2019年上海市静安区高考数学一模试卷（含解析）

2019年上海市静安区高考数学一模试卷

一、填空题

1．（3分）函数y＝log2 （4﹣x）的定义域是 ． 2．（3分）已知向量

＝（1，2），

2

52

＝（3，5），则向量

4

的坐标是 ．

3．（3分）在二项式（x﹣）的展开式中，含x的项的系数是 ．

4．（3分）若直线（2a﹣7a+3）x+（a﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是 ． 5．（3分）若α，β是一二次方程2x+x+3＝0的两根，则

2

2

2

＝ ．

6．（3分）在数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，设Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣

1，则

Tn＝ ．（n∈N*）

7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元．（结果保留两位小数） 8．（3分）已知cos（

）＝，则cos（

）＝ ．

9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是 ．

10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm．

11．（3分）集合A＝{y|y＝logx﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是

12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为 ． 二、选择题

13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）

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2

3

A．A?A C．A?A

B．C?C D．C?C

14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（ ）

A．2 B．2 C．2 D．2

15．（3分）已知下列4个命题：

①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数

②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 ③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．

④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若

＝x

+y

（x，y∈R），则x+y＝1．

则其中正确命题的个数为（ ） A．1个 16．（3分）设

B．2个

C．3个

D．4个

表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）

＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（ ） A．

B．

C．

D．

三、解答题

17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、

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F分别是CD、PD的中点． （1）求证：CD⊥平面PAE；

（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

19．设f（x）＝sinx+2acosx+a﹣6a+13．x∈[﹣（1）求函数f（x）的最大值M；

（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

2

2

，]．

20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：mx﹣y＝m的焦点相同．

2222

（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；

（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1?k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；

（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4

＜10，求实数b的取值范围．

ai，将n个数a1，a2，…，an

21．将n个数a1，a2，…，an的连乘积a1?a2?…?an记为

的和a1+a2+…+an记为

，n∈N*）

（1）若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝求P5+S5；

，Sn＝

．

（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{xn}

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满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，求[

]的值；

（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，

f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存

在，说明理由（已知＝）．

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2019年上海市静安区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1．（3分）函数y＝log2 （4﹣x）的定义域是 （﹣2，2） ． 【考点】33：函数的定义域及其求法．

【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，4﹣x＞0， 得x＜4，得﹣2＜x＜2， 即函数的定义域为（﹣2，2）， 故答案为：（﹣2，2）

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．

2．（3分）已知向量

＝（1，2），

＝（3，5），则向量

的坐标是 （2，3） ．

2

2

2

【考点】9J：平面向量的坐标运算．

【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据【解答】解：故答案为：（2，3）．

【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算． 3．（3分）在二项式（x﹣）的展开式中，含x的项的系数是 10 ． 【考点】DA：二项式定理． 【专题】11：计算题．

【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果． 【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，

2

5

4

即可求出向量的坐标．

．

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要求x的项的系数 ∴10﹣3r＝4， ∴r＝2，

∴x的项的系数是C5（﹣1）＝10 故答案为：10

4

2

2

4

，

【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．

4．（3分）若直线（2a﹣7a+3）x+（a﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是 【考点】I3：直线的斜率；II：直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5B：直线与圆． 【分析】直线（2a﹣7a+3）x+（a﹣9）y+3＝0与x轴平行，则即可．

【解答】解：直线（2a﹣7a+3）x+（a﹣9）y+3＝0与x轴平行，则

2

2

2

2

2

2

．

，解得

，

解得a＝， 故答案为：

【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数a的值．着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识，属于基础题．

5．（3分）若α，β是一二次方程2x+x+3＝0的两根，则【考点】3V：二次函数的性质与图象． 【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】由已知结合韦达定理，可得α+β＝﹣，α?β＝，进而根据代入可得答案．

【解答】解：∵α，β是一二次方程2x+x+3＝0的两根， ∴α+β＝﹣，α?β＝，

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2

2

＝ ﹣ ．

＝

∴＝＝＝﹣，

故答案为：﹣

【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题． 6．（3分）在数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，设Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣

1，则

Tn＝

．（n∈N*）

【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可． 【解答】解：数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，

Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝

＝．

则

Tn＝

＝．

故答案为：．

【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力． 7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 13795.16 元．（结果保留两位小数）

【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．

【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列． 【分析】本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知b2004＝5000，q＝0.07，计算

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b2019，即可

【解答】解：b2004＝5000，q＝0.07，

∴b2019＝b2004q＝5000?（0.07）≈13795.16， 故答案为：13795.16．

【点评】本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基础题

8．（3分）已知cos（

）＝，则cos（

）＝ ．

15

15

【考点】GS：二倍角的三角函数．

【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式求得sin（（

）的值．

）＝sin（

﹣α）＝，则cos（

）＝1﹣

﹣α）＝

，再利用二倍角的余弦公式求得cos

【解答】解：∵已知cos（2

故答案为：．

＝1﹣2?＝，

【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．

9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是 （x﹣1）+（y+2）＝10 ． 【考点】JE：直线和圆的方程的应用．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．

【分析】根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得r＝

＝

，由圆的标准方程分析可得答案．

，解可得：

＝

，即圆心的坐标为（1，﹣2）； ，

2

2

【解答】解：根据题意，

又由圆与直线x+3y+15＝0相切，则r＝即要求圆的方程为（x﹣1）+（y+2）＝10； 故答案为：（x﹣1）+（y+2）＝10．

2

22

2

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题．

10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于

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3

圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 12288π cm． 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】设圆锥的底面半径为r，结合已知可得圆锥的表面积S＝πr（r+×24，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．

【解答】解：∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径， ∴圆锥的高h＝48cm，

设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为：故圆锥的表面积S＝πr（r+解得：r＝16

cm，

＝12288πcm，

3

2

2

2

）＝4π

cm，

）＝4π×24cm，

故圆锥的体积V＝故答案为：12288π

【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档． 11．（3分）集合A＝{y|y＝logx﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是 t≤﹣ 【考点】1E：交集及其运算．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用；5J：集合．

【分析】根据题意，先分析集合A，

是减函数，结合x的取值范围分析可得

2

2

y的取值范围，即可得集合A；又A∩B＝A，则A?B，设f（x）＝x﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2；进而可得x1≤﹣3，x2≥﹣1，结合二次函数的性质可得围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，对于集合A，则﹣3≤y≤﹣1，故A＝[﹣3，﹣1]； 又A∩B＝A，则A?B，B不能为空集，

设f（x）＝x﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、

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2

，解可得t的取值范

是减函数，且1≤x≤2；

（x2，0），且x1＜x2；

则B＝{x|x﹣5tx+1≤0}＝{x|x1＜x＜x2}， 若A∩B＝A，则有x1≤﹣3，x2≥﹣1， 则有

故答案为：t≤﹣．

【点评】本题考查集合的包含关系的应用，涉及二次函数的性质，注意借助二次函数的性质分析集合B，属于基础题．

12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为 24 ． 【考点】57：函数与方程的综合运用．

【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性，判断函数在一个周期内方程f（x）＝根的个数以及对称关系进行求解即可．

【解答】解：奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称， 即f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1）， 即f（x+2）＝﹣f（x），

则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， 若﹣1≤x≤0，则﹣1≤﹣x≤0， 则f（﹣x）＝（﹣x）＝﹣f（x）， 即f（x）＝﹣（﹣x）， ∵当0≤x≤1时，f（x）＝x， ∴0≤f（x）≤1，

此时f（x）＝在区间（0，1）内只有一个根， 则f（x）在[﹣1，1]内f（x）＝只有一个根， 又f（x）图象关于直线x＝1对称，

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2

，解可得t≤﹣；

∴在一个周期内f（x）＝有有两个根，且这两个根关于对称轴对称，（图象为草图只代表单调性）

∵在（﹣4，10）内函数的对称轴为x＝﹣3，x＝1，x＝5，x＝9，

即方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内有8个根，它们两两关于对称轴对称， 设8个根分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，

则x1+x2＝2×（﹣3）＝﹣6，x3+x4＝2×1＝2，x5+x6＝2×5＝10，x7，x8＝2×9＝18， 则所以根之和为﹣6+2+10+18＝24， 故答案为：24．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周期性和对称，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度． 二、选择题

13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ） A．A?A C．A?A

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【专题】35：转化思想；49：综合法；5O：排列组合．

【分析】先把4个商业广告排好顺序，再用插空法求得2个公益广告不能连续播放的方法数．

【解答】解：先把4个商业广告排好顺序，共有空（包括两头）中，

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B．C?C D．C?C

种方法，再把2个公益广告插入5个

根据分布计数原理，共有故选：A．

? 种方法，

【点评】本题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于中档题．

14．（3分）已知椭圆的标准方程为

＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（ ）

A．2 B．2 C．2 D．2

【考点】K4：椭圆的性质．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标所在的x轴，推出焦距即可． 【解答】解：椭圆的标准方程为

＝1（m＞0），焦点在x轴上，

可得c＝可得焦距：2故选：B．

，

．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 15．（3分）已知下列4个命题：

①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数

②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 ③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．

④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若

＝x

+y

（x，y∈R），则x+y＝1．

则其中正确命题的个数为（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【专题】38：对应思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5N：数系的扩充和复数． 【分析】由复数的模和共轭复数的概念可判断①；由虚数和共轭复数的概念可判断②； 由复数为实数的条件可判断③；由复数的几何意义和向量的坐标表示，解方程可判断④．

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【解答】解：①，若复数z1，z2的模相等，比如z1＝1+3i，z2＝3﹣i，则z1，z2不是共轭复数，故①错；

②，z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数，反之z1，z2是共轭复数

可得其和为实数，故②对；

③，复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数），故③对； ④，已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位）， 它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点， 若

＝x

+y

（x，y∈R），即有3＝﹣x+y，﹣2＝2x﹣y，解得x＝1，y＝4，

则x+y＝5，故④错． 故选：B．

【点评】本题考查复数的概念，主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念，考查判断能力和运算能力，属于基础题． 16．（3分）设

表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）

＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用． 【分析】解不定方程

+4||?||+3

＝105，由105＝3×5×7，又因为||，||

都是小于9的正整数，则||＝3，||＝4，

由数量积表示两个向量的夹角及（+）（?+3）＝33，得cosθ＝π]，所以θ＝

，

+4||?||+3

＝105， ＝﹣又θ∈[0，

【解答】解：由（||+||）（||+3||）＝105，得：由105＝3×5×7，又因为||，||都是小于9的正整数， 则||＝3，||＝4， 又（+）（+3）＝33， ?

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所以+4?+3＝33，

所以?＝﹣6， cosθ＝又θ∈[0，π] 所以θ＝故选：C．

【点评】本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角，属中档题． 三、解答题

17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）

， ＝﹣

【考点】HR：余弦定理；HU：解三角形． 【专题】58：解三角形．

【分析】由题意，△ABC中，已知△ABC两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66° 20′，求BC．

【解答】解：由余弦定理，得BC＝AB+AC﹣2AB×ACcosA＝1.95+1.40﹣2×1.95×1.40cos66°20′＝3.568， 所以BC≈1.89（m） 答：顶杆BC约长1.89m．

【点评】本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度；关键是将所求抽象为数学问题解答．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、

第14页（共21页）

2

2

2

2

2

F分别是CD、PD的中点． （1）求证：CD⊥平面PAE；

（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．

【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）推导出CD⊥PA，CD⊥AE，由此能证明CD⊥平面PAE．

（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与PE所成角的大小．

【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，

E、F分别是CD、PD的中点． ∴CD⊥PA，CD⊥AE，

∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．

解：（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 设PA＝AC＝AB＝2， 则A（0，0，0），D（﹣1，＝（﹣

，1），

，0），P（0，0，2），F（﹣，＝（0，

），

，1），E（0，

），

设异面直线AF与PE所成角的大小为θ，

则cosθ＝＝＝．

．

∴异面直线AF与PE所成角的大小为arccos

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【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．设f（x）＝sinx+2acosx+a﹣6a+13．x∈[﹣（1）求函数f（x）的最大值M；

（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由． 【考点】HW：三角函数的最值．

【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】（1）设cosx＝t，则0≤t≤1，可得f（t）＝﹣（t﹣a）+2a﹣6a+14，0≤t≤1，分段讨论，即可求出，

（2）当a＞1时，M＝a﹣4a+13＝（a﹣2）+9≥9恒成立，则可得logb9＝﹣，解得即可．

【解答】解：（1）（fx）＝sinx+2acosx+a﹣6a+13＝﹣cosx+2acosx+a﹣6a+14，x∈[﹣]，

设cosx＝t，则0≤t≤1，

∴f（t）＝﹣t+2at+a﹣6a+14＝﹣（t﹣a）+2a﹣6a+14，0≤t≤1， 当a＜0时，f（t）max＝f（0）＝a﹣6a+14， 当0≤a≤1时，f（t）max＝f（a）＝2a﹣6a+14 当a＞1时吗，f（t）max＝f（1）＝a﹣4a+13，

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，]．

，

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故M＝；

（2）当a＞1时，M＝a﹣4a+13＝（a﹣2）+9≥9恒成立， ∵当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣， ∴0＜b＜1， ∴logb9＝﹣， ∴b∴b＝

＝9，

22

【点评】本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质，以及对数的意义，属于中档题

20．设m＞0，椭圆Γ：

＝1与双曲线C：mx﹣y＝m的焦点相同．

22

2

2

（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；

（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1?k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；

（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4

＜10，求实数b的取值范围．

【考点】KL：直线与椭圆的综合．

【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据椭圆Γ：出m的值，

（2）设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），分别联立方程组

，

＝1与双曲线C：mx﹣y＝m的焦点相同，即可求

22

2

2

，即可求出点P，Q的坐标，根据斜率公式计算即可，

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（3）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t．联立消y整理可得：4x﹣6tx+3t﹣3＝0，由△＞0解得t的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得b和t的关系，再根据向量的数量积公式求出t的范围，即可即可求得b的取值范围． 【解答】解：（1）∵椭圆Γ：焦点相同，

∴3m﹣m＝1+m，且m＞0， 解得m＝1， ∴椭圆Γ的方程为

+y＝1，双曲线C的方程为x﹣y＝1，

2

2

2

2

2

2

＝1与双曲线C：mx﹣y＝m即x﹣

22222

＝1的

证明：（2）由（1）可知，双曲线的右顶点为（1，0）， 设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1）， 分别联立方程组

，

，

解得，，

即P（，），Q（，），

∵k1?k2＝﹣1， ∴kPQ＝0，

∴直线PQ的倾斜角为0°， 故直线PQ的倾斜角为定值，为0°，

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t， 由

，消y整理可得：4x﹣6tx+3t﹣3＝0，消x整理可得4y﹣2ty+t﹣3＝0，

2

2

2

2

＝＝

第18页（共21页）

2

2

2

由△＝（﹣6t）﹣16（3t﹣3）＝4﹣t＞0，解得﹣2＜t＜2． ∴x1+x2＝

，x1x2＝（t﹣1），y1+y2＝，y1y2＝（t﹣3），

2

2

设直线AB之中点为P（x0，y0），则x0＝（x1+x2）＝由点P在直线AB上得：y0＝﹣x0+b＝， 又点P在直线l上，∴＝又∵∴∴4

??

＝（x1，y1﹣2），

+b，则b＝﹣t． ＝（x2，y2﹣2），

2

2

＝x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝（t﹣1）+（t﹣3）﹣t+4， ＝4t﹣4t+10，

＜10，

2

2

∵9＜4

∴9＜4t﹣4t+10＜10， ∴（2t﹣1）＞0，t（t﹣1）＜0 解得0＜t＜1，且t≠

∴b＝﹣t∈（﹣，﹣）∪（﹣，0）．

【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质，考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题． 21．将n个数a1，a2，…，an的连乘积a1?a2?…?an记为

ai，将n个数a1，a2，…，an

2

的和a1+a2+…+an记为

，n∈N*）

（1）若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝求P5+S5；

，Sn＝

．

（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，求[

]的值；

（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当

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＜n≤（m∈N*）时，

f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存

在，说明理由（已知＝）．

【考点】8E：数列的求和．

【专题】35：转化思想；48：分析法；55：点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）由题意可得

＝

，

＝

＝

﹣

，即有

＝﹣，由累乘法和裂项相消求和即可得到所求和；

（2）由＝1﹣＝1﹣（﹣），运用裂项相消求和和[x]表示的含义，

即可得到所求值；

（3）求得f（n）的解析式，结合自然数的平方和公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝

，Sn＝

，

可得xn+1＝x+xn＝xn（1+xn），

即有＝，

＝即有

＝

﹣

＝﹣，

，

可得P5+S5＝＝

+1﹣

?…+﹣+﹣+…+﹣＝+﹣

＝1；

（2）x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，可得

＝1﹣＝1﹣（﹣），

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可得＝2019﹣1+

＝2009﹣（＝2018+

﹣，

+﹣+…+﹣）

由x1＝1，xn+1＝x+xn＞1，可得

∈（0，1），

即有[]＝2018；

（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足， 当

＜n≤

（m∈N*）时，f（n）＝m，

当m＝1时，0＜n≤1，可得f（1）＝1； 当m＝2时，1＜n≤3时，f（2）＝f（3）＝2； 当m＝3时，3＜n≤6时，f（4）＝f（5）＝f（6）＝3， …，m＝k时，可得f（n）＝k（k个k）， 可得

2

2

2

＝1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4）+…+（k+k+…+k）+…

2

＝1+2+3+4+…+k+…， 由1+2+3+4+…+18＝由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，

可得当n＝×18×（18+1）﹣5＝166时，满足

＝2019．

2

2

2

2

2

＝2109，

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和公式法求和，考查运算能力和推理能力，属于难题．

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可得＝2019﹣1+

＝2009﹣（＝2018+

﹣，

+﹣+…+﹣）

由x1＝1，xn+1＝x+xn＞1，可得

∈（0，1），

即有[]＝2018；

（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足， 当

＜n≤

（m∈N*）时，f（n）＝m，

当m＝1时，0＜n≤1，可得f（1）＝1； 当m＝2时，1＜n≤3时，f（2）＝f（3）＝2； 当m＝3时，3＜n≤6时，f（4）＝f（5）＝f（6）＝3， …，m＝k时，可得f（n）＝k（k个k）， 可得

2

2

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＝1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4）+…+（k+k+…+k）+…

2

＝1+2+3+4+…+k+…， 由1+2+3+4+…+18＝由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，

可得当n＝×18×（18+1）﹣5＝166时，满足

＝2019．

2

2

2

2

2

＝2109，

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和公式法求和，考查运算能力和推理能力，属于难题．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xk08.html