x =l = 0 定解条件： 初始条件：“初始静止” ut |t =0 = 0, “初始位移” u |t =0 = ? u:伸长量，均匀杆 均匀收缩，x = l / 2点不动 l/2 l l l (1 2ε ) l 单位长度收缩为： = = 2ε 0 l l 2ε (l / 2 x), 0 < x < l / 2 ∴ u |t =0 = = 2ε (l / 2 x), 0 < x < l l 2ε ( x 2 ), l / 2 < x < l

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】杆的纵振动 4. 边界条件 or 初始条件： 初始条件：“从 t = 0 时刻开始在 x = l 端施加纵向作用力 F (t )” 边界条件：u x | x =l = F (t ) / YS (t ≥ 0) “在 x = l 端原先施加有恒定纵向力 F,在 t = 0时刻撤掉” 初始条件：u |t =0

= ?u:伸长量，均匀杆 均匀伸长，x = 0点不动 l F 单位长度收缩为： = (胡克定律) l YS 0 l Fx ∴ u |t =0 = x= , 0≤ x≤l l YS

l

xF

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】热传导 1. P161,第3题：端点有热流，第二类边界条件 P161,第3杆端点热流与边界条件的关系为： kun | x = a = f (t ) 其中f (t )的正方向为端点的外法线方向，即流出，则： ku x | x =0 = kun | x =0 = f (t ) = q0 , ku x | x =l = kun | x =l = f (t ) = q0

即ku x | x =0 = q0, x | x =l = q0 ku

2. P201,第2题：输运方程、一个初始条件 P201,第2 泛定方程： ut a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) 边界条件：u | x =0 = u | x =l = 0 定解条件： 初始条件：u |t =0 = bx(l x) / l 2

复变函数

数学物理定解问题的 翻译” 数学物理定解问题的“翻译”: P152,第5 P152,第5题：热传导方程、非齐次 热传导，温度u(x,t),热量守恒定律、 热传导，温度u(x,t),热量守恒定律、热传导定律

q = k ucρ (u |t + dt u |t ) Sdx = (κux |x + dx κux |x )Sdt + F ( x, t )Sdxdt u |t + dt u |t ux |x + dx ux |x cρ =κ + F ( x, t ) dt dx c ρ ut = κ (u xx + u yy + u zz ) + F ( x, t ), 本问题中，显然F = F (t )dQ ∵ = β Q, ∴ Q = Q0e β t dt Q(t + dt ) Q(t ) dQ c ρ ut = k u = k u dt dt c ρ ut k u = β Q = Q0 β e β t

S

x x+dx

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:【例】稳定分布：拉普拉斯方程 稳定分布： 1. P202,第17题：圆域，极坐标 P202,第17题：圆域，极坐标 1 1 2u 1 u 1 2u + 2 2 泛定方程： u = u ρρ + u ρ + 2 uφφ = 0 = 2 + ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ 定解条件： 边界条件：u |φ = 0 = u |φ =π = 0, u |ρ = ρ0 = u0 初始条件：不需要

2. 换成圆环？换成球壳？

球坐标

圆环：方程不变，边界条件改变，如 u |ρ = ρ1 = u1 , u |ρ = ρ 2 = u2 球壳：球坐标，球对称，方程改变 u = 1 2 u (r )=0 2 r r r 边界条件改变，如 u |r = r1 = u1 , u |r = r2 = u 2

复变函数

数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”:学会“翻译” 学会“翻译”: 定解问题 = 泛定方程 + 定解条件(边界、初始) 定解条件(边界、初始) 物理分析：微元分析、受力平衡、守恒定律等 物理分析：微元分析、受力平衡、守恒定律等

常见的三类泛定方程 常见的三类泛定方程： 三类泛定方程： 波动方程、输运方程、稳定场方程 波动方程、输运方程、 特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次 特征判断：最高阶数、是否线性、

常见的三类边界条件 常见的三类边界条件： 三类

边界条件： 第一类、第二类、第三类 第一类、第二类、 特征判断：是否齐次 特征判断：

非直角坐标： 非直角坐标： 极坐标、球坐标 极坐标、 算符的表示 算符的表示

方程所需的初始条件 方程所需的初始条件： 初始条件：

波动(2)、输运(1)、稳定场(0) 输运( 稳定场( 波动( )、输运 )、稳定场

复变函数

数学物理定解问题的求解方法 数学物理定解问题的求解方法： 求解方法：行波法(达朗贝尔公式): 行波法(达朗贝尔公式): 公式 物理意义：分别沿正、 物理意义：分别沿正、反方向传播的行波 适用：无界空间一维齐次波动方程 适用： 半无界情形：延拓(满足初始条件) 半无界情形：延拓(满足初始条件)

分离变数法： 分离变数法： 基本思路：分解为几个常微分方程；本征值问题 基本思路：分解为几个常微分方程； 分两种情况： 分两种情况： 1. 本征解是三角函数的情形：直角坐标、极坐标 本征解是三角函数的情形：直角坐标、 三角函数的情形 主要步骤： 主要步骤：分离变数 本征解 叠加解 定系数 非齐次问题的解决思路：齐次化(特解、叠加) 非齐次问题的解决思路：齐次化(特解、叠加) 傅里叶级数展开(系数公式、常用积分) 傅里叶级数展开(系数公式、常用积分) 展开

复变函数

必备的高等数学知识： 必备的高等数学知识： 高等数学知识常微分方程： 常微分方程： 齐次方程：一元、二元；通解 齐次方程：一元、二元；

T ′ + kT = 0 T (t ) = Ce k t , k ≥ 0 A1 cos k x + B1 sin k x, k > 0 X ′′ + k X = 0 A2 x + B2 , k =0 A3e | k | x + B3e |k | x , k <0 换成 T 也一样！ 非齐次方程：特解 + 通解 非齐次方程： T ′′ + k T = f (t )T = T1 + T2 T1′′+ k T1 = f (t ) T1 特解 T2′′ + k T2 = 0, T2 通解

复变函数

达朗贝尔公式、行波法 达朗贝尔公式、行波法 ：一维齐次波动方程的通解 一维齐次波动方程的通解： 通解：utt a 2u xx = 0 ( ∞ < x < ∞, t > 0) u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x at )

无界空间一维波动方程的达朗贝尔 无界空间一维波动方程的达朗贝尔公式： 达朗贝尔公式：+ at 1 1 x +at u ( x, t ) = [ ( x + at ) + ( x at )] + ∫x at ψ (ξ )dξ 2 2a

物理意义： 物理意义：x + at 项：表示沿 x 轴反方向传播的波 x at 项：表示沿 x 轴正方向传播的波

用途：解某些 用途：解某些数理方程(行波法) 某些数理方程(行波法)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xlk4.html