五年级奥数第二阶段内容(王)

【例1】

五年级奥数第二阶段内容

第一讲 工程问题

师徒两人加工一批零件，由师傅独做要37小时，徒弟每小时能加工30个零件，现由师徒同时加工，完成时，徒弟加工的个数是师傅的5/9，问这批零件共有多少个？

【例2】

有一批工人进行某项工程，如果能调来8个人，10天就能完成，如果能调来3个人，就要20天才能完成。现在只能调来2个人，那么完成这项工程需要多少天？

【例3】

一项工程，甲独做需10天，乙独做需要15天，如果两人合作，工作效率就要降低，甲只能完成原来的4/5，乙只能完成原来的9/10，现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么要合作多少天？

【例4】

有甲、乙两项工作，张明单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作需要15天，李飞单独完成甲工作8天，单独完成乙工作要20天，如果允许两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

【例5】

蓄水池有一条进水管和一条排水管。要灌满一池水，单开进水管需5小时。排光一池水，单开排水管需3小时。现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水 的顺序轮流各开1小时。问：多长时间后水池的水刚好排完（精确到分）

【例6】

【例7】 甲乙两人植树，单独植完这批树甲比乙所需的时间多1/3，如果两人一起干，完成任务时，乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？

一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成，甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲先做3小时后由乙接着做，还需要多少小时做完？

练 习

1.甲、乙两人共同加工了一批零件，8小时可以完成任务。如果甲单独加工，需要12小时完成，现在甲、乙二人共同生产了2 2/5小时后，甲被调出做其他事情，由乙继续生产420个零件才完成任务，乙一共加工了多少个零件？

2.一件工程，甲单独做12天可以完成，甲队做了3天后，乙队做2天恰可以完成一半。现在甲、乙两队合作若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则一共用多少天？

3.一件工作，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天，这件工作由甲先做了几天？

4.完成一件工作，甲、乙合作需要12小时，乙、丙合作需要28小时，丙、丁合作需要30小时，则甲、丁合作需要几小时？

5.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和：丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的1/5 ，如果三人合作只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

6. 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？

7. 师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数相同.师傅与徒弟甲合作所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同.问：两徒弟单独完成这项工程各需多少天

×还需要增加几个人？

第二讲 归一问题

归一问题是常见的典型应用题之一。因为这种问题的求解，往往归结到先求出一个单位的数量（通称“单一量”）然后再求若干个单一量是多少或某数里包含几个单一量，因此，把用这种方法解答的应用题，称为归一问题。

归一问题可分为单归一问题（包括直进单归一、返回单归一）和复归一问题（包括直进复归一、返回复归一）两大类。为了便于理解，结合具体题目分述如下。

（1）复归一问题

用两次归一求得单一量，再求所求数量的归一问题。 ①直进复归一问题

【例1】 某工厂用18台车床3小时生产零件1080件，照这样的速度，20台同样的车床8小时可生

产零件多少件？

【例2】

某专业户承包了5公顷稻田，去年每公顷产水稻12000千克，共收入42000元；今年由于天旱，每公顷减产1500千克，政府为减少农民的损失，水稻的收购价提高了10%，这样，该专业户今年能收入多少元？

【例3】 纺织工100人工作20天可织布200000米，现在要织布100000米，由125人工作，需要多

少天？

【例4】 粮店上午卖出大米5包，重325千克。下午又卖出同样的7包。（1）下午卖出大米多少千克？

（2）这一天共卖出大米多少千克？（3）下午比上午多卖多少千克？

【例6】 陈师傅加工800个零件，原计划40小时完成，实际前6小时生产了150个。照这样计算：

（1）实际几小时完成加工任务？（2）实际提前了几小时完成加工？（3）实际40小时加工了多少个零件？（4）实际40小时比计划多加工几个零件？（5）剩下的加工任务还要几小时才能完成？

【例7】 修一条长2．7千米的公路，前6天修好540米，照这样计算，修完这条公路还要多少天？

【例8】 两只大熊猫一天要吃4千克玉米面糕，现在有玉米面糕150千克，够5只大熊猫吃多少天？

【例9】 4辆货车7次运煤112吨，现在同样的货车5辆运9次，能运多少吨？

【例10】 一台拖拉机2．5小时可耕地30公顷。以同样的效率工作，现在耕地72公顷，需多少小时

耕完？

还剩下多少吨面粉没运完？

【例12】 小型玉米脱粒机每分脱粒1．8千克，中型脱粒机每分脱粒2．4千克，如果把4台小型脱

粒机1．5小时脱的玉米，改用中型机来脱，限45分脱完，需几台中型玉米脱粒机？

【例13】 一本书稿，原计划共印540页，每页24行，每行26个字。现在又改为每页30行，这本书

稿比原计划减少多少页？ 练习

1．上海至武汉的水路长1075千米，轮船从上海开往武汉，前12小时航行300千米。照这样的速度，到武汉还要多少小时？

2．面粉厂第一组运出3小车面粉共720千克，第二组用同样的小车运出面粉1920千克。（1）第二组需要几辆小车？（2）第二组比第一组多用几辆小车？（3）两组同时运共需要几辆小车？

3．36千克绿豆可制12千克粉丝，要生产144千克粉丝，需多少千克绿豆？

4．一个施工队安装一条水管，头6天装了222米，照这样的速度，又用15天把水管全部安装完。这条水管共长多少米？

5．运输队原有汽车8辆，一次共能运水泥32吨。后来又买来了几辆同样的汽车，因此一次共能运52吨。问：又买来几辆汽车？

6．汽车油箱里装有汽油36升，行驶100千米后，还剩汽油4升。照这样计算，最多还能行驶多少千米？ 7．制帽厂原来30个工人，10天生产草帽1500顶，照这样计算，现在70个工人20天能生产草帽多少顶？

8．制帽厂原来30个工人10天生产草帽1500顶，照这样计算，现在人数增加了40人，20天能生产草帽多少顶？

9．制帽厂原来30个工人10天生产草帽1500顶，照这样计算，现在人数增加了40人，要生产草帽2450顶，需要生产多少天？

10．服装厂加工一批童装，4天加工了320套，照这样的速度，再工作7天就可以完成任务，求：这批任务是多少套童装？（用三种方法解答）

11．拖拉机厂计划生产手扶拖拉机200台，5天生产了44台，照这样计算，15天后还剩下多少台没生产？ 12．灯泡车间要生产25度灯泡12000只，6天生产了4800只，还需要几天才能完成任务？ 13．15辆汽车3天节约汽油56．7千克，照这样计算，25辆汽车7天可以节约汽油多少千克？

14．某机械厂原来30人10天能生产1500个机器零件，照这样计算，现在120人要生产9000个零件，需要多少天？

15．250千克蓖麻籽可以榨出100千克蓖麻油，照这样计算，用2000千克蓖麻籽可以榨出多少千克蓖麻油？

16．4台吊车7小时可装煤1414吨，照这样计算，如果增加5台吊车，在同样的时间里可多装多少吨？

工人？

第三讲 牛吃草问题

【例1】牧场上有一片匀速生长的草地可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？

【例2】一只船发现漏水时已经进了一些水，水匀速的进入船内，如果10人淘水，3小时可以淘完；如果五人淘水8小时淘完，如果要求两小时淘完，要排多少人淘水？

【例3】12头牛可以20天吃10公亩牧场上的牧草，21头牛63天可吃30公亩牧场上的全部牧草，多少头牛126天吃完72公亩上的全部牧草？

【例4】一水库有存水量一定，河水每天均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机可连续15天抽干，若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机

【例1】 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶

梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？

【例2】 哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，

妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？

【例7】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒

可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

【例8】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车

运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

【例9】画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观

众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分？

【例10】 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到

等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍 10分钟消失，那么需同时开几个检票口？ 练习：

1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？

2.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

3。有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

4。一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

5。有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？ 6.一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

7。一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草全部吃光。如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共（ ）天可以把草吃完。假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同。

8。（牛顿的牛吃草问题）有三片牧场，场上的草长的一样密，而且长的一样快。它们的面积为 公亩，10公亩和24公亩。12头牛4星期吃完第一块牧场原有的和4星期内新长出来的草，21头牛9星期吃完第二块牧场原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛才能在18星期吃完第三块牧场原有的和新长出来的草？

9. 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5时可将甲仓库里面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2时把丙仓库内面粉搬完，同时还要( )个工人。(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)

10 假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？

11. 有三块草地，面积分别为4公顷、8公顷和10公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？

12 有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？

13东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天。如果东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,6天中可供多少头牛吃草?

14.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？ 15..两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

第四讲容斥原理

边长是4厘米与边长是5厘米的两个正方形，如右图放在桌面上（阴影部分是两正方形重叠部分），试求覆盖桌面的面积。解决这一问题，如只简单地把两个面积相加（4×4＋5×5＝41）显然是错误的，这是因为我们多计算了一块阴影部分的面积。这个面积是22÷2＝2（平方厘米），所以要将这块面积排除掉。

覆盖面积是：42＋52－22÷2＝39（平方厘米）。上例告诉我们，要求覆盖桌面的面积是多大。可以先将这两个面积加起来，然后减去重叠部分。

同样，在数的计算中，也有类似的问题。如：六（1）班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中，至少要订一份。其中，订阅《少年报》的有25人，订《儿童世界》的有31人，订阅两种报刊的有4人，求六（1）班学生数。

要求六（1）班学生数，不能简单地用25＋31直接求得，这是因为重复包含的4人加了两次，所以，六（1）班人数应为25＋31－4＝52（人）。

以上两例告诉我们，这种有重复包含的问题，解题时应考虑排除由于相互包含而多计算的部分。这一原理，我们称为包含排除原理。即容斥原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答抽象的数学问题。

【例1】 求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数。

【例2】 在1到500这500个数中，不能被7和9整除的数共有多少个？

【例3】 某班50个学生每人至少参加一个兴趣小组，其中有37人参加科技组，25人参

加作文组，求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几？

【例4】 50名同学参加兴趣小组，参加生物组的40人，参加数学组的28人，两个兴趣小组均参加的有几人？只参加生物组跟只参加数学组人数的比是多少？

【例4】 一家电维修站，有80%的人精通彩电修理业务，有70%的人精通冰箱修理业务，

10%的人两项业务都不熟悉，求两项业务都精通的人占总数的百分之几？

【例6】 如右图所示，三个正方形面积分别为25平方厘米，16平方厘米，9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲与乙公共部分为10平方厘米，乙与丙公共部分为6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分的面积。

【例3】 全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32

人喜欢数学，21人喜欢自然，既喜欢作文又喜欢数学的15人，既喜欢数学又喜欢自然的12人，既喜欢作文又喜欢自然的14人，三门都喜欢的有8人，求全班总人数？

【例4】 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个

班三项都会的至少有几人？

【例5】 每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框把

五个这样的方框放在桌面上，成为右图的图案。问桌面上被这些方框盖住部分的面

练习

1．六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》的有30人，有多少订阅了两种报纸？

2．1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？ 3．1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？

4．五（1）班有58人参加三项课外活动小组，其中32人参加文学组，24人参加美术组，30人参加音乐组，既参加文学组又参加美术组的有13人，既参加美术组又参加音乐组的有12人，既参加文学组又参加音乐组的有11人，三项活动小组都参加的有几人？ 5．如图，△ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝

1

AC，以BC、AC分别为直径画半圆，2

两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积。

6．两辆汽车从A、B两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。已知出发5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？

7．100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三

种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？

8．100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？ 9．康大学校第14届秋季运动会中，参加100米短跑的共156人，比参加200米短跑的少40人，比参加50米短跑的多26人，同时参加100米和50米短跑的有74人，同时参加200米和100米的有80人，是同时参加50米和200米人数的2倍，同时参加50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参加50、100米和200米的共有多少人？ 10．五（6）班有54人参加秋游活动其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋，你是否可以肯定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢。

11．康大六校五年二班学生参加语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？

12．分母是385的最简真分数共有多少个？

第五讲 圆和组合图形

【例1】算出圆内正方形的面积

【例2】右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米.

【例3】如图所示,以

、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)

【例4】ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知: AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率 3.14)

【例5】1平方厘米,圆S2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?

【例6】如图,已知圆心是O,半径r=9厘米, 1 2 15,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 3.14)

【例7】右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

【例8】右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米).

练 习 题

1.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .

2.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是 平方厘米.( 取3.14,结果精确到1平方厘米)

3. .如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是 厘米.( 3.14)

4. 如图, 1 15的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .

5.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 3.1416,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.

6.已知:ABCD是正方形, ED=

DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 .

1

7.图中,扇形BAC的面积是半圆ADB的面积的1倍,那么, CAB

是度.

3

8.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.( 取3.14)

2

9.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,

10.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度.

11., AC垂直 平方厘米.(

12.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.

13.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.

14.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB长40厘米, BC长 厘米.

抽屉原理

【例1】①求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同。②要想保证至少有5个人的属相

相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？

少拿1个球，至多拿2个球。问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？

【例3】一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：①至少有5张牌的花色相同

② 四种花色的牌都有 ③ 至少有3张牌是红桃

【例6】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这

17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内

【例7】 把1、2、3、 、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻

的三个数之和不小于17

【例8】 在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的

四边形的面积不超过1平方米。

【例8】任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.

【例9】在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.

练 习 题

1. 在长100米的笔直马路一侧站有12人，求证，至少有两个人的距离小于10米。

2. 某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，问：是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？

3. 在长为100米的笔直马路一侧站着一些人，如果不管怎样站都至少有两人的距离不大于10米，问至少要站多少人？

4. 有5个队参加的单循环足球赛，已经赛了6场，证明：必有一个队至少赛3场

5.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有 个人的朋友数目相同.

6.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸 次.

7.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取 颗.

8.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出 颗.

9.从1,2,3 ,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有 对.

10.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多.

11.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有 个.

12.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色.

13.五个同学在一起练习投篮,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了 个球.

14. 某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有 名学生订的报刊种类完全相同.

15. 某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画

第七讲 抽屉原理（二）

【例1】 平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选

用红线或蓝线连接，求证：不管怎么连接，至少存在一个三边同色的三角形。

【例2】 从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、

关系是同一个等级的

【例3】

【例4】

如果有一个3×n的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。

用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色。证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同

【例5】

对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角的小方格同色。

【例6】

【例7】

【例8】

1.

2.

用黑、白两种颜色将一个5×5的长方形中的小方格随意染色。求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色

某旅游团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同

从一列数1,5,9,13, ,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102.

练 习 题

在一个礼堂中有99名学生，他们中的每个人都与其中66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何四个人中都一定有两人不认识（假定相识是互相的） 从全世界的人口中任意选择6个人，证明：这6个人中或者有3个人彼此相识，或者有3个人彼此不相识

或者分别来自8个不同的国家？

4.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书.

5.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的.

6..学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的.

7..有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出 个,才能保证有2个小球是同色的.

8..有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出 个,才能保证有6个小球是同色的.

9..布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同.

10.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n个箱子,则n的最小值为 .

11.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根.

12..袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出 只.

13.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少要抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同

14.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2.

第八讲 周期性问题

“周期”现象在我们身边普遍存在着。如每个星期总是以七天为周期一次又一次地循环着；每年也总是按春夏秋冬四季年复一年地延续；就连机器上活动着的部件在运转时也是沿着一定的轨迹一次次重复运动着

掌握和运用“周期规律”可以解决许多复杂而有趣的数学问题。

3

【例1】 把化成小数，小数点右边第1996位上的数字是几？

7

【例2】 有1999个3连乘： 3 3 3 3 3

1999个3

它的积的个位数字是几？ 1587301

11111111

【例3】3 有一个一千位数，7）○各位上的数字都是“1”。这个一千位数除1 ○以7的余数是几？

1 ○

51 ○

21 ○

01 ○

11 ○

4 ○

【例4】 紧接着1997的后面写数，写出的数字都必须是前面两个数字相乘的积的个位数字：1997313397 试问，这串数从第一个数字开始往右第1998个数字是几？这串数的前1998个数字的和是多少？

【例5】 将1、2、3、4 29、30这三十个数从左到右依次排成一个51位数12345 282930。问这个51位数被9除余几？被11除余几？

这里的一些数学道理，我们目前可以用一些简单的数据去证实。等以后学习了更多的数学知识，再去全面证明它吧。

在讨论周期问题时，常常要提到“余数”。关于“余数”，有几条最基本的性质，同学们是应当掌握的。

一、加法性质。

若数A和数B的和被K除，分别余a和b（A、B、K、a、b均为整数，K≠0），那么，A和B的和被K除，余数也为a加b的和[若（a+b）＞k余数则为a+b-k]。

例如：16除以7，余数是2；22除以7，余数是1。那么，（16+22）除以7，余数是2+1=3。

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