天津科技大学11-12高等数学(理工类)期中试卷答案

天津科技大学11-12高等数学(理工类)期中试卷答案

2011-2012学年第一学期本科试卷答案

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天津科技大学11-12高等数学(理工类)期中试卷答案

年级：2011 专业：工科各专业 课程号：1101020510

7. 已知df(x)

1

dx, 则f(x) . 2

1 x

答: arctanx C. 注：答为arctanx扣1分 8.当n 时，如果sin答:2.

k

1n

与

1

为等价无穷小，则k . n

3x 1,x 1，

9. 若函数f(x) 在( , )上连续，则a .

a,x 1.

答: 2.

10. 设函数f(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间 a,b 内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间 a,b 内至少存在一点 ，使得f ( )= .

f(b) f(a

).

a

二、单项选择题（每小题3分,共18分） 答:

1. 若极限limxn 0，而数列{yn}有界，则数列{xnyn}（ Ａ ）.

n

(A) 收敛于0； (B) 收敛于1； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定. 2. x 0是函数f(x)

1

的（ C ）间断点. 1 2x

(A) 可去； (B) 跳跃； (C) 无穷； (D) 振荡. 3．设函数f(x) x(x 1)(x 2) (x 2011)，则f (0) （ C ）. (A) n!； (B) 2010!； (C) 2011!； (D) 2012!. 4．若函数f(x)、g(x)都可导，设y f[g(x)]，则

dy

（ B ）. dx

(A) {f[g(x)]} g (x)； (B) f [g(x)] g (x)； (C) f [g(x)] g(x)； (D) f [g(x)].

5．若函数f(x)与g(x)对于开区间(a,b)内的每一点都有f (x) g (x)，则在开区间(a,b)内必有（ D ）(其中C为任意常数).

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11 ( 2)

xcotx lim解：原式=lim (3分)

x 0 x 0 sinxcosx1

x

x1

lim lim 1．(6分) x 0 sinxx 0 cosx

4. lim n

解：设xn

1 n1n1

22

1n

12 n

2

1n

2

1n n

2

，(1分)

则，xn

2

1 yn； (2分) 1n n

2

xn

n n

2

1n n

2

nn n

2

1 1/n

(3分) zn，

因为limyn limzn 1，(4分)

n

n

由夹逼定理lim

111

2n 2 n2n n2 n

1. (6分)

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arcsin(ax),x 0,

五.（8分）已知函数f(x

) 2 在x 0点可

x 2x b,x 0

导, 求常数a、b的值.

解：要使f(x)在x 0处可导，必须f(x)在x 0处连续，(1分) 而f(0) lim arcsin(ax) 0；f(0) b.(2分)

x 0

由f(0 ) f(0)，有b 0. (3分) 又 f (0) lim

x 0

f(x) f(0)arcsin(ax)ax

lim lim a，(4分) x 0x 0x 0xx

f(x) f(0)x2 2x

f (0) lim lim 2.(5分)

x 0x 0x 0x

(0) f (0)(6分), 得a 2.(7分) 由f(x)在x 0处可导，有f

故当a 0,

b 2时，函数f(x)在x 0处可导. (8分)

六．证明题（12分）若函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区

间(0,1)内可导，且f(0) 0,f(1) 1. 证明: (1) 存在 (0,1)，使得f( ) 1 ;

(2) 存在两个不同的点a,b (0,1),使得f (a)f (b) 1. 证明：(1) 令g(x) f(x) x 1, (1分) 则g(x)在[0,1]上连续, (2分)

又g(0) 1 0，g(1) 1 0(3分)，由零点定理知,存在 (0,1),使得

g( ) f( ) 1 0(5分), 即f( ) 1 .(6分)

(2) 分别在[0,

]和[ ,1]上应用拉格朗日中值定理 (7分),

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