江苏省无锡市12-13学年高三下学期期初质量检测(数学)

无锡市2012－2013学年第二学期高三期初质量检测

数 学 试 题

注意事项及说明：

1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟． 2．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 3．文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔． 4．作图题可使用2B铅笔，不需要用签字笔描摹．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把结果直接填在题中的横线上） 1.设全集为实数集R，集合A={x|x <1}，B={x|y＝log2(3－x)}，则(CRA)∩B＝ 2.若复数z=1-i (i为虚数单位)，则z2＋|z|＝ ▲ . 3.命题“ x∈R，x2―3x＋2≤0”的否定为4.已知直线m和平面 、 ，m ，则“ // ”是“m// ”的 (从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择) 5.如图伪代码的输出结果为

（第5题图） （第6题图） （第9题图） 6.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的

大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正

6方形内概率是 ▲ ．

7.函数f (x)＝sinx+sin(x－)的单调递增区间为

3

1

8.已知数列{an}满足8apaq＝ap+q (p、q∈N*)，且a1＝，则an＝ ▲ ．

49.如图，边长为2的正三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且D —— >—— >11

为AB中点，BEBC，CF＝，则ED²EF＝ ▲ ．

43

x22

10.椭圆＋y＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB

的面

2积为 ▲ ．

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2013.2

B

x＋y－3≤0

11.若直线y＝x上存在点(x，y)满足约束条件 x－2y－3≤0，则实数m的最大值为

x≥m ▲ ． 12.当0< x ≤

1

时，不等式8x<logax恒成立，则实数a的取值范围是3

a

13.已知函数f (x)＝x2＋x < 0时恒有f (x)≥3，则实数a的取值范围是 ▲ ．

x

14.已知圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，点P(x0，y0)在直线 x－y＋2＝0上．若圆C上存在点Q使∠CPQ＝30°，则x0的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

A+B

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量a＝(4cos2 ，1)，

2A－B

向量b＝(1，2sin2 3).

2(Ⅰ)若|a|＝2，求角C的大小； (Ⅱ)若a⊥b，求tanA·tanB的值．

16．（本题满分14分）

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点． 求证：(Ⅰ)A1C//面EBD；

(Ⅱ)面EBD⊥面C1BD．

A

A1

D1

B1

C1

E

D

17．（本题满分15分）

某超市在开业30天内日接待顾客人数(万人)与时间t (天)的函数关系近似满足 4

f (t)＝1＋(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝84－|t－20|．

t(Ⅰ)求该超市日销售额y (万元)与时间t (天)的函数关系式； (Ⅱ)求该超市日销售额的最小值． 18．（本题满分15分）

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x2y2

已知椭圆 ＋1(a>b>0)的左顶点A(－2， a b 12

E(－，0)的直线l交椭圆于M，N．

27(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)求证：∠MAN的大小为定值．

19．（本题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋n． (Ⅰ)求证：{an－1}为等比数列； (Ⅱ)数列{lg

20．（本题满分16分）

a

设函数f (x)＝－2＋(a＋1)x－lnx(a∈R)．

2(Ⅰ)当a＝0时，求函数f (x)的极值； (Ⅱ)当a＞0时，讨论函数f(x)的单调性；

a2－1

(Ⅲ)若对任意a∈(2，3)及任意x1，x2∈[1，2]，恒有＋ln2＞|f (x1)－ f (x2)|成立，求实数m的取值

2范围.

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数 学 试 题 答 卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．[1，3) 2．－2i 3． x∈R，x2－3x＋2＞0 4．充分不必要 232 －

5．37 6． 7．[2k －，2k ＋，k∈Z 8．2n3

233133

9 102 11． 12．(1) 2 2 313．(－∞，-2] 14．[－3，－1]

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100

}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大，并求出Tn的最大值． 1－an

2013.2

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A+B2

15．解：(Ⅰ)∵|a|＝2，∴(4cos2＋1＝2．

2

∴4[1＋cos(A＋B)]2＝1． --------------2分

∵A＋B＋C＝ ，∴A＋B＝ －C．

1113

∴(1－cosC)2＝，∴1－cosC＝±cosC＝ 或 （舍）． ------5分

4222

∵0<C< ∴C＝ ---------7分 3

(Ⅱ)由a⊥b，∴a b＝0．

A－BA+B

∴4cos2＋2sin23＝0． -----------8分

22∴2[1＋cos(A＋B)]＋[1－cos(A—B)]－3＝0．

∴2cos(A＋B)－cos(A—B)＝0 ∴cosAcosB－3sinAsinB＝0． --------12分 1

∴tanA tanB＝．

3

16．证明：(Ⅰ)设BD∩AC＝O，连EO．

由正方体ABCD－A1B1C1D1中四边形ABCD为正方形． ∴O为AC中点．

又在△A1AC中，E为AA1中点，∴OE//A1C．

∵A1C /面EBD，OE 面EBD， ∴A1C//面EBD． （Ⅱ）设正方体棱长为2，

由AA1⊥面ABCD，∴AA1⊥AC．

//CC1 ∴四边形A1ACC1为矩形， 又AA1＝

由OE3，C1O＝6，C1E＝3． ∴C1E2＝OE2＋C1O2，∴C1O⊥OE．

又正△C1BD中，O为BD中点 ∴C1O⊥BD． ∵OE∩BD＝O，∴C1O⊥面EBD． 又C1O 面C1BD，∴面C1BD⊥面EBD ．

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----------14分

-----------3分

-----------6分

-----------9分 ----------11分

----------14分

4

17．解：(Ⅰ)由题日销售额 y＝f (t) g(t)＝(1＋－|t－20|)

t

＝ ，t∈N*

4

(1＋t)(60－t)，20＜t≤30

256

(Ⅱ)①当1≤t≤20且t∈N*时，y＝t＋＋68≥t

256

当且仅当t＝即t＝16时取等号；

t②当20＜t≤30且t∈N*时，y＝ ∴t＝30时，ymin＝34． ∵100＞34，

∴综上，第30天该超市日销售额最小，最小值为34万元．

c1

18．解：(Ⅰ)由题条件a＝2，离心率e＝ ，∴c＝1．

a2x2y2

∴b＝a－c＝3，∴椭圆方程为1 ．

43

2

2

2

4

(1＋)(t＋64)，1≤t≤20

t

-----------5分

t ＋68＝100， t

-----------9分

240

t＋56在区间(20，30]上递减， t

----------13分

----------15分

-----------5分

2212212

(Ⅱ)①若直线l：x＝－M(－，，N(－，－) ，

77777

—— >—— >—— >—— >12121212

则AM·AN＝(，) (－，)＝0，∴AM⊥AN ，∴∠MAN＝90°．--------7分

77772

②若直线l斜率存在，设l：y＝k(x＋)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

7

1616k由 (3＋4k)x＋kx ＋－12＝0．

749xy

43＝1

2

2

2

2

2

2

2

y＝k(x7

-----------9分

16k2－58816k2

∴x1＋x2＝－x x＝

7(3＋4k)1249(3＋4k)

2

----------10分

－16k4－588k24k222242

∴y1 y2＝k(x1＋)(x2＋)＝k[x1 x2＋(x1＋x2)＋]＝

777494949(3＋4k)—— >—— >

∴AM·AN＝(x1＋2，y1) (x2＋2，y2)＝(x1＋2)( x1＋2)＋y1 y2

16k2－588－16k4－588k24k232k2＝4＋0．

4949(3＋4k)7(3＋4k)49(3＋4k)

—— >—— >

∴AM⊥AN ，∴∠MAN＝90°． 综上，∠MAN的大小为定值90°．

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----------14分 ----------15分

19．证明（Ⅰ）∵ Sn＝2an＋n，

∴当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1＋1， ∴ an＝2an－1－1． ∴ an－1＝2(an－1－1) ． ∵ a1－1＝－2，

∴ {an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列．-----7分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）设bn＝lg

100100

lg＝2－nlg2，

21－an

-----------6分 -----------2分

∵ bn＋1－bn＝－lg2＜0，

∴ {bn}是以—lg2为公差的等差数列且单调递减． 100

∴ b1＞b2＞ ＞b6＝＞lg1＝0．

64

100

当n＞7时，bn＜b7＝lg0，

128

∴ {bn}前6项为正项．

∴ Tn的最大值为T6＝12－21lg2．

20．解：(Ⅰ)由题，定义域为(0，＋∞)，

1x－1

当a＝0时，f (x)＝x－lnx，∴f ′(x)＝1－＝

xx

由f ′(x)＞0 x＞1； f ′(x)＜0 0＜x＜1，

∴函数f (x)在区间(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． ∴x＝1时极小值为f (1)＝1－ln1＝1．

2

----------10分 ----------13分 ----------15分

----------16分

-----------2分

-----------4分

1

a(x－x－1)

a1－ax＋(a＋1)x－1

(Ⅱ)a＞0时，f ′(x)＝－ax＋a＋1－．--5分

xxx

当f ′(x)＝0时，x＝1和x＝

1． a

(x－1)2

①当a＝1时，f ′(x)≤0恒成立，此时f (x)在(0，＋∞)上递减；----6分

x111②当＞1即0＜a＜1时，f ′(x)＞0 1＜x＜f ′(x)＜0 0＜x＜1或x＞；

a a a 11

∴f (x)在(1，上递增，在(0，1)和(，＋∞)上递减；

a a

-----------8分

111

③当＜1即a＞1时，f ′(x)＞0x＜1；f ′(x)＜0 0＜x＜或x＞1；

a a a

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11

∴f (x)在(1)上递增，在(0，)和(1，＋∞)上递减．

a a (Ⅲ)由(Ⅱ) a∈(2，3)时， f (x)在区间[1，2]上递减，

a2－1a

＋ln2＞|f(x1)－ f(x2)|max＝f (1)－ f (2)＝1＋ln2对任意a∈(2，3)成立，

2 2 a2－1a－2a

∴m＞1对任意a∈(2，3)成立． m＞对任意a∈(2，3)成立．

2 2 a－1a－2－(a－2)2＋3由g(a)＝，∵g ′(a)＝0对a∈(2，3)恒成立，g(a)在a∈(2，3)上递增，

a－1(a－1)----------10分

∴ g(a)＜g(3)＝18，∴ m1

8

．

第7页（共7页） ----------16分 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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