微积分下学期末试卷及答案

微积分下期末试题（一）

一、填空题(每小题3分,共15分)

2x(1?y)y22f(x?y,)?x?yx1、 已知,则f(x,y)?___1?y__________.

2、 已知,

? ?? ??e?x2dx??

则? 0 ??xedx?? 12?x______?_____.

12(?,)22333、函数f(x,y)?x?xy?y?y?1在 点取得极值.

?4、已知f(x,y)?x?(x?arctany)arctany,则fx(1,0)?__1______.

3xy?(C?Cx)e125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是

____________________.y\?6y'?y?0 二、选择题(每小题3分,共15分 6 知? 0 ??e(1?p)xdx与

? e 1dxxlnp?1x均收敛,则常数p的取值范围是( C ).

(A) p?1 (B) p?1 (C) 1?p?2 (D) p?2

7 数

?4x22?x2?y2, x?y?0f(x,y)??22? 0, x?y?0?在原点间断,

是因为该函数( B ).

(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在

(C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

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8、若

I1?31?x2?y2dxdyx2???31?x2?y2dxdyI2?y2?1,1?x2???y2?2,

I23?3dxdy2?x2??1?x2?y?y2?4,则下列关系式成立的是( A).

(A) I1?I2?I3 (B) I2?I1?I3 (C) I1?I2?I3 (D) I2?I1?I3

9、方程y???6y??9y?5(x?1)e3x具有特解( D ).

(A) y?ax?b (B) y?(ax?b)e3x (C) y?(ax2?bx)e3x (D) y?(ax3?bx2)e3x

10、设???a2n?1)nann?1收敛，则?(n?1( D ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 311、求由y?x2,x?4,y?0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.

32解：

y?x2的函数为x?y3,y?0。且x?4时，y?88243283(3分)V??0?(42?y)dy?16?(8?0)???0ydy?128??????3387y7??7??128??3??(83?07?0)(6分)?5127?

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于是

。lim12、求二重极限

x?0y?0x2?y2x2?y2?1?1.

解：原式

(x2?y2)(x2?y2?1?1)?lim22x?0x?y?1?1y?0 (3分)

?lim(x2?y2?1?1)?2

x?0y?0 (6分)

?2zzz?z(x,y)z?e?xy确定，求?x?y. 13、由

zF(x,y,z)?z?e?xy，则 解：设

zFy??xF??yF?1?exz ， ，

Fy?zF?yy?z?xx??x????????zzzz?xF1?e1?e?yF1?e1?ezz ， (3分)

1?ez?y?ez?(1?ez)2?z?y?2z??y??z?x?y?y1?e?

????1ezxy??z1?e(1?ez)2 (6分)

22z?x?y?1在条件x?y?1下的极值. 14、用拉格朗日乘数法求

222z?x?(1?x)?1?2x?2x?2 解：

令z'?4x?2?0,得

x?11x?2,z\?4?0,2为极小值点. (3分)

113(,)22故z?x?y?1在y?1?x下的极小值点为22,极小值为2 (6分)

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15、计算

?1 112 dy?2edx y yxy.

311I??1dy?2edx?e?e2y82 (6分) 2解：

yxy16、计算二重积分

22(x?y)dxdy??D22yx?y?1所围成的在第D，其中是由轴及圆周

一象限内的区域.

22??(x?y)dxdyD?解：

＝?20?d??rdr0＝8 (6分)

1317、解微分方程y???y??x.

解：令p?y?,y???p?,方程化为p??p?x,于是

p?e??(?1)dx(?1)dx?(?xedx?C1)?ex(?xe?xdx?C1)

?ex[?(x?1)e?x?C1]??(x?1)?C1ex (3分)

1y??pdx??[?(x?1)?C1ex]dx??(x?1)2?C1ex?C2?2 (6分)

33(n?1?n?1)??18、判别级数n?1的敛散性.

n3?1?n3?1?2n3?1?n3?1 (3分)

解：

n3?1?n3?1nnlim?lim?133n??n??1n?1?n?1nn 因为

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119、将函数3?x展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.

111???1x3?x31???xn3,已知 1?xn?0,?1?x?1, (3分) 解：由于

11?xn?1n??()??n?1x3?x3n?03n?03那么 ,?3?x?3. (6分

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:

22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2，

求最优广告策略 解：公司利润为

2L?R?x1?x2?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2

?1?13?8x2?4x1?0,??4x1?8x2?13,?Lx???L?31?8x?20x?0,8x?20x2?31,?x12令?2即?1

35(x1,x2)?(,)?(0.75,1.25)44得驻点,而 (3分)

??1x1??4?0B?Lx??1x2??8C?Lx??2x2??20A?Lx,,,

D?AC?B2?80?64?0, 所以最优广告策略为：

电台广告费用0.75(万元),报纸广告费用1.25(万元). (6分)

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