概率论与数理统计的习题集及答案

概率论与数理统计

第一部份 习题

第一章 概率论基本概念

一、填空题

1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设P(A)?0.1,P(A?B)?0.3，且A与B互不相容，则P(B)? 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A，B为两事件，P(A)?0.7,P(AB)?0.3，则P(A?B)? 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A，B为两事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，则P(AB)? 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，A??X?Y?10? B??X?Y?，则P(B|A)? 。

11、设A,B是两事件，则A,B的差事件为 。

12、设A,B,C构成一完备事件组，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(C)? ，P(AB)? 。 13、设A与B为互不相容的两事件，P(B)?0,则P(A|B)? 。

14、设A与B为相互独立的两事件，且P(A)?0.7,P(B)?0.4，则P(AB)? 。 15、设A,B是两事件，P(A)?0.9,P(AB)?0.36,则P(AB)? 。

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16、设A,B是两个相互独立的事件，P(A)?0.2,P(B)?0.4,则P(A?B)? 。 17、设A,B是两事件，如果A?B，且P(A)?0.7,P(B)?0.2，则P(A|B)? 。 18、设P(A)?111,P(B)?,P(A?B)?，则P(A?B)? 。 34219、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。从中随机取一件，结果不是

三等品，则为一等品的概率为

20、将n个球随机地放入n个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。

二、选择题

1、设P(AB)?0，则下列成立的是( )

① A和B不相容 ② A和B独立 ③ P(A)?0orP(B)?0 ④ P(A?B)?P(A) 2、设A,B,C是三个两两不相容的事件，且P(A)?P(B)?P(C)?a，则 a的最大值为

( )

① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/4

3、设A和B为2个随机事件，且有P(C|AB)?1，则下列结论正确的是( ) ① P(C)?P(A)?P(B)?1 ② P(C)?P(A)?P(B)?1 ③ P(C)?P(AB) ④ P(C)?P(A?B) 4、下列命题不成立的是 ( )

① A?B?AB?B ② A?B?A?B ③ (AB)(AB)?? ④ A?B?B?A

5、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则有 （ ）

①P(A)?1?P(B) ②P(A|B)?0 ③P(A|B)?1?P(A) ④P(A|B)?P(B) 6、设A,B为两个对立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则不成立的是 （ ） ①P(A)?1?P(B) ②P(A|B)?0 ③P(A|B)＝0 ④P(AB)?1 7、设A,B为事件，P(A?B)?P(A)?P(B)?0，则有 （ ）

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① A和B不相容 ② A和B独立 ③ A和B相互对立 ④ P(A?B)?P(A) 8、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则P(A?B)为（ ） ①P(A)?P(B) ②1?P(A)P(B) ③1?P(A)P(B) ④1?P(AB)

9、设A,B为两事件，且P(A)?0.3，则当下面条件（ ）成立时，有P(B)?0.7 ①A与B独立 ②A与B互不相容 ③A与B对立 ④A不包含B 10、设A,B为两事件，则(A?B)(A?B)表示（ ）

①必然事件 ②不可能事件 ③A与B恰有一个发生 ④A与B不同时发生 11、每次试验失败的概率为p(0?p?1)，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

1233①3(1?p) ②(1?p) ③1?p ④C3(1?p)p

12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ）

12C3C733727213①C() ②()() ③C3()() ④ 31010101010C101313、设P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A|B)?0.8，则下列结论成立的是（ ） ①

A与B独立

②

A与B互不相容

③ B?A ④ P(A?B)?P(A)?P(B) 14、设A,B,C为三事件，正确的是（ ）

① P(AB)?1?P(AB) ② P(A?B)?P(A)?P(B)?1 ③ P(ABC)?1?P(ABC) ④ P(A?B)?P(BA) 15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p，则p为（ ） ① 1/2 ② 1/4 ③ 1/18 ④ 1/36

16、已知A,B两事件的概率都是1/2, 则下列结论成立的是（ ） ① P(A?B)?1 ② P(AB)?1 ③ P(AB)?P(AB) ④P(AB)?1

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17、A,B,C为相互独立事件，0?P(C)?1，则下列4对事件中不相互独立的是（ ） ① A?B与C ② A?B与C ③ AB与C ④AC与C 18、对于两事件A,B，与A?B?B不等价的是（ ） ① AB?? ② AB?? ③ A?B ④ B?A

19、对于概率不为零且互不相容的两事件A,B，则下列结论正确的是（ ） ①A与B互不相容 ②A与B相容 ③P(AB)?P(A)P(B) ④P(A?B)?P(A)

三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品数不多于1个的概率。

2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第三次才打开房门的概率。

3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时以后至多有1个坏的概率。

4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为85%，90%，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。

6、某人买了A,B,C三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为

0.03,0.01,0.02；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定

赚钱，求此人赚钱的概率。

7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时没有练习过的概率

8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。

9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

10、一批产品的次品率为0.1，现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性最大。

11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。

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12、设A,B是两个事件，用文字表示下列事件：A?B,A?B,AB,AB。

13、从1~100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。

14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。

15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率

16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。

17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。 18、 设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求

（1）取到的球为黑色球的概率；

（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自Ⅰ号盒的概率。

19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中Ⅰ型的有4支，Ⅱ型的有5支，Ⅲ型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中Ⅰ型的有5个，Ⅱ型的有7个，Ⅲ型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。

20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7, 求此密码能译出的概率是多少。

22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。

23、设每次试验事件A发生的概率相同，已知3次试验中A至少出现一次的概率为19/27，求事件A在一次试验中出现的概率。

24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需看管的概率分别为0.9，0.8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。

25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。 26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。

27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。

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??e??yy?0??e??xx?017、设X和Y独立，fX(x)?? fY(y)??

其他其他00??求Z?X?Y的概率密度

??e??yy?0??e??xx?018、设X和Y独立，fX(x)?? fY(y)??

其他其他?0?0求Z?max(X,Y)的概率密度。

??e??yy?0??e??xx?019、设X和Y独立，fX(x)?? fY(y)??

其他其他?0?0求Z?min(X,Y)的概率密度。

20、设X和Y独立联合密度为f(x,y)??

?4xy0?x?1,0?y?1求联合分布函数。

其他?0四、证明题

1、证明：若X~?(?1),Y~?(?2)，且两随机变量独立，则X?Y~?(?1??2) 2、证明：若X~N(0,1),Y~N(0,1)，且两随机变量独立，则X?Y~N(0,2) 3、证明：若随机变量X以概率1取常数c，则它与任何随机变量Y相互独立。

第四章 随机变量的数字特征

第五章 极限定理

一、填空题

1、设随机变量X的数学期望为?，均方差为??0，则当a? ，b? 时， 2、设X与Y独立，且EX?EY?0,DX?DY?1，则E(X?2Y)? 。 3、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??20?x?1?ax?b1 且DX?， 0其他18? 概率论与数理统计 第21页（共57页）

则a? ，b? ，EX? 。

4、一颗均匀骰子重复掷10次，则10次中点数3平均出现的次数为 ，最可能出现点数3的次数为 。

5、设随机变量X服从一区间上的均匀分布，且EX?3,DX?为 。P(X?2)? 。

6、设随机变量X~b(n,p),EX?2.4,DX?1.44,则n? ，p? 。

7、设随机变量X服从参数为2的指数分布，Y服从参数为4的指数分布，则

1，则X的密度函数3E(2X2?3Y)? 。

8、从废品率为5%的一大批产品每次取一个产品，直到取到废品为止，平均要取 个产品。 9、设随机变量X和Y独立，且X~U(0,2),Y~e(3)，则E(XY)? 。 10、设X1,X2,?X100相互独立，且P(Xi?k)? 则P(1?1e(k?0,1,2?;i?1,2,?,100) k!?Xi?1ni?120)? 。

11、已知随机变量X的密度函数为f(x)?1?e?x2?2x?1(???x???)，

则E(X)?_______,D(X)?_________。

212、设X1~U(0,6),X2~N(0,2),X3~e(3)，则D(X1?2X2?3X3)? 。

13、设随机变量X和Y独立，E(X)?0,E(Y)?0,D(X)?1,D(Y)?1，则D(X?Y)=

?1X?0?14、设随机变量X~U(?1,2)，则随机变量Y??0X?0，则D(Y)? 。

??1X?0?Bk(k?0,1,2,?)，且E(X)?a， 15、若随机变量X的分布律为P(X?k)?Ak!则A? ，B? 。

概率论与数理统计 第22页（共57页）

16、设X表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E(X)? 。

2二、选择题

1、设X~e(1)，则E(X?e?X)为 ( )

① 3/2 ② 1 ③ 5/3 ④ 3/4

2、已知随机变量X，Y的方差DX,DY存在，且DX?0,DY?0,E(XY)?(EX)(EY)，则下列一定成立的是（ ）

①X与Y一定独立 ②X与Y一定不相关

③D(XY)?(DX)(DY) ④D(X?Y)?DX?DY

3、设X的分布律为P(X?xk)?pk，如果（ ），则EX不一定存在。

①k?1,2,?n ②k?1,2,?,??xk?1?kpk收敛

?③k?1,2,?,xk?0,?xk?1kpk收敛 ④k?1,2,?,xk?0,?xkpk收敛

k?14、设随机变量X的方差DX存在，a,b为常数，则D(aX?b)?（ ） ①aDX?b ②aDX?b ③aDX ④aDX 5、设X为随机变量，D(10X)?10，则DX＝（ ） ①

221 ② 1 ③ 10 ④ 100 106、已知随机变量X，Y相互独立，且都服从POISSON分布，又知EX?2,EY?3， 则E(X?Y)?（ ）

① 51 ② 10 ③ 25 ④ 30

7、设随机变量X~N(?,?)，EX?3,DX?1，则P(?1?X?1)?（ ） ①2?(1)?1 ②?(4)??(2) ③?(?4)??(?2) ④?(2)??(4)

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8、设随机变量X~N(2,2)，则D(1X)?（ ） 21① 1 ② 2 ③ ④ 4

229、设随机变量X服从指数分布，且DX?0.25，则X的密度函数为f(x)?（ ）

xx?1?1?1?1?4x2x?0x?0x?0?2e?2xx?0?4e?e?e4① ? ②?2 ③? ④?4

x?0x?0x?0x?000?????0?01x?1??x?0?e10、设随机变量X 的概率密度为f(x)??? 则错误的是( )

x?0??0?1?x ① E(X)?? ② ??0 ③ P(?1?X?1)?1?e? ④ 分布函数F(X)?1?e?

11、设随机变量X,Y满足D(X?Y)?D(X?Y)，则正面正确的是 ( ) ① X,Y相互独立 ② X,Y不相关 ③ D(Y)?0 ④ D(X)D(Y)?0

x?0?0?312、设随机变量X的分布函数为F(x)??x 0?x?1 则E(X)?( )

?1x?1???14314????①

3xdx3xdxxdx?xdx3x ② ③ ④ ?????dx 0001013、有一群人受某种疾病感染的占20%，现从他们中随机抽取50人，则其中患病人数的

数学期望与方差是 ( )

① 25和8 ② 10和 2.8 ③ 25和 64 ④ 10和 8 14、设随机变量X1,X2,X3均服从区间 ( 0 ，2 ) 上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)= ① 1 ② 3 ③ 4 ④ 12

15、设X1,X2,?,Xn,?为独立同分布的随机变量序列，若（ ）时，则?Xn?服从切贝晓夫大数定律。

①Xi的分布律的是P(Xi?k)?1(k?0,1,2,?) ek! 概率论与数理统计 第24页（共57页）

②Xi的分布律的是P(Xi?k)?1(k?1,2,?)

k(k?1)③Xi的密度函数为f(x)?1(???x???)

?(1?x2)?Ax?1?3④Xi的密度函数为g(x)??x

x?1??016、设X1,X2,?Xn独立同分布，且服从参数为1/?的指数分布，则下列结论正确的是( )

?n??n??X?nX?n??ii?????i?1??i?1?① LimP??x???(x) ② LimP??x???(x)

n??n??nn?????????????n??n?X?nX?n??i?i?????i?1??i?1?③ LimP??x???(x) ④ LimP??x???(x)

n??n??n?n?????????????17、设X1,X2,?,X1000,?为独立同分布的随机变量序列， 且Xi~b(1,p)(i?1,2,?1000)，则下列中不正确的是（ ）

1①

10001000i?1?Xi?p ②?Xi~b(1000,p) ③P(a??Xi?b)??(b)??(a)

i?1i?1100010001000④ P(a?

?Xi?b)??(i?1b?1000p1000pq)??(a?1000p1000pq)

三、计算题

1、设随机变量X和Y相互独立且均服从N(0,)，求|X?Y|的数学期望。 2、设球的直径（单位：mm）X~U(10,11)，求球的体积的数学期望。

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12

1n1n1n1n22(xi?x) ① ?(xi?x) ② ?(xi?x) ③ ?(xi?x) ④n?1?ni?1ni?1n?1i?1i?11n1n2(Xi?X)2 10、样本X1,X2,?Xn来自总体X~N(0,1)，X??Xi，S??ni?1n?1i?1则下列结论正确的是 （ ） ① nX~N(0,1) ② X~N(0,1) ③

?Xi2~?2(n) ④

i?1nX~t(n?1) S211、假设随机变量X~N(1,2),X1,X2,?,X100是来自X的样本，X为样本均值。已知

Y?aX?b~N(0,1)，则下列成立的是（ ）

①a??5,b?5 ②a?5,b?5 ③a?1,b??1 ④a??1,b?1

55552

12、设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)，X与S分别是样本均值和样本方差，

2则下面结论不成立的是（ ）

①X与S相互独立 ②X与(n?1)S相互独立

22③X与

1?2?(Xi?1ni?X)相互独立 ④X与

221?2?(Xi?1ni??)2相互独立

213、样本X1,X2,X3,X4,X5取自正态总体N(?,?)，?已知，?未知。则下列随机变

量中不能作为统计量的是（ ）

1(X?X) ① X ② X1?X2?2? ③ ④?i?2i?132215?(Xi?15i?X)2

2

14、设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)，X与S分别是样本均值和样本方差，

则下面结论成立的是（ ）

n(X??)2~F(1,n?1) ① 2X2?X1~N(?,?) ② 2S2③

S2?2~?2(n?1) ④

X??n?1~t(n?1) S 概率论与数理统计 第31页（共57页）

15、设样本X1,X2,?,Xn来自总体X，则下列估计量中不是总体均值?的无偏估计量的是（ ）。

①X ②X1?X2???Xn ③0.1?(6X1?4Xn) ④X1?X2?X3 16、假设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)。总体数学期望?已知，则下列估计量中是总体方差?的无偏估计是（ ）

221n1n1n1n222(Xi??) ④(Xi??)2 (Xi?X)③①?(Xi?X)②???ni?1n?1i?1n?1i?1n?1i?117、假设总体X的数学期望?的置信度是0.95，置信区间上下限分别为样本函数

b(X1,?Xn)与 a(X1,?,Xn)，则该区间的意义是（ ）

① P(a???b)?0.95 ② P(a?X?b)?0.95 ③ P(a?X?b)?0.95 ④ P(a?X???b)?0.95

18、假设总体X服从区间[0,?]上的均匀分布，样本X1,X2,?,Xn来自总体X。则未知

?为（ ）② 参数? 的极大似然估计量?① 2X ② max(X1,?,Xn) ③ min(X1,?,Xn) ④ 不存在 19、在假设检验中，记H0为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ） ① H0成立而接受H0 ② H0成立而拒绝H0 ③ H0不成立而接受H0 ④ H0不成立而拒绝H0 20、假设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)，X为样本均值，记

21n1n22S??(Xi?X)S2?(Xi?X)2 ?ni?1n?1i?1211n1n22S??(Xi??)S4?(Xi??)2 ?n?1i?1ni?123 概率论与数理统计 第32页（共57页）

则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ） ①

X??X??X??X??n?1 ②n?1 ③ n ④ n S1S2S3S4三、计算题

1、设总体X~N(12,4)，抽取容量为5的样本，求 （1） 样本均值大于13的概率； （2） 样本的最小值小于10的概率； （3） 样本最大值大于15的概率。

2、假设总体X~N(10,2)，X1,X2,?,X8是来自X的一个样本，X是样本均值，求

2P(X?11)。

23、总体X~N(10,2)，X1,X2,?,X8是来自X的样本，X是样本均值，若

P(X?c)?0.05，试确定c的值。

4、设X1,X2,?,Xn来自正态总体N(10,2)，X是样本均值， 满足P(9.02?X?10.98)?0.95，试确定样本容量n的大小。

5、假设总体X服从正态总体N(20,3)，样本X1,X2,?,X25来自总体X,计算

25?16?P??Xi??Xi?182?

i?17?i?1?226、假设新生儿体重X~N(?,?)，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 （1）求参数?和?的矩估计； （2）求参数?的一个无偏估计。

222?e?(x??)x??7、设随机变量X的概率密度函数为f(x)?? ，设X1,X2,?,Xn来自

x???0总体X的一个样本，求?的矩估计和极大似然估计。

概率论与数理统计 第33页（共57页）

8、在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的样本容量n最小应取多少

9、设随机变量X~N(?,1)，x1,x2,?,x10是来自X的10个观察值，要在??0.01的水平下检验 H0：??0，H1：??0 取拒绝域J??|X|?c （1）c??

（2）若已知x?1,是否可以据此推断??0成立？ (??0.05)

（3）如果以J??|X|?1.15检验H0：??0的拒绝域，试求该检验的检验水平?。 10、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X（单位mm）服从正态分布N(5.2,0.16)，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度x?5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm

0011、某地九月份气温X~N(?,?)，观察九天，得x?30C，s?0.9C，求

2???? （1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）

（2）能否据此样本认为该地区九月份平均气温为31.5C（检验水平??0.05) （3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ t0.025(8)?2.306

12、正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数X~N(?,?)，试就检验水平

20??0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？

2213、设随机变量Xi~N(?i,?i),?i,?i均未知，X1与X2相互独立。现有5个X1的观

察值，样本均值x1?19，样本方差为s1?7.505，有4个X2的观察值，样本均值x2?18， 样本方差为s2?2.593，

（1）检验X1与X2的方差是否相等？??0.1,F0.05(4,3)?9.12,F0.05(3,4)?6.59 （3） 在（1）的基础上检验X1与X2的均值是否相等。 （

22??0.1）

214、假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布N(10600,82)，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，样本方差s?6992。当显著水平为

概率论与数理统计 第34页（共57页）

2??0.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？

15、某种导线的电阻X~N(?,0.005)，现从新生产的一批导线中抽取9根， 得s?0.009?。

（1）对于??0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？ （2）求总体方差?的95%的置信区间

16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X~N(?,?)，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试求总体均值?的置信区间，给定置信水平为0.95。

17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得x?2.33,s1?1.9;y?1.75,s2?2.9，设

22222X~N(?1,?2),Y~N(?2,?2)；求?1??2的置信度为95%的置信区间。

18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得样本方差s1?0.34，抽取机器B生产的管子13根，测得样本方差s2?0.29，设两样本独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布N(?1,?1),N(?2,?2)，试求总体

2222?12方差比2的置信度为90%的置信区间。

?219、设某种材料的强度X~N(?,?)，?,?未知，现从中抽取20件进行强度测试，以

2kg/cm为强度单位，由20件样本得样本方差s?0.0912，求?和?的置信度为90%

2222的置信区间。 20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。

21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，总体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在总体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的样本？

22、设电视机的首次故障时间X服从指数分布，??EX，试导出?的极大似然估计量和矩估计。

23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行

概率论与数理统计 第35页（共57页）

一、填空题

第二章 随机变量及其分布

x?0?0?1y?(0,1)????0?x?1 3、1 4、1 5、f(y)??2y1、e 2、 F(x)??2 3y?(0,1)?1?0x?1??6、

122? 7、N(1,16) 8、??? 9、a?b?1,a?b?2115?a??a?,b? 3266?1?110、k?,P(1?X?2)?e2?e，P(X?2)?0

2111、设Ai?“第i次取次品”?X?3??A1A2A3?A1A2A3，用乘法公式求

1k510?k?2 14、0.71 15、1?e 16、2 17、1 18、1/36

66?1x1x?0?2e1?2(x?2)219、F(x)?? 20、f(x)? e1?xx?02??1?e?212、0 13、C10()()k

二、选择题

1、③ 2、④ 3、① 4、② 5、① 6、③ 7、③ 8、① 9、① 10、① 11、② 12、① 13、② 14、③

三、计算题

1、X表示取得好灯泡的个数， X P X的分布函数为：

P{X≥2}＝P{X=2}+P{X=3}＝14/15 x?1?0?1?151?x?2

FX(x)?? 82?x?3?15?1x?3 ? 概率论与数理统计

1 1/15 2 7/15 3 7/15 第41页（共57页）

2、X的分布律如下表 X 1 2 3 … k P 5/8 15/64 45/512 … (3/8)k-15/8 ∴P{1

X2 0 1 4 6/30 7/30 17/30 ??0?6x??2?1130?2?x??1F(x)???30 ?1?x?0?17?300?x?1 1?x?2?19?30?1x?2P(X?1)?1?(1?p)4?59解出p ??6、P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,3,? 7、P(Y??1)??P(X?4m?3)m?1Y －1 0 1 2/15 5/15 8/15

8、 A?12,B?1?,f(x)?1?(1?x2)

?9、A?11?10?x??1?,3,F(x)??[arcSinx???2]?1?x?1 10、0.206

?1x?1?0yy?0?111、F??Y(y)????20?y?4 f?0?y?4Y(y)??4y1y?4??0其他 ?12、(1)0.54618 (2) 0.9065345 13、(1) 5/6 (2) 4/5

概率论与数理统计 第42页（共57页）

… … 5、

2??1?3?233?a?y?b3y14、fy(y)??b?a9?66 a?10,b?11

?其他0?15、(1) 37/16 (2) 22/29 16、(1) 1/4 (2)4/9 17、（1）e （2）2e18、（1） 1/3 (2) 1/3 19、m?5

20、设进入商店的顾客购买该种物品人数为Y，求Y的分布律

?2?2

P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)

m?k?? 其中进入某一商店的顾客人数X~?(?)，答案：Y~?(?p)

21、X表示任意一页书上印刷错误个数，Y表示随机地取5页书印刷错误个数不超过2个的页数，此题所求为Y~b(5,p),p?P(X?2),P(Y?5)?0.66 22、(1) X ~ P(2)，(1)所求为P{X>3}=0.143

(2) 设须增加设备至x个方可满足需要。有：P{X≤x}≥0.9 x＝4 (3) 最可能数是1只到2只

23、设X表示任一时刻关机的电脑台数，所求是P{X>2}=0.609

任一时刻开机的电脑台数Y ~ B(12, 3/4)。 故最有可能同时开机台数是k=12×3/4＋3/4＝9

24、设X为同时使用的车床数，所求为P{7.5X>55}=0.000078 25、X表示电子管的寿命

p?P(X?1000)，Y表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数，Y~b(5,p)

A表示电子设备正常工作P(A)??P(A|Y?k)P(Y?k)?0.201

k?0526、(1) 0.3384 ,0.5952 (2) 129.74 27、(1)0.0228 (2) 81.1635 28、用右连续（1）a?0,b?1,c??1,d?1 （2）P(|X|?ee)＝1?ln2 2229、解：(1) 1?LimF(x)?1?A?1，0?LimF(x)?A?B?B??1

x???x?0?1?e?xx?0?? F(x)?? (2) P(?1?X?1)=F(1)?F(?1)?1?e

x?0?0 概率论与数理统计 第43页（共57页）

?0x?02?x30、FX(x)??0?x?2,4?x?2?1?x0?x?2? fX(x)??2其他??0?1?11?y?2?231、先求分布函数FY(y)?P(X?1?y)，fY(y)??y?1

其他?0?32、 Y ??2 1 ?0? 0.9 0.1 FY(y)??0.9?1???2y?222?y?1 2y?13211 ???109812033、Ai?“第i次取得次品”，用乘法公式求，P(X?3)?P(A1A2A3)? X 34、 X的分布律 －1 0 1 2 X

Y的分布律 Y

0 2/4 3/4 1/6 3/6 2/6 2/6 1/6 1/6 2/6 3 4 5 6 7 8 9 10 1/120 3/120 6/120 10/120 15/120 21/120 28/120 36/120 y?0?0?12?60?y?4 FY(y)??

42?y?3?644?1y?34?35、??31.2,P(T?210)?0.055 36、P(X?a)?0.05 答案：4098.7

概率论与数理统计 第44页（共57页）

2??37、2/5 38、fY(y)???1?y2?0?y?(0,1)y?(0,1)

?1?e?yy?0y?0y?39、（1）fY(y)??2y（2）fY(y)??（3）fY(y)?ey?e

y?0?0y?0?0?

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

1、F(1,1)?F(1,?1)?F(?1,1)?F(?1,?1)?0 2、9/13

?e?y0?x?1,y?03、 f(x,y)??

其他?04、＋a?b?13211121,P(X?2,Y?1)?1,(?a)???a?,b?

993399925、2X1?3X2?X3~N(0,6),?(1)??(0)?0.3413

6、P(X?1)?552?1?P(X?0)?1?q2??q?，P(Y?1)?1－q4 993

7、1 8、1/3 9、5/7 12、1/4 13、N(0,1) 10、 11

Z?max?X,Y? 0 1 Z?min?X,Y? 0 1 1/4 3/4 3/4 1/4 二、选择题

1、③ 2、③ 3、③ 4、① 5、④ 6、③ 7、① 8、③ 9、②

三、计算题

1、（1）A?11?2 (2) P{(X,Y)?D}???Df(x,y)dxdy??dx?011 ?dy?2(1?x2)(1?y2)320x 概率论与数理统计 第45页（共57页）

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