Desargues定理及其逆定理的应用

一．Desargues定理及其逆定理的应用

Desargues定理的内容从完整的角度讲,包括Desargues定理及其逆定理。它是高等几何中最重要的定理之一,高等几何中许多定理及命题都以它为根据。我们知道,在初等几何中有许多需要证明“点共线”或“线共点”的问题,这类问题用初等方法去证明往往较复杂,但用Desargues定理去证明却很容易。因此,对于初等几何中的某些定理或命题而言,Desargues定理除可以给它们提供一种高等数学的证明方法外,还可以在用初等方法证明它们之前,起到先“验证”的作用。

1.1定理背景

德莎格(Desargues),1591年2月21日生于法国里昂的一个教会会员家庭,

一生主要在巴黎从事学术研究活动,晚年隐居老家里昂,1661年10月卒于里昂。作为一个普通教会会员家庭的九个孩子之一的笛沙格,早年曾在其家庭所在地里昂接受基础教育,并在里昂主管区基督教会的教士税务局收过杂税。他在那时,也曾写过如何教儿童唱歌的文章。笛沙格青年时期还参过军,当过军官,同时担任过法国军事工程师和建筑师。他在青壮年时期长期定居巴黎,并从1626年11月开始长期从事几何透视法的研究工作和学术活动。他曾在巴黎免费给别人讲课,以鼓励世人钻研数学,给他的同行以深刻的印象。他曾建议市政府建设大型机器来提高塞纳河水的水位,以便将水源分流,使其在城市里得以充分利用。笛沙格一生中无论在数学领域还是在其他方面都有许多成就。他关心如何改进艺术家、工程师和石匠的教育技巧与方法。他在学术研究方面不赞成为理论而搞理论,更注重于将理论应用于实际。笛沙格的学术活动与事业生涯主要在巴黎,他在那里结识了笛卡尔、梅森、费尔玛、帕斯卡等数学界名流。笛沙格还经常参加由梅森发起与组织的梅森学会的定期学术讨论会,在数学思想方面受到当时的数学家及其数学潮流的诸多影响。他在数学方面的初期工作是编辑了许多有用的数学知识及其数学定理,并将它们传授给渴望学习数学的人。笛沙格起初是通过书信和传单的方式传播其所获得的数学成果,后来又把这些成果进一步经过编辑、整理、汇总写成了几本书。其中一本是讲几何如何在泥瓦匠和石匠工作中应用的数学书。他研读过古希腊阿波罗尼奥斯的几何学著作,他试图为了证明阿波罗尼奥斯圆锥曲线的定理而着手研究几何学中的投影法。后来,他发现自己已经能用新的投影方法来证明圆锥曲线的有关定理,于是在1636年发表了一篇标题很长的文章,题为《关于透视绘图的一般方法———??》;他又出版了《论透视截线》小册子,阐述了几何学中的投影法的使用及其有关透视法的某些基本原则。事实上,这就是笛沙格开始研究射影几何问题的初期阶段,这些初期工作为笛沙格创立射影几何新理论与方法论奠定了坚实的学术思想基础。笛沙格在射影几何学理论方面最重要的著作是《试论处理圆锥与平面相交结果的初稿》(以下简称《初稿》),1639年在巴黎出版。其中论述了现代所谓的摄影几何学中的射影法及其射影几何的相关概念与基本定理。笛沙格在当时印了50本《初稿》并送给他的朋友们。由于《初稿》中有许多从植物学借用来的奇怪术语,使人们不易理解射影几何学本身的数学思想、方法的精髓与要旨,加上当时正值17、18世纪,新兴的解析几何、微积分方法及其分析学的研究与应用对学术界与世人具有更大的实用价值与学术吸引力,即无论从解决实用问题上、在数学方法论上、还是在微积分基础完善方面都有许多工作与问题值得学术界去进一步消化、吸收、理解与完善。如同蜡

烛的光辉在阳光底下失去了它自身存在的价值与作用一样,基于上述各种主客观原因,笛沙格的射影几何学思想在当时未能占据学术界主流。《初稿》后来很快竟被忘却甚至遗失。他的透视法思想、方法与内容逐渐变得淹没无闻。遗憾的是,又过了200年后,法国数学家沙勒写他的称得上第一流的几何学史时,也没有评价笛沙格的著作及其工作。尔后又过了6年,沙勒1845年在巴黎偶然发现《初稿》的手抄本,那是由笛沙格的一位学生拉伊尔抄写的。自此以后,笛沙格的射影几何学术思想才引起人们的普遍重视,这部书被认为是综合射影几何学早期经典著作之一。后来,这一手抄本由法国数学家博得拉加以复制,并由他在1864年编辑了笛沙格的数学著作。1950年,意大利主要从事射影几何学研究的数学家皮耶里在巴黎国立图书馆里发现了一本1639年的原版本并复制发行。在这个新发现的版本中包含了重要的附录和笛沙格所作的订正。笛沙格的学生拉伊尔本人后来也成为法国天文学家与数学家。笛沙格的射影几何学术思想对拉伊尔的影响很大,拉伊尔运用笛沙格创立的射影法研究了圆的配极性质,并将结论推广到其他二次曲线;拉伊尔利用综合法研究了几乎全部圆锥曲线理论,得到了有关极点、极带的重要定理。这充分说明了笛沙格射影几何工作具有方法性与基础性特征。笛沙格的射影几何学理论与方法影响了他的后期许多几何学家。例如:数学家帕斯卡研究投射法与取影法时也曾受到笛沙格的学术思想的影响。帕斯卡本人也曾一度把笛沙格的工作视为他的产生大部分几何学思想灵感的来源。他在笛沙格射影法的影响下,用射影法研究圆锥曲线,于1640年完成著作《圆锥曲线论》,创圆锥曲线的内接六边形对边交点共线的著名帕斯卡定理,并因此在现代高等射影几何学内容中仍然成为其中的一部分基本内容。另外,笛沙格关于射影几何学理论方面,尚有一些关于三角形的主要定理和其他定理,于1648年发表在他的朋友、他最忠实的信徒博斯的一部关于透视法著作的附录中。波斯1648年出版的这部几何透视学著作书名为《运用笛沙格透视法的一般讲解》,该书附录包括了笛沙格的三条重要定理,其中第一条后以“笛沙格定理”著称,是现代射影几何的基本定理。这些内容是笛沙格在此之前没有公开发表过的射影几何学方面的重要内容。法国几何学家博斯热衷于笛沙格射影几何理论的传播工作,正是由于博斯对笛沙格透视理论的积极传播,才使得笛沙格的透视法为17世纪的画家们所接受,并得以在世界范围广泛传播与流传。笛沙格最后一次参加学术活动是1660年9月9日参加在巴黎举办的一次数学学术会议。他在巴黎蒙特摩学会会议上作有关几何点存在问题的学术报告,并且在会上曾与一个同他有学术分歧的几何学家进行过激烈的学术辩论。这说明当时的数学界还没有完全接受笛沙格的射影几何方法与理论。他的射影几何思想曾引起过数学界许多数学家的非议。为射影几何的奠基人之一,笛沙格的学术生涯大约在1626年从巴黎开始,又继续到老家里昂。他在1657年退休返回老家里昂,除短期去巴黎参加学术会议外,一直在他的故乡里昂隐居,直至1661年去世。

1.2 Desargues定理及其逆定理的构图特点

高等几何中常用的Desargues定理及其逆定理。Desargues定理的逆定理同时也是Desargues定理的对偶定理。

Desargues定理:若两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一条直线上。

Desargues定理的逆定理:若两个三点形对应边的交点在一条直线上,则对应顶点的连线交于一点。

如图1 所示,对于两个三点形ABC和A'B'C',由Desargues定理知,若它们对应顶点的连线AA',BB',CC'交于一点P,则对应边BC和B'C',CA和C'A',AB和A'B'的交点L,M,D三点共线;由Desargues定理的逆定理知,上述结论反之成立。

满足Desargues定理(或其逆定理)条件的两个三点形称为透视三点形,其中对应顶点连线的交点称为它们的透视中心,对应边的交点所在直线称为它们的透视轴。从而,Desargues定理及其逆定理表明,若两个三点形有透视中心,则必有透视轴;反过来,若有透视轴,则必有透视中心。仔细观察Desargues定理及其逆定理的对应图形(如图1),我们会发现,它们具有如下明显的构图特点:Desargues定理(或其逆定理)对应图形一共包含10个点和10条直线。这10个点是两个三点形的6个顶点,透视中心和透视轴上的3个点(A,B,C,A',B',C',S,L,M,D)这10条直线是两个三点形的6条边,透视轴和过透视中心的3条直线(BC,CA,AB,B'C',C'A',A'B',MD,

SA,SB,SC)。每一条直线上有3个点,过每一个点有3条直线。这10个点和10条直线完全平等,10个点中任一个点都可以作为两透视三点形的透视中心,除去两三点形的6个顶点,其余3点是透视轴上的3点,同样,10条直线中的任一条直线也可以作为两透视三点形的透视轴,从而确定两透视三点形和透视中心。如取点L为透视中心时,S,A,A'三点所在的直线便是两三点形DBB'和MCC'的透视轴了。

深入了解上述图形的结构,对熟练掌握和运用Desargues定理及其逆定理是很有帮助的。

1.3 Desargues定理及其逆定理的应用

由于Desargues定理及其逆定理提示了在两个三点形(初等几何中称为三角形)中存在着一种很重要的位置关系,因此,在证明初等几何中一些有关“点共线”或“线共点”的定理或命题时,常常用到它们。在应用Desargues定理(或其逆定理)时,其关键就在于正确确定两个满足定理条件且符合所证命题结论的三点形来。当然,这两个三点形有时并不是唯一的一对,可根据实际情况灵活地加以选用。

例1:试证三角形三条中线共点。

证明 设?ABC的三条中线为AD,BE,CF,如图2.考察三点形ABC和DEF。由于BC//EF,CA//FD,AB//DE,即三点形ABC和DEF的对应边的交点均为无穷远点,从而都在无穷远直线上,故根据Desargues定理的逆定理知,它们对应顶点的连线AD,BE,CF交于一点,即?ABC的三条中线共点。

此例证明的构图,选取三角形的重心作为两三点形的透视中心,是很自然、容易考虑到的。同时,此题是中学几何中有关三角形重心的问题,用初等几何方法证明不够直观,也较繁杂,但用上述方法却很简便。

例2 设?ABC的三条内角平分线分别交对边于D，E，F。又BC和EF交于X，CA和FD交于Y，AB和DE交于Z，则X，Y，Z三点共线。

证明 设?ABC的三条内角平分线交于C(即CABC的内心),如图3。考察三点形ABC和DEF。由于它们对应顶点的连线AD,BE,CF交于O,则根据Desargues定理知,它们的对应边BC和EF,CA和FD,AB和DE的交点X,Y,Z共线。

此例证明的构图恰当,综合考虑了定理的条件和命题的内容。此题的证明中,只用到三角形的三条内角平分线交于一点(内心)这个性质,因此,若将此例中的角平分线改为三角形的高线或中线,则结论仍然成立,因为三角形的三条高线交于一点(垂心),三条中线也交于一点(重心)。更一般地,对于?ABC的三边(所在直线)上任意点D,E,F,只要AD,BE,CF交于一点,则上述结论同样成立。 例3 试证三角形的外心、重心、垂心三点在一条直线上。

证明 设?ABC的外心为O,重心为D,垂心E,F,G分别为BC,CA边的中点,如图4。 考察三点形ABE和FGO。由于BE//GO,EA//OF,AB//FG,即三点形ABE和FGC的对应边的交点均为无穷远点,从而都在无穷远直线上,则根据Desargues定理的逆定理知,它们的对应顶点的连线AF,BG,EO交于一点,而中线AF,BG交于D,故D,C,E三点共线。此题证明的构图,独具匠心,是综合诸方面的因素,化繁为简的结果。同时,此题是初等几何中非常重要而且有用的三角形\三心\共线问题,利用初等几何的知识证明比较麻烦,此处的证明简单而巧妙。

例4，设ABCD是四面体，点X在BC上。一直线通过X分别交AB，AC于P，Q;另一直线通过X分别交DB，DC于R，S。求证PR与QS交在AD上(如图5)。

证明，(方法1)考察三点形RBP和SCQ。由于它们对应顶点的连线RP,BC,PQ交于X,则由Desargues定理知,它们的对应边BP和CQ,PR和QS,RB和SC的交点共线。由于BP和CQ交于A,RB和SC交于D,故PR与QS交在AD上。

(方法2)考察三点形PQA和RSD。由于它们的对应边QA和SD,AP和DR,PQ和RS的交点C,B,X三点共线,则由Desargues定理的逆定理知,它们的对应顶点的连线

PR,QS,AD交于一点,即PR与QS交在AD上。

此题的证明,分别用了Desargues定理和Desargues定理的逆定理。两种证法选取的不同,源于两者构图的不同,它们分别选取了点X作为透视中心和直线作为透视轴。由此可见,用Desargues定理(或逆定理)证明几何问题具有一定的灵活性。

总之,应用Desargues定理(或逆定理)去解决一些初等几何的相关问题,关键在于构造、选择两个恰当的三点形,这需要综合分析已知条件和所证结论等因素,熟练地掌握并灵活运用Desargues定理（或逆定理）的构图特点才能完成。高等几何的原理和方法在初等几何中应用非常广泛,应用高等几何原理去解决初等几何问题,非常简捷、方便,体现了高等几何对初等几何教学的指导意义,同时,由解决初等几何问题又可以导出许多高等几何的性质和命题,从而加深对高等几何理论的认识和理解。

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