空间几何—平行垂直证明（高一）

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

a??b??a∥ba?a∥??b

2) 利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a???∥??a∥?α

aβ

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1) 利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?3) 利用定义：两个平面没有公共点

??//???baP

2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等

二、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质：

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如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a???b?ab??垂直。

b

α a

4) 利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相

???????la??b??a?lb?lβ ?a?bl α b a

5) 利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。

c a∥ba?c相垂直。 a???b?ca

b ② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互

b

a ?a?bα

b∥?（二）直线与平面垂直的证明

1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

a??b??a?b?Al?al?b?????l?????lb?Aa

4) 利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

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???????la??a?l?????al?

5) 利用常用结论：

① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。

baa∥b?a???b??

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

?∥?a????a??a?（三）平面与平面垂直的证明

1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面

角），就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

?a

a??a???????题型一：平行（线线平行、线面平行、面面平行）

例1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，求证： EF∥平面ABC； (两种方法证明) 方法一：

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方法二：

例2.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC的中点， 求证：A1B//平面ADC1．（两种方法证明） 方法一：

方法二：

3．如图，在底面为平行四边行的四棱锥P?ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC；（两种方法证明）

方法一：

PEABDC

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