4-2-2三角形等高模型与鸟头模型 题库学生版

三角形等高模型与鸟头模型

例题精讲

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

1变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一

3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶

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6个面积相等的三角形．

【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

A

BDC

【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面

积是 平方厘米．

AED

BFC

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积

是 平方厘米．

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则

它内部阴影部分的面积是 ．

AB

FDEC

【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．

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AEBHDGFC

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部

分的面积是 ．

ADGEBFC

【例 5】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEGBFC

【例 6】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

AHDEGB

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P点连接,求阴影部分面积．

FC

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ADPBC

【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD?12厘米，DE?3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC

面积的几倍？

A

EBDC

【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一

共有哪几个三角形？

FADEBC

【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共

有哪几个三角形？

AEB

【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

AOBCDDC

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE

的面积是多少？

ABCDEA

【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，?ABC4-2-2．三角形等高模型与鸟头模型 学生版 page 4 of 25

的面积是 平方厘米．

BD

AEFC

【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF

长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFBDC

【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘米，求

三角形ZCY的面积．

DZAYCB

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

AFBDEC

【巩固】如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形

EBF的面积是多少平方厘米？

AEBFC

【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36

个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．

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DEAG

CFB

【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN?BN.

那么，阴影部分的面积是多少？

ANBCMD

【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成．求阴影部分的面积．

36cm2212cm48cm224cm2

【例 13】 如图，三角形ABC中，DC?2BD，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABCCE?3AE，

的面积是多少？

AE

BDC

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、

三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．

BD

AEC

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形

BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，

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它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．

AD

BC

【例 16】 图中AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．

AOBCD

【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

DABC

【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形

面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？

黄红绿红

【例 19】 O是长方形ABCD内一点，已知?OBC的面积是5cm2，?OAB的面积是2cm2，求?OBD的面

积是多少？

DAOPB

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C

【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若?PBD的面积为8平方

分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

AEPFGD

BHC

【例 21】 如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形?BPC的面积是15，求阴影?BPD的面积．

APD

B

【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12，正三角形?BPC的面积是5，求阴影?BPD的面积．

APC

DB

【例 22】 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰?AOB的面积为16，等腰?DOC的面积占长方形面积

的18%，那么阴影?AOC的面积是多少？

DOCC

AB【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F

分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知?ADG 的面积为15cm2，而?BCG的

7面积恰好是梯形ABCD面积的，则梯形ABCD的面积是 cm2．

20

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ADFEGB

【例 24】 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

C

FABGDEC

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

EAFDGCB

【例 25】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面积为 ．

HAEDGBFC

【例 26】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的

面积．

DCFAEB

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【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE?1，求△BEF

的面积．

CEDABF

【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．

【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10

厘米，求阴影部分的面积．

DCGQFOHEKPAB

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．

ABGEDF4C

【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图

中阴影部分的面积为 ．

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AHEGDBFC

【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH的面积是 ．

AHEGDBFC

【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，

AD?15，四边形EFGO的面积为 ．

ADOEBFGC

【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN

的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米．

DMOAPNCB

【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的

面积是 平方厘米．

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DMOAPNCB

【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴

影部分的面积为 ．

AOBED

【例 45】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面

积是多少平方厘米？

D2MQ3C5PC

【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为

10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是 cm2．

AN6B4cm1cm

【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方

厘米？

4cm2cm

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【巩固】已知正方形的边长为10，EC?3，BF?2，则S四边形ABCD? ．

ABDF

EC

【例 47】 如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．求长方形ABCD的面积．

ABFDEC

【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，AB?67，

BC?30．E、F分别是AB、BC边上的两点，BE?BF?49．那么，三角形DEF面积的最小值是 ．

DCFA

EB

【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意

一点，BL?DM?4、BK?DN?5，那么阴影部分的面积是 ．

APNLBKDMC

【例 50】 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四

边形PQRS的面积之比．

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DHAPESRBFGQC

【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O，S1、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积．试比较S1?S3与S2?S4的大小．

DGCS4S3B

S1HOS2AEF

【例 51】 如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC?3:2:1，BG:GH:AH?3:2:1，AD:BC?1:2，已知

四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积? ．

EDFCA

【拓展】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，求四边形

EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？

BNMAKFEJHDOGPCHGB

【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分

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别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LP?MQ?NR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XY?XL．

这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程．

APLXBQYMZNRC

【例 53】 如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的

2，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．

ABMEFNDC

【例 54】 如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，AD:BC?1:2，S?AOF:S?DOE?1:3，S?BEF?24cm2，求

?AOF的面积．

ADFOEBC

【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、如CD的中点．

果?ASM、?MTB与?DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．

DASMTC4-2-2．三角形等高模型与鸟头模型 学生版 page 20 of 25

NB

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

CBC

【例 56】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．

ADEBC

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那

么三角形ABC的面积是多少？

A

DECB

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

AEB甲D乙C

【例 57】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

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AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

D

AEBC

【例 58】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF?2CF，三角形AFE(图中阴影部分)

的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

DCFAEB

【例 59】 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．

AFDBEC

【例 60】 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE?2:5，BC:CD?3:2，三角形BDE的

面积是多少？

ABCDEAC

【例 61】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE?1AC，31CF?BC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．

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AD

EB

【例 62】 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使CE?2BC；

延长CA至F，使AF?3AC，求三角形DEF的面积．

FC

FABDCE

【例 63】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

H

AGDFBCE

【例 64】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四

边形ABCD的面积．

HDAECBGF

【例 65】 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若

四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是 ．

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FBCADH

【例 66】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

EG

1BC，F是AC的2AFBD

【例 67】 如图，S△ABC?1，BC?5BD，AC?4EC，DG?GS?SE，AF?FG．求SFGSCE

．

AFGBDESC

【例 68】 如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，

三角形ABG的面积是多少平方厘米？

AEFGDB

【例 69】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．

C

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