数字信号处理试卷和答案

一 判断

1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。 （╳）

2、 已知某离散时间系统为 ，则该系统为线性时不变系统。(╳) 3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT），也就能对其做 变换。（╳）

4、 用双线性变换法进行设计 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非线性畸变。 （√）

5、 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是一个周期序列 （√） 二 填空题（每题3分，共5题）

1对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是_____信号，再进行幅度量化后就是_____信号。 2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须_____，这就是奈奎斯特抽样定理。 3、系统稳定的充分必要条件_____。

4、快速傅里叶变换（FFT）算法基本可分为两大类，分别是：_____；_____。 5、线性移不变系统的性质有______、______和分配律。

1.离散 数字2大于2倍信号最高频率3系统的单位脉冲响应绝对可和4时间抽取法和频率抽取法5交换率，结合律 三 大题

1、对一个带限为f?3kHz的连续时间信号采样构成一离散信号，为了保证从此离散信号中能恢复出原信号，每秒钟理论上的最小采样数为多少？如将此离散信号恢复为原信号，则所用的增益为1，延迟为0的理想低通滤波器的截止频率该为多少？

答：由奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于两倍的信号最高频率，fs?2?3kHz?6kHz每秒钟理论上得最小采样数为6000。如将此离散信号恢复为原信号，为避免混淆，理想低通滤波器的截止频率为采样频率的一半，即?s?3kHz2。 2、有限频带信号f(t)?5?2cos(2?f1t)?cos(4?f1t)，式中，f1?1kHz。用fs?5kHz的冲激函数序列?T(t)进行取样。

（1）画出f(t)及采样信号fs(t)在频率区间(?10kHz,10kHz)的频谱图。 （2）若由fs(t)恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率fc。 解：（1）f(t)在频率区间(?10kHz,10kHz)的频谱图

5 21/kHz

-10 0 1 2 10 fs(t)在频率区间(?10kHz,10kHz)的频0谱图

1-10010kHz （2）

fc?fs2?2500Hz

3、有一连续正弦信号cos(2?ft??)，其中f?20Hz，（1）求其周期T0；

???6。

（2）在t?nT时刻对其采样，T?0.02s，写出采样序列x(n)的表达式； （3）求x(n)的周期N。

T0?11??0.05sf20

解：（1）

?4?x(n)?cos(2?f?nT??)?cos(2??20?n?0.02?)?cos(?n?)656 （2）在t?nT时刻，

2?5?4?25 （3），所以N?5。

4、设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下两种情况，分别求输出y(n)。 （1）h(n)?u(n)，x(n)??(n)?2?(n?1)??(n?2)

nnh(n)??u(n)x(n)??u(n)，0???1，???。 0???1（2），，

解：（1）

（2?n)）

?当x?(?m?n?01时?(?nm?，)?x?0x(n)y(n)??*h -1 0 1 2 3 4-h(m)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

当n?0时，y(n)?0； 当n?0时，y(0)?1?1?1； 当n?1时，y(1)?1?1?2?1?3； 当n?2时，y(n)?1?1?2?1?1?1?4； ?0, n?0?1, n?0??y(n)???3, n?1??4, n?2。

当n?0时，

y(n)?x(n)*h(n)?????????m?0???nnmm?????x(m)h(n?m)?m?????1x?n?1??n?1????

5、判断下列各系统的线性和时不变性。

2?y(n)?x(n)?sin(?n?)76 （1）y(n)?2x(n)?3 （2）

y(n)?x(n)2y(n)?（3） （4）

m????x(m)??

解：（1）y1(n)?T[x1(n)]?2x1(n)?3

x(n)?] y2(n)?T[2?2x(n)?]1(n) T[x2n? )2x(332[n?()2xn?( )]1xT[x1(n)]?T[x2(n)]?T[x1(n)?x2(n)]，所以该系统为非线性系统。 T[x(n?m)]?2x(n?m)?3?y(n?m)，所以该系统为时不变系统。

2?y1(n)?T[x1(n)]?x1(n)?sin(?n?)76 （2）

2?y2(n)?Tx[2n(?)]x2n?()s?inn?()76

2?T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]?sin(?n?)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]76，所以该系统为线性。 2?T[x(n?m)]?x(n?m)?sin(?n?)76 2?y(n?m)?x(n?m)?sin(?(n?m)?)?T[x(n?m)]76，所以该系统为时变系统。

（3）

y1(n)?x1(n)2，

y2(n)?x2(n)2，

T[x1(n)?x2(n)]?x1(n)?x2(n)?T[x1(n)]?T[x2(n)]2，

该系统为非线性。

T[x(n?m)]?x(n?m)?y(n?m)2，所以该系统为时不变系统。

y1(n)?（4）

??m????x(m)1??1??y2(n)?，

??m????x(m)22??，

T[ax1(n)?bx2(n)]?m????[ax(n)?bx(n)]??ax(n)??bx(n)?T[ax(n)]?T[bx(n)]1221m???m???，该系

统为线性系统。 T[x(n?m)]?m????x(n?m)?y(n?m)??，所以该系统为时不变系统。

6、判断下列各系统是否为：（1）稳定系统；（2）因果系统；（3线性系统。并说明理由。

（1）T[x(n)]?g(n)x(n)；这里g(n)有界 （2）

T[x(n)]?n?n0k?n?n0T[x(n)]?k?n0?x(k)n

（3）

?x(k) （4）T[x(n)]?x(n?n0)

x(n)T[x(n)]?e（5） （6）T[x(n)]?ax(n)?b

解：（1）设定系统。

g(n)?g(m)，

x(n)?M，

g(n)x(n)?g(m)x(n)?g(m)M???所以该系统为稳

T[x(n)]?g(n)x(n)，该系统的输出只取决于现在的输入，与未来的输入无关，所以是因果系

统。

T[x1(n)]?g(n)x1(n)，

T[x2(n)]?g(n)x2(n)，

T[ax1(n)?bx2(n)]?g(n)[ax1(n)?bx2(n)]?ag(n)x1(n)?bg(n)x2(n)?T[ax1(n)]?T[bx2(n)]，所以该系统是线性系统。

T[x(n)]??x(k)k?n0（2），n0?0时系统的输出不只与过去的输入有关，还与未来的输入有关，

n系统是非因果系统。n0?0时，系统是因果系统。

设x(n)?M，

nlimn??k?n0?x(k)?lim(n?n)M??n??0n，所以系统为不稳定系统。

T[x2(n)]?T[x1(n)]?k?n0?x(k)1n12，

nnk?n0?x(k)212n，

T[ax1(n)?bx2(n)]?k?n0?[ax(k)?bx(k)]??ax(k)??bx(k)?T[ax(n)]?T[bx(n)]12k?n0k?n0，所以系

统为线性系统。

T[x(n)]??x(k)k?n?n0（3），n?0时系统的输出不仅与过去和现在的输入有关，还与未来的输

n?n0入有关，系统不是因果系统。

n?n0x(n)?M，

k?n?n0?x(k)?2n0M???，所以系统是稳定的。

nnnT[ax1(n)?bx2(n)]?k?n0?[ax(k)?bx(k)]??ax(k)??bx(k)?T[ax(n)]?T[bx(n)]121212k?n0k?n0，所以系

统是线性系统。

（4）T[x(n)]?x(n?n0)，n0?0时系统的输出不只与过去的输入有关，还与未来的输入有关，系统是非因果系统。n0?0时，系统是因果系统。 设x(n)?M，

x(n?n0)?M???，所以系统是稳定的。

T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?T[ax1(n)]?T[bx2(n)]，所以系统是线性系统。

x(n)T[x(n)]?e（5），系统地输入只与现在的输入有关，与未来的输入无关，所以系统是因

果系统。

ex(n)?eM???x(n)?M设，，所以系统是稳定的，

T[x1(n)]?T[x2(n)]?ex1(n)?ex2(n)，T[x1(n)?x2(n)]?ex1(n)?x2(n)?ex1(n)?ex2(n)?T[x1(n)]?T[x2(n)]，

所以系统不是线性系统。 （6）设

x(n)?x(m)，

y(n)?ax(n)?b?ax(n)?b?ax(m)?b???，所以系统是稳定的。

T[x(n)]?ax(n)?b，系统地输出只与现在的输入有关，与未来的输入无关，所以系统是因果

系统。

T[x1(n)]?T[x2(n)]?ax1(n)?b?ax2(n)?b?a[x1(n)?x2(n)]?b

T[x1(n)?x2(n)]?a[x1(n)?x2(n)]?b?T[x1(n)]?T[x2(n)]，所以系统不是线性系统。 7、讨论已输入为x(n)和输出为y(n)的系统，系统的输入输出关系有以下两个性质确定： ○1 y(n)?ay(n?1)?x(n) ○2 y(0)?1

试问：

判断该系统是否为时不变的； 判断该系统是否为线性的； 假设差分方程保持不变，但规定解：（1）

y(0)?1y(0)值为0，（1）和（2）的答案是否改变？

y(1)?x(1)?a2y(2)?x(2)?ax(1)?a 23 y(3)?x(3)?ax(2)?ax(1)?a

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