云南省昆明市官渡区第二中学2013届高三第二次阶段性检测数学(文)试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合A x|x 3x 2 0,B x|logx4 2 ,则A B

2

A. 2,1,2 B. 1,2 C. 2,2 D. 2 2. 若tan α＝2，则

2sin cos

的值为

sin 2cos

35

A.0 B.44－3＋i

3.复数z＝

2＋i

A.2＋i B.2－i C.－1＋i D.－1－i 4．已知命题p：$x?R,sinxA.$x?R,sinxC.$x纬R,sinx5．抛物线

1

x. 则 p:为 2

1x 21x 2

1

x B."x?R,sinx21

x D."x纬R,sinx2

y2 4x的准线方程为

B. x 2

C. x 1

D. x 1

A. x 2

x

1 处的切线方程为 6．曲线y e x在点 0，

A.y 2x 1

B.y 2x 1

C.y x 1

D.y x 1

7．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )

A．两个圆 B．两条直线

C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线

8. 林管部门在每年3 12植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前 对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度， 其茎叶图如图1.根据茎叶图，下列描述正确的是

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐

B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 9. 如果执行图2的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则

A． A＋B为a1，a2，…，aN的和

B．

为a1，a2，…，aN的算术平均数 2

C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数

A＋B

2

11．已知椭圆C22＝1(a>b>0)的离心率为

xa

2

y

b

2

322

.双曲线x－y＝1的渐近线与椭圆C有四个2

交点，以

这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 A.＋1 B.＋＝1 C.＝1 D.＋1 8212616420512. 已知函数f(x) Acos( x )(A 0, 0,0 ) 为奇函数，该函数的部分图象如图所示， EFG是边长为2的 等边三角形，则f(1)的值为

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．．C D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13.设向量a,b的夹角为 ，且a= 3,3 ,2b a= 1,1 ,则cos .

x 0,

14.若实数x,y满足不等式组 y x,则z x 2y的最大值为 .

x 2y 2 0,

13

15.观察下列不等式1，

221151＋2＋2<， 23311171＋2＋22 2344 ……

照此规律，第五个不等式为______________. ．．．16. 若直线

x 1 2t

（t为参数）与直线6x ky 1垂直，则常数k= .

y 2 t

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17．（本小题满分10分）

设锐角△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知b 是a、c的等比中项，

3

且sinAsinC .

4

(1) 求角B的大小；

(2) 若x [0, )，求函数f(x) sin(x B) sinx的值域.

18.（本小题满分12分）

设{an}是一个公差为2的等差数列，a1,a2,a4成等比数列.

(1) 求数列{an}的通项公式an；

2n，设{bn}的前n项和为Sn，求Sn. (2) 数列{bn}满足bn n

19.（本小题满分12分）

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.

（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率.

a

21.（本小题满分12分）

x2y21

已知椭圆C：2 2=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径

ab2

的圆与直线x-y+6=0相切。 (1) 求椭圆的标准方程；

(2) 设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C

于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x) 2ax

b

lnx． x

(1) 若函数f(x)在x 1，x

1

处取得极值，求a，b的值； 2

(2) 若f (1) 2，函数f(x)在(0, )上是单调函数，求a的取值范围．

昆明市官渡二中2013届高三年级11月考试题

文科数学答案

4. D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即 p: x R,sinx 5. D

x. 2

0x

6. A【解析】y e 1，k y |x 0 e 1 2，则切线方程为y 1 2x，即y 2x 1.

7. C

甲种树苗的高度的方差为

8 + 7 + 6 + 4 + 2 s2=

甲

22222

+22+102+62+52+42

10

=35；

乙种树苗的平均高度为x乙=乙种树苗的高度的方差为

10+14+10+26+27+30+44+46+46+47

=30，

10

2

2

2

s乙

2

20 + 16 + 20 + 4 + 3 =

10

22

+02+142+162+162+172

=207.8

比较可知，乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐，选D. 9. C【解析】由程序框图可知，当x>A时，A＝x；当x≤A且x<B时，B＝x，所以A是a1，a2，…，aN中的最大数，B是a1，a2，…，aN中的最小数.故选C.

10. C【解析】由三视图可知，该几何体的上方是一个直三棱锥（三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1）；

下方是一个半径为

3

1 的半球.故所求几何体的体积22

11141

为V 1 1 1

π . 322366 2

3

11. D【解析】由离心率为2a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2，2)，代入选项A、C、D，知选项D正确. 12. D 13.

3 【解析】设b= x,y .由2b a 1,1 2x 3,2y 3 ，得x 1,y 2，

10

所以cos

a b

. a

b10

1111111

15. 1＋＋<234566

11111

【解析】从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋＋＋，对几

23456

个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为：

1111111

3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋＋＋234566

16. -3

17．解:（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2 ac.由正弦定理得sin2B sinAsinC.

33 又sinAsinC ，所以sin2B . 而sinB＞0

，则sinB .因B (0,)，故B＝. 5分

4432π

（Ⅱ）因为B ，则

3

f(x) sin(x ) sinx sinxcos cosxsin sinx

333

3 sinx x x ). x [0, )，则 x 5 ，所以sin(x ) [ 1,1]. 22666662

故函数f(x

)的值域是[. ------------------------------------------------------------10分 18．解：（Ⅰ）由a1,a2,a4成等比数列得：（a1+2）2=a1(a1+6). -------------------- 2分

解得a1＝2…4分 数列{an}的通项公式是an=2n(n∈N*) ------------------6分 （Ⅱ）bn=n·22n=n·4n(n∈N*)Sn=1·4+2·42+…+n·4n ①4Sn=1·42+…+（n-1）4n+n4n+1②, ①-②得

（41 4n）n+14 （3n 1）4n 1-3Sn=-n·4，即Sn= -----------12分

39

19.解：（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，

{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}， 共15种.

②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，

{A2，A3}，共3种.

31

所以P(B)＝＝155

20. 解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以PA⊥BD.

图1－8 又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线， 所以BD⊥平面PAC.

而PC 平面PAC，所以BD⊥PC.

（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，由（1）知，BD⊥平面PAC， 所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角.从而∠DPO＝30°. 由BD⊥平面PAC，PO 平面PAC知，BD⊥PO. 在Rt△POD中，由∠DPO＝30°，得PD＝2OD. 因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD， 所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形.

111

从而梯形ABCD的高为＋BC＝(4＋2)＝3，

222

1

于是梯形ABCD的面积S(4＋2)×3＝9.

2

2

在等腰直角三角形AOD中，OD＝AD＝22，

2

所以PD＝2OD＝42，PA＝PD－AD＝4.

11

故四棱锥P－ABCD的体积为VS×PA＝×9×4＝12.

33

设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1, y1)． 直线AE的方程为y-y2=

y2 y1x2 x1

(x-x2)．令y=0，得x=x2-

y2(x2 x1)

．

y2 y1

． ② ------------------8分

将y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，整理，得x=

2x1x2 4(x1 x2)

x1 x2 8

32k264k2 12

由①得x1+x2=2，x1x2= …10分

4k 34k2 3

代入②整理，得x=1．

所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)． --------------------------------12分

f (1) 0

b1

22. 解：（1）f (x) 2a 2 ，由 ，可得 1

f() 0xx 2

1

a 3． --------4分

b 1 3

（2）函数f(x)的定义域是(0, ), 因为f (1) 2，所以b 2a 1． ------------ 5分

2ax2 x (2a 1)(x 1)[2ax (2a 1)]

所以f (x) -------------------------------7分

x2x2

要使f(x)在(0, )上是单调函数，只要f (x)≥0或f (x)≤0在(0, )上恒成立． 当a 0时，f (x)

x 1

0恒成立，所以f(x)在(0, )上是单调函数； --------9分 2x

12a

1，f(x)在(0, )上不单调,----10分

当a 0时，令f (x) 0，x1 1，x2 1

当a 0时，要使f(x)在(0, )上是单调函数，只要1 2a≥0，即0 a≤

1 2

综上所述，a的取值范围是a [0,]． ----------------------------12分

12

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